MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamufv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamufv 21888
Description: A cell in the multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamufval.f ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
mamufval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mamufval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mamufval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
mamufval.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mamufval.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mamufval.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
mamuval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
mamuval.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)))
mamufv.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘€)
mamufv.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
mamufv (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(๐‘‹๐น๐‘Œ)๐พ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))))
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘€   ๐‘—,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘—   ๐‘…,๐‘—   ๐‘—,๐‘‹   ๐‘—,๐‘Œ   ๐œ‘,๐‘—   ๐‘—,๐ผ   ๐‘—,๐พ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘—)   ยท (๐‘—)   ๐น(๐‘—)   ๐‘‰(๐‘—)

Proof of Theorem mamufv
Dummy variables ๐‘– ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamufval.f . . 3 ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
2 mamufval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 mamufval.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4 mamufval.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
5 mamufval.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
6 mamufval.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 mamufval.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
8 mamuval.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
9 mamuval.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 21887 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐น๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))))
11 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘– = ๐ผ โ†’ (๐‘–๐‘‹๐‘—) = (๐ผ๐‘‹๐‘—))
12 oveq2 7416 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘—๐‘Œ๐‘˜) = (๐‘—๐‘Œ๐พ))
1311, 12oveqan12d 7427 . . . . 5 ((๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘˜ = ๐พ) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)) = ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))
1413adantl 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘˜ = ๐พ)) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)) = ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))
1514mpteq2dv 5250 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘˜ = ๐พ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ))))
1615oveq2d 7424 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘˜ = ๐พ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))))
17 mamufv.i . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘€)
18 mamufv.k . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘ƒ)
19 ovexd 7443 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))) โˆˆ V)
2010, 16, 17, 18, 19ovmpod 7559 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(๐‘‹๐น๐‘Œ)๐พ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  โŸจcotp 4636   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  Basecbs 17143  .rcmulr 17197   ฮฃg cgsu 17385   maMul cmmul 21884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-mamu 21885
This theorem is referenced by:  mamuass  21901  mamudi  21902  mamudir  21903  mamuvs1  21904  mamuvs2  21905  mamulid  21942  mamurid  21943  matmulcell  21946  mavmulass  22050  mvmumamul1  22055  mdetmul  22124  decpmatmullem  22272  matunitlindflem2  36480
  Copyright terms: Public domain W3C validator