![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mamufv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A cell in the multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
mamufval.f | โข ๐น = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) |
mamufval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
mamufval.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mamufval.r | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
mamufval.m | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamufval.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamufval.p | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mamuval.x | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) |
mamuval.y | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) |
mamufv.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
mamufv.k | โข (๐ โ ๐พ โ ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
mamufv | โข (๐ โ (๐ผ(๐๐น๐)๐พ) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐๐๐พ))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mamufval.f | . . 3 โข ๐น = (๐ maMul โจ๐, ๐, ๐โฉ) | |
2 | mamufval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
3 | mamufval.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
4 | mamufval.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
5 | mamufval.m | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
6 | mamufval.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
7 | mamufval.p | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
8 | mamuval.x | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) | |
9 | mamuval.y | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm (๐ ร ๐))) | |
10 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | mamuval 21888 | . 2 โข (๐ โ (๐๐น๐) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))))) |
11 | oveq1 7416 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ผ โ (๐๐๐) = (๐ผ๐๐)) | |
12 | oveq2 7417 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐พ โ (๐๐๐) = (๐๐๐พ)) | |
13 | 11, 12 | oveqan12d 7428 | . . . . 5 โข ((๐ = ๐ผ โง ๐ = ๐พ) โ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)) = ((๐ผ๐๐) ยท (๐๐๐พ))) |
14 | 13 | adantl 483 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ = ๐ผ โง ๐ = ๐พ)) โ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)) = ((๐ผ๐๐) ยท (๐๐๐พ))) |
15 | 14 | mpteq2dv 5251 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ = ๐ผ โง ๐ = ๐พ)) โ (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐))) = (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐๐๐พ)))) |
16 | 15 | oveq2d 7425 | . 2 โข ((๐ โง (๐ = ๐ผ โง ๐ = ๐พ)) โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐๐๐) ยท (๐๐๐)))) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐๐๐พ))))) |
17 | mamufv.i | . 2 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
18 | mamufv.k | . 2 โข (๐ โ ๐พ โ ๐) | |
19 | ovexd 7444 | . 2 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐๐๐พ)))) โ V) | |
20 | 10, 16, 17, 18, 19 | ovmpod 7560 | 1 โข (๐ โ (๐ผ(๐๐น๐)๐พ) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐๐๐พ))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 Vcvv 3475 โจcotp 4637 โฆ cmpt 5232 ร cxp 5675 โcfv 6544 (class class class)co 7409 โm cmap 8820 Fincfn 8939 Basecbs 17144 .rcmulr 17198 ฮฃg cgsu 17386 maMul cmmul 21885 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-ot 4638 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-mamu 21886 |
This theorem is referenced by: mamuass 21902 mamudi 21903 mamudir 21904 mamuvs1 21905 mamuvs2 21906 mamulid 21943 mamurid 21944 matmulcell 21947 mavmulass 22051 mvmumamul1 22056 mdetmul 22125 decpmatmullem 22273 matunitlindflem2 36533 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |