MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamufv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamufv 21889
Description: A cell in the multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamufval.f ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
mamufval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mamufval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mamufval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
mamufval.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mamufval.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mamufval.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
mamuval.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
mamuval.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)))
mamufv.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘€)
mamufv.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
mamufv (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(๐‘‹๐น๐‘Œ)๐พ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))))
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘€   ๐‘—,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘—   ๐‘…,๐‘—   ๐‘—,๐‘‹   ๐‘—,๐‘Œ   ๐œ‘,๐‘—   ๐‘—,๐ผ   ๐‘—,๐พ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘—)   ยท (๐‘—)   ๐น(๐‘—)   ๐‘‰(๐‘—)

Proof of Theorem mamufv
Dummy variables ๐‘– ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamufval.f . . 3 ๐น = (๐‘… maMul โŸจ๐‘€, ๐‘, ๐‘ƒโŸฉ)
2 mamufval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 mamufval.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4 mamufval.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
5 mamufval.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
6 mamufval.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 mamufval.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Fin)
8 mamuval.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
9 mamuval.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘ƒ)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 21888 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐น๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€, ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))))))
11 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐‘– = ๐ผ โ†’ (๐‘–๐‘‹๐‘—) = (๐ผ๐‘‹๐‘—))
12 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘—๐‘Œ๐‘˜) = (๐‘—๐‘Œ๐พ))
1311, 12oveqan12d 7428 . . . . 5 ((๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘˜ = ๐พ) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)) = ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))
1413adantl 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘˜ = ๐พ)) โ†’ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)) = ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))
1514mpteq2dv 5251 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘˜ = ๐พ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ))))
1615oveq2d 7425 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– = ๐ผ โˆง ๐‘˜ = ๐พ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐‘˜)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))))
17 mamufv.i . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘€)
18 mamufv.k . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘ƒ)
19 ovexd 7444 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))) โˆˆ V)
2010, 16, 17, 18, 19ovmpod 7560 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ(๐‘‹๐น๐‘Œ)๐พ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘‹๐‘—) ยท (๐‘—๐‘Œ๐พ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475  โŸจcotp 4637   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ†‘m cmap 8820  Fincfn 8939  Basecbs 17144  .rcmulr 17198   ฮฃg cgsu 17386   maMul cmmul 21885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-mamu 21886
This theorem is referenced by:  mamuass  21902  mamudi  21903  mamudir  21904  mamuvs1  21905  mamuvs2  21906  mamulid  21943  mamurid  21944  matmulcell  21947  mavmulass  22051  mvmumamul1  22056  mdetmul  22125  decpmatmullem  22273  matunitlindflem2  36533
  Copyright terms: Public domain W3C validator