MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamufv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamufv 21315
Description: A cell in the multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamufval.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamufval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamufval.t · = (.r𝑅)
mamufval.r (𝜑𝑅𝑉)
mamufval.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamufval.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamufval.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamuval.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamuval.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
mamufv.i (𝜑𝐼𝑀)
mamufv.k (𝜑𝐾𝑃)
Assertion
Ref Expression
mamufv (𝜑 → (𝐼(𝑋𝐹𝑌)𝐾) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑗,𝑋   𝑗,𝑌   𝜑,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   · (𝑗)   𝐹(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem mamufv
Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamufval.f . . 3 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2 mamufval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 mamufval.t . . 3 · = (.r𝑅)
4 mamufval.r . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
5 mamufval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
6 mamufval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mamufval.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
8 mamuval.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
9 mamuval.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 21314 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘))))))
11 oveq1 7241 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑋𝑗) = (𝐼𝑋𝑗))
12 oveq2 7242 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (𝑗𝑌𝑘) = (𝑗𝑌𝐾))
1311, 12oveqan12d 7253 . . . . 5 ((𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘)) = ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))
1413adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾)) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘)) = ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))
1514mpteq2dv 5167 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾))))
1615oveq2d 7250 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))))
17 mamufv.i . 2 (𝜑𝐼𝑀)
18 mamufv.k . 2 (𝜑𝐾𝑃)
19 ovexd 7269 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))) ∈ V)
2010, 16, 17, 18, 19ovmpod 7382 1 (𝜑 → (𝐼(𝑋𝐹𝑌)𝐾) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  Vcvv 3422  cotp 4565  cmpt 5151   × cxp 5566  cfv 6400  (class class class)co 7234  m cmap 8531  Fincfn 8649  Basecbs 16790  .rcmulr 16833   Σg cgsu 16975   maMul cmmul 21311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-csb 3828  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-id 5471  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-mamu 21312
This theorem is referenced by:  mamuass  21328  mamudi  21329  mamudir  21330  mamuvs1  21331  mamuvs2  21332  mamulid  21367  mamurid  21368  matmulcell  21371  mavmulass  21475  mvmumamul1  21480  mdetmul  21549  decpmatmullem  21697  matunitlindflem2  35543
  Copyright terms: Public domain W3C validator