Theorem mpomatmul 22390

Description: Multiplication of two N x N matrices given in maps-to notation. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpomatmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mpomatmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpomatmul.m	⊢ × = (.r‘𝐴)
mpomatmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mpomatmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
mpomatmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mpomatmul.x	⊢ 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶)
mpomatmul.y	⊢ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸)
mpomatmul.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mpomatmul.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ 𝐵)
mpomatmul.d	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
mpomatmul.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
mpomatmul.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
mpomatmul.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mpomatmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑘,𝑋,𝑙,𝑚   𝑘,𝑌,𝑙,𝑚   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   · ,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐷(𝑘,𝑚,𝑙)   · (𝑖,𝑗,𝑚)   × (𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑙)   𝑉(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mpomatmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomatmul.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
2		mpomatmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		mpomatmul.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
5	3, 4	matmulr 22382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
6		mpomatmul.m	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝐴)
7	5, 6	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = × )
8	7	oveqd 7375	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑋 × 𝑌))
9	8	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
10	1, 2, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		mpomatmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13		mpomatmul.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶)
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
15		mpomatmul.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐵)
16		mpomatmul.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	15, 16	eleqtrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑅))
18	3, 11, 14, 1, 2, 17	matbas2d 22367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (Base‘𝐴))
19	13, 18	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
20	3, 11	matbas2 22365	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
21	1, 2, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
22	19, 21	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
23		mpomatmul.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸)
24		mpomatmul.e	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ 𝐵)
25	24, 16	eleqtrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑅))
26	3, 11, 14, 1, 2, 25	matbas2d 22367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸) ∈ (Base‘𝐴))
27	23, 26	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
28	27, 21	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
29	4, 11, 12, 2, 1, 1, 1, 22, 28	mamuval 22337	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))))
30	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶))
31		equcom 2019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑖)
32		equcom 2019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑗)
33	31, 32	anbi12i 628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) ↔ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗))
34		mpomatmul.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
35	33, 34	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐷 = 𝐶)
36	35	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
37	36	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
38	37	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
40	39	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
41		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
42		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ 𝑁)
43		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝜑)
44		mpomatmul.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
45	43, 41, 42, 44	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
46	30, 40, 41, 42, 45	ovmpod 7510	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑋𝑚) = 𝐷)
47	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸))
48		equcomi 2018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑚 = 𝑖)
49		equcomi 2018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝑙 = 𝑗)
50	48, 49	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗))
51		mpomatmul.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
52	50, 51	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
54	53	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
56	55	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
57	56	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐸 = 𝐹)
58		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
59		mpomatmul.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)
60	43, 42, 58, 59	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)
61	47, 57, 42, 58, 60	ovmpod 7510	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑚𝑌𝑙) = 𝐹)
62	46, 61	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)) = (𝐷 · 𝐹))
63	62	mpteq2dva 5191	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))) = (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))
64	63	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)))) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹))))
65	64	mpoeq3dva 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
66	10, 29, 65	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cotp 4588   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178   Σ_g cgsu 17360   maMul cmmul 22334   Mat cmat 22351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-pws 17369  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-mamu 22335  df-mat 22352

This theorem is referenced by:  mat2pmatmul  22675