MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpomatmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpomatmul 22468
Description: Multiplication of two N x N matrices given in maps-to notation. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mpomatmul.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mpomatmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpomatmul.m × = (.r𝐴)
mpomatmul.t · = (.r𝑅)
mpomatmul.r (𝜑𝑅𝑉)
mpomatmul.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mpomatmul.x 𝑋 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶)
mpomatmul.y 𝑌 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸)
mpomatmul.c ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐶𝐵)
mpomatmul.e ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐸𝐵)
mpomatmul.d ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
mpomatmul.f ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
mpomatmul.1 ((𝜑𝑘𝑁𝑚𝑁) → 𝐷𝑈)
mpomatmul.2 ((𝜑𝑚𝑁𝑙𝑁) → 𝐹𝑊)
Assertion
Ref Expression
mpomatmul (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑘,𝑋,𝑙,𝑚   𝑘,𝑌,𝑙,𝑚   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   · ,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐷(𝑘,𝑚,𝑙)   · (𝑖,𝑗,𝑚)   × (𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑙)   𝑉(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mpomatmul
StepHypRef Expression
1 mpomatmul.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
2 mpomatmul.r . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
3 mpomatmul.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
53, 4matmulr 22460 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
6 mpomatmul.m . . . . . 6 × = (.r𝐴)
75, 6eqtr4di 2793 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = × )
87oveqd 7448 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑋 × 𝑌))
98eqcomd 2741 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
101, 2, 9syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
11 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 mpomatmul.t . . 3 · = (.r𝑅)
13 mpomatmul.x . . . . 5 𝑋 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶)
14 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
15 mpomatmul.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐶𝐵)
16 mpomatmul.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
1715, 16eleqtrdi 2849 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑅))
183, 11, 14, 1, 2, 17matbas2d 22445 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶) ∈ (Base‘𝐴))
1913, 18eqeltrid 2843 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
203, 11matbas2 22443 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
211, 2, 20syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2219, 21eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
23 mpomatmul.y . . . . 5 𝑌 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸)
24 mpomatmul.e . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐸𝐵)
2524, 16eleqtrdi 2849 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑅))
263, 11, 14, 1, 2, 25matbas2d 22445 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸) ∈ (Base‘𝐴))
2723, 26eqeltrid 2843 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2827, 21eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
294, 11, 12, 2, 1, 1, 1, 22, 28mamuval 22413 . 2 (𝜑 → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))))
3013a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑋 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶))
31 equcom 2015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘𝑘 = 𝑖)
32 equcom 2015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑚𝑚 = 𝑗)
3331, 32anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) ↔ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗))
34 mpomatmul.d . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
3533, 34sylan2b 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚)) → 𝐷 = 𝐶)
3635eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
3736ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
38373ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
3938adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
4039imp 406 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
41 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑘𝑁)
42 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚𝑁)
43 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝜑)
44 mpomatmul.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑁𝑚𝑁) → 𝐷𝑈)
4543, 41, 42, 44syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝐷𝑈)
4630, 40, 41, 42, 45ovmpod 7585 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑘𝑋𝑚) = 𝐷)
4723a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑌 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸))
48 equcomi 2014 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑚𝑚 = 𝑖)
49 equcomi 2014 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙𝑙 = 𝑗)
5048, 49anim12i 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗))
51 mpomatmul.f . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
5250, 51sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
5352ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
54533ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
5554adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
5655imp 406 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
5756eqcomd 2741 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙)) → 𝐸 = 𝐹)
58 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑙𝑁)
59 mpomatmul.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑁𝑙𝑁) → 𝐹𝑊)
6043, 42, 58, 59syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝐹𝑊)
6147, 57, 42, 58, 60ovmpod 7585 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑌𝑙) = 𝐹)
6246, 61oveq12d 7449 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)) = (𝐷 · 𝐹))
6362mpteq2dva 5248 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))) = (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))
6463oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹))))
6564mpoeq3dva 7510 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
6610, 29, 653eqtrd 2779 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cotp 4639  cmpt 5231   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   Σg cgsu 17487   maMul cmmul 22410   Mat cmat 22427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428
This theorem is referenced by:  mat2pmatmul  22753
  Copyright terms: Public domain W3C validator