Theorem mpomatmul 22584

Description: Multiplication of two N x N matrices given in maps-to notation. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpomatmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mpomatmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpomatmul.m	⊢ × = (.r‘𝐴)
mpomatmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mpomatmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
mpomatmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mpomatmul.x	⊢ 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶)
mpomatmul.y	⊢ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸)
mpomatmul.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mpomatmul.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ 𝐵)
mpomatmul.d	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
mpomatmul.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
mpomatmul.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
mpomatmul.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mpomatmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑘,𝑋,𝑙,𝑚   𝑘,𝑌,𝑙,𝑚   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   · ,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐷(𝑘,𝑚,𝑙)   · (𝑖,𝑗,𝑚)   × (𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑙)   𝑉(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mpomatmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomatmul.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
2		mpomatmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		mpomatmul.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
5	3, 4	matmulr 22576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
6		mpomatmul.m	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝐴)
7	5, 6	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = × )
8	7	oveqd 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑋 × 𝑌))
9	8	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
10	1, 2, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		mpomatmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13		mpomatmul.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶)
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
15		mpomatmul.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐵)
16		mpomatmul.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	15, 16	eleqtrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑅))
18	3, 11, 14, 1, 2, 17	matbas2d 22561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (Base‘𝐴))
19	13, 18	eqeltrid 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
20	3, 11	matbas2 22559	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
21	1, 2, 20	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
22	19, 21	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
23		mpomatmul.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸)
24		mpomatmul.e	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ 𝐵)
25	24, 16	eleqtrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑅))
26	3, 11, 14, 1, 2, 25	matbas2d 22561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸) ∈ (Base‘𝐴))
27	23, 26	eqeltrid 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
28	27, 21	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
29	4, 11, 12, 2, 1, 1, 1, 22, 28	mamuval 22531	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))))
30	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶))
31		equcom 2048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑖)
32		equcom 2048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑗)
33	31, 32	anbi12i 639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) ↔ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗))
34		mpomatmul.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
35	33, 34	sylan2b 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐷 = 𝐶)
36	35	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
37	36	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
38	37	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
39	38	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
40	39	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
41		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
42		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ 𝑁)
43		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝜑)
44		mpomatmul.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
45	43, 41, 42, 44	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
46	30, 40, 41, 42, 45	ovmpod 7564	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑋𝑚) = 𝐷)
47	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸))
48		equcomi 2047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑚 = 𝑖)
49		equcomi 2047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝑙 = 𝑗)
50	48, 49	anim12i 624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗))
51		mpomatmul.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
52	50, 51	sylan2 604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
53	52	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
54	53	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
55	54	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
56	55	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
57	56	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐸 = 𝐹)
58		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
59		mpomatmul.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)
60	43, 42, 58, 59	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)
61	47, 57, 42, 58, 60	ovmpod 7564	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑚𝑌𝑙) = 𝐹)
62	46, 61	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)) = (𝐷 · 𝐹))
63	62	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))) = (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))
64	63	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)))) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹))))
65	64	mpoeq3dva 7489	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
66	10, 29, 65	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟨cotp 4598   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17494   maMul cmmul 22528   Mat cmat 22545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-prds 17501  df-pws 17503  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-dsmm 21863  df-frlm 21878  df-mamu 22529  df-mat 22546

This theorem is referenced by:  mat2pmatmul  22869