Theorem mpomatmul 22741

Description: Multiplication of two N x N matrices given in maps-to notation. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpomatmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mpomatmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpomatmul.m	⊢ × = (.r‘𝐴)
mpomatmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mpomatmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
mpomatmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mpomatmul.x	⊢ 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶)
mpomatmul.y	⊢ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸)
mpomatmul.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mpomatmul.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ 𝐵)
mpomatmul.d	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
mpomatmul.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
mpomatmul.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
mpomatmul.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mpomatmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑘,𝑋,𝑙,𝑚   𝑘,𝑌,𝑙,𝑚   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   · ,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝐵(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝐶(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝐷(𝑘, 𝑚, 𝑙)   · (𝑖, 𝑗, 𝑚)   × (𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝑈(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝐸(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝐹(𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝑉(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝑊(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝑋(𝑖, 𝑗)   𝑌(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem mpomatmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomatmul.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
2		mpomatmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		mpomatmul.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
5	3, 4	matmulr 22733	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
6		mpomatmul.m	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝐴)
7	5, 6	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = × )
8	7	oveqd 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑋 × 𝑌))
9	8	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
10	1, 2, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
11		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		mpomatmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13		mpomatmul.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶)
14		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
15		mpomatmul.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐵)
16		mpomatmul.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	15, 16	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑅))
18	3, 11, 14, 1, 2, 17	matbas2d 22718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (Base‘𝐴))
19	13, 18	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
20	3, 11	matbas2 22716	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
21	1, 2, 20	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
22	19, 21	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
23		mpomatmul.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸)
24		mpomatmul.e	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ 𝐵)
25	24, 16	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑅))
26	3, 11, 14, 1, 2, 25	matbas2d 22718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸) ∈ (Base‘𝐴))
27	23, 26	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
28	27, 21	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
29	4, 11, 12, 2, 1, 1, 1, 22, 28	mamuval 22688	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))))
30	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶))
31		equcom 2051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑖)
32		equcom 2051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑗)
33	31, 32	anbi12i 640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) ↔ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗))
34		mpomatmul.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
35	33, 34	sylan2b 606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐷 = 𝐶)
36	35	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
37	36	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
38	37	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
39	38	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
40	39	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
41		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
42		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ 𝑁)
43		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝜑)
44		mpomatmul.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
45	43, 41, 42, 44	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
46	30, 40, 41, 42, 45	ovmpod 7564	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑋𝑚) = 𝐷)
47	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸))
48		equcomi 2050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑚 = 𝑖)
49		equcomi 2050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝑙 = 𝑗)
50	48, 49	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗))
51		mpomatmul.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
52	50, 51	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
53	52	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
54	53	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
56	55	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
57	56	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐸 = 𝐹)
58		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
59		mpomatmul.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)
60	43, 42, 58, 59	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)
61	47, 57, 42, 58, 60	ovmpod 7564	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑚𝑌𝑙) = 𝐹)
62	46, 61	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)) = (𝐷 · 𝐹))
63	62	mpteq2dva 5198	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))) = (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))
64	63	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)))) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹))))
65	64	mpoeq3dva 7489	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
66	10, 29, 65	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cotp 4592   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8957  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409   Σ_g cgsu 17591   maMul cmmul 22685   Mat cmat 22702

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-prds 17598  df-pws 17600  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-dsmm 22018  df-frlm 22033  df-mamu 22686  df-mat 22703

This theorem is used by:  mat2pmatmul  23029