Theorem mpomatmul 22486

Description: Multiplication of two N x N matrices given in maps-to notation. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpomatmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mpomatmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpomatmul.m	⊢ × = (.r‘𝐴)
mpomatmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mpomatmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
mpomatmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mpomatmul.x	⊢ 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶)
mpomatmul.y	⊢ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸)
mpomatmul.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mpomatmul.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ 𝐵)
mpomatmul.d	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
mpomatmul.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
mpomatmul.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
mpomatmul.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mpomatmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑘,𝑋,𝑙,𝑚   𝑘,𝑌,𝑙,𝑚   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   · ,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐷(𝑘,𝑚,𝑙)   · (𝑖,𝑗,𝑚)   × (𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑙)   𝑉(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mpomatmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpomatmul.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
2		mpomatmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		mpomatmul.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
5	3, 4	matmulr 22478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
6		mpomatmul.m	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝐴)
7	5, 6	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = × )
8	7	oveqd 7409	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑋 × 𝑌))
9	8	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
10	1, 2, 9	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
11		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		mpomatmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13		mpomatmul.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶)
14		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
15		mpomatmul.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ 𝐵)
16		mpomatmul.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	15, 16	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑅))
18	3, 11, 14, 1, 2, 17	matbas2d 22463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶) ∈ (Base‘𝐴))
19	13, 18	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
20	3, 11	matbas2 22461	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
21	1, 2, 20	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
22	19, 21	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
23		mpomatmul.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸)
24		mpomatmul.e	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ 𝐵)
25	24, 16	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑅))
26	3, 11, 14, 1, 2, 25	matbas2d 22463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸) ∈ (Base‘𝐴))
27	23, 26	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
28	27, 21	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
29	4, 11, 12, 2, 1, 1, 1, 22, 28	mamuval 22433	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))))
30	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑋 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐶))
31		equcom 2037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑖)
32		equcom 2037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑗)
33	31, 32	anbi12i 637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) ↔ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗))
34		mpomatmul.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖 ∧ 𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
35	33, 34	sylan2b 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐷 = 𝐶)
36	35	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
37	36	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
38	37	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
39	38	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
40	39	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
41		simpl2 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
42		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ 𝑁)
43		simpl1 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝜑)
44		mpomatmul.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
45	43, 41, 42, 44	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝑈)
46	30, 40, 41, 42, 45	ovmpod 7544	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑋𝑚) = 𝐷)
47	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐸))
48		equcomi 2036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → 𝑚 = 𝑖)
49		equcomi 2036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝑙 = 𝑗)
50	48, 49	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗))
51		mpomatmul.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
52	50, 51	sylan2 602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
53	52	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
54	53	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
55	54	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
56	55	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
57	56	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚 ∧ 𝑗 = 𝑙)) → 𝐸 = 𝐹)
58		simpl3 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
59		mpomatmul.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)
60	43, 42, 58, 59	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → 𝐹 ∈ 𝑊)
61	47, 57, 42, 58, 60	ovmpod 7544	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → (𝑚𝑌𝑙) = 𝐹)
62	46, 61	oveq12d 7410	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ 𝑁) → ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)) = (𝐷 · 𝐹))
63	62	mpteq2dva 5192	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))) = (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))
64	63	oveq2d 7408	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)))) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹))))
65	64	mpoeq3dva 7469	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
66	10, 29, 65	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ⟨cotp 4589   ↦ cmpt 5180   × cxp 5643  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394   ↑_m cmap 8803  Fincfn 8923  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270   Σ_g cgsu 17452   maMul cmmul 22430   Mat cmat 22447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-prds 17459  df-pws 17461  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-dsmm 21764  df-frlm 21779  df-mamu 22431  df-mat 22448

This theorem is referenced by:  mat2pmatmul  22771