MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpomatmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpomatmul 22378
Description: Multiplication of two N x N matrices given in maps-to notation. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mpomatmul.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mpomatmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mpomatmul.m ร— = (.rโ€˜๐ด)
mpomatmul.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mpomatmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
mpomatmul.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mpomatmul.x ๐‘‹ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ถ)
mpomatmul.y ๐‘Œ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ธ)
mpomatmul.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ต)
mpomatmul.e ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ต)
mpomatmul.d ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ = ๐‘– โˆง ๐‘š = ๐‘—)) โ†’ ๐ท = ๐ถ)
mpomatmul.f ((๐œ‘ โˆง (๐‘š = ๐‘– โˆง ๐‘™ = ๐‘—)) โ†’ ๐น = ๐ธ)
mpomatmul.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘ˆ)
mpomatmul.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘Š)
Assertion
Ref Expression
mpomatmul (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘š โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐ท ยท ๐น)))))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐น,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘˜,๐‘™,๐‘š   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘™,๐‘š   ๐‘˜,๐‘‹,๐‘™,๐‘š   ๐‘˜,๐‘Œ,๐‘™,๐‘š   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘™,๐‘š   ยท ,๐‘˜,๐‘™
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐‘™)   ๐ต(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐‘™)   ๐ถ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐‘™)   ๐ท(๐‘˜,๐‘š,๐‘™)   ยท (๐‘–,๐‘—,๐‘š)   ร— (๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐‘™)   ๐‘ˆ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐‘™)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐‘™)   ๐น(๐‘˜,๐‘š,๐‘™)   ๐‘‰(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐‘™)   ๐‘Š(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐‘™)   ๐‘‹(๐‘–,๐‘—)   ๐‘Œ(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mpomatmul
StepHypRef Expression
1 mpomatmul.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
2 mpomatmul.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
3 mpomatmul.a . . . . . . 7 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
4 eqid 2725 . . . . . . 7 (๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ) = (๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ)
53, 4matmulr 22370 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ) = (.rโ€˜๐ด))
6 mpomatmul.m . . . . . 6 ร— = (.rโ€˜๐ด)
75, 6eqtr4di 2783 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ) = ร— )
87oveqd 7434 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘‹(๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ)๐‘Œ) = (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))
98eqcomd 2731 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (๐‘‹(๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ)๐‘Œ))
101, 2, 9syl2anc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (๐‘‹(๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ)๐‘Œ))
11 eqid 2725 . . 3 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
12 mpomatmul.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
13 mpomatmul.x . . . . 5 ๐‘‹ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ถ)
14 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
15 mpomatmul.c . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ต)
16 mpomatmul.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
1715, 16eleqtrdi 2835 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ถ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
183, 11, 14, 1, 2, 17matbas2d 22355 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1913, 18eqeltrid 2829 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
203, 11matbas2 22353 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
211, 2, 20syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
2219, 21eleqtrrd 2828 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
23 mpomatmul.y . . . . 5 ๐‘Œ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ธ)
24 mpomatmul.e . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ต)
2524, 16eleqtrdi 2835 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ธ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
263, 11, 14, 1, 2, 25matbas2d 22355 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ธ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2723, 26eqeltrid 2829 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2827, 21eleqtrrd 2828 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
294, 11, 12, 2, 1, 1, 1, 22, 28mamuval 22323 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(๐‘… maMul โŸจ๐‘, ๐‘, ๐‘โŸฉ)๐‘Œ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘š โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘‹๐‘š) ยท (๐‘š๐‘Œ๐‘™))))))
3013a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ถ))
31 equcom 2013 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = ๐‘˜ โ†” ๐‘˜ = ๐‘–)
32 equcom 2013 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = ๐‘š โ†” ๐‘š = ๐‘—)
3331, 32anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘– = ๐‘˜ โˆง ๐‘— = ๐‘š) โ†” (๐‘˜ = ๐‘– โˆง ๐‘š = ๐‘—))
34 mpomatmul.d . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ = ๐‘– โˆง ๐‘š = ๐‘—)) โ†’ ๐ท = ๐ถ)
3533, 34sylan2b 592 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– = ๐‘˜ โˆง ๐‘— = ๐‘š)) โ†’ ๐ท = ๐ถ)
3635eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– = ๐‘˜ โˆง ๐‘— = ๐‘š)) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
3736ex 411 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘– = ๐‘˜ โˆง ๐‘— = ๐‘š) โ†’ ๐ถ = ๐ท))
38373ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘– = ๐‘˜ โˆง ๐‘— = ๐‘š) โ†’ ๐ถ = ๐ท))
3938adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘– = ๐‘˜ โˆง ๐‘— = ๐‘š) โ†’ ๐ถ = ๐ท))
4039imp 405 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = ๐‘˜ โˆง ๐‘— = ๐‘š)) โ†’ ๐ถ = ๐ท)
41 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
42 simpr 483 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘)
43 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐œ‘)
44 mpomatmul.1 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘ˆ)
4543, 41, 42, 44syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘ˆ)
4630, 40, 41, 42, 45ovmpod 7571 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘‹๐‘š) = ๐ท)
4723a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ธ))
48 equcomi 2012 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = ๐‘š โ†’ ๐‘š = ๐‘–)
49 equcomi 2012 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = ๐‘™ โ†’ ๐‘™ = ๐‘—)
5048, 49anim12i 611 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘– = ๐‘š โˆง ๐‘— = ๐‘™) โ†’ (๐‘š = ๐‘– โˆง ๐‘™ = ๐‘—))
51 mpomatmul.f . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š = ๐‘– โˆง ๐‘™ = ๐‘—)) โ†’ ๐น = ๐ธ)
5250, 51sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– = ๐‘š โˆง ๐‘— = ๐‘™)) โ†’ ๐น = ๐ธ)
5352ex 411 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘– = ๐‘š โˆง ๐‘— = ๐‘™) โ†’ ๐น = ๐ธ))
54533ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘– = ๐‘š โˆง ๐‘— = ๐‘™) โ†’ ๐น = ๐ธ))
5554adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘– = ๐‘š โˆง ๐‘— = ๐‘™) โ†’ ๐น = ๐ธ))
5655imp 405 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = ๐‘š โˆง ๐‘— = ๐‘™)) โ†’ ๐น = ๐ธ)
5756eqcomd 2731 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = ๐‘š โˆง ๐‘— = ๐‘™)) โ†’ ๐ธ = ๐น)
58 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘™ โˆˆ ๐‘)
59 mpomatmul.2 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘Š)
6043, 42, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘Š)
6147, 57, 42, 58, 60ovmpod 7571 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘š๐‘Œ๐‘™) = ๐น)
6246, 61oveq12d 7435 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘˜๐‘‹๐‘š) ยท (๐‘š๐‘Œ๐‘™)) = (๐ท ยท ๐น))
6362mpteq2dva 5248 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘‹๐‘š) ยท (๐‘š๐‘Œ๐‘™))) = (๐‘š โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐ท ยท ๐น)))
6463oveq2d 7433 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘š โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘‹๐‘š) ยท (๐‘š๐‘Œ๐‘™)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘š โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐ท ยท ๐น))))
6564mpoeq3dva 7495 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘š โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘‹๐‘š) ยท (๐‘š๐‘Œ๐‘™))))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘š โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐ท ยท ๐น)))))
6610, 29, 653eqtrd 2769 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘š โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐ท ยท ๐น)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcotp 4637   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   โˆˆ cmpo 7419   โ†‘m cmap 8843  Fincfn 8962  Basecbs 17179  .rcmulr 17233   ฮฃg cgsu 17421   maMul cmmul 22320   Mat cmat 22337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-mamu 22321  df-mat 22338
This theorem is referenced by:  mat2pmatmul  22663
  Copyright terms: Public domain W3C validator