Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpomatmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpomatmul 21061
 Description: Multiplication of two N x N matrices given in maps-to notation. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mpomatmul.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mpomatmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpomatmul.m × = (.r𝐴)
mpomatmul.t · = (.r𝑅)
mpomatmul.r (𝜑𝑅𝑉)
mpomatmul.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mpomatmul.x 𝑋 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶)
mpomatmul.y 𝑌 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸)
mpomatmul.c ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐶𝐵)
mpomatmul.e ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐸𝐵)
mpomatmul.d ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
mpomatmul.f ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
mpomatmul.1 ((𝜑𝑘𝑁𝑚𝑁) → 𝐷𝑈)
mpomatmul.2 ((𝜑𝑚𝑁𝑙𝑁) → 𝐹𝑊)
Assertion
Ref Expression
mpomatmul (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑘,𝑋,𝑙,𝑚   𝑘,𝑌,𝑙,𝑚   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   · ,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐷(𝑘,𝑚,𝑙)   · (𝑖,𝑗,𝑚)   × (𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑙)   𝑉(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mpomatmul
StepHypRef Expression
1 mpomatmul.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
2 mpomatmul.r . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
3 mpomatmul.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
53, 4matmulr 21053 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
6 mpomatmul.m . . . . . 6 × = (.r𝐴)
75, 6eqtr4di 2851 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = × )
87oveqd 7153 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑋 × 𝑌))
98eqcomd 2804 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
101, 2, 9syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
11 eqid 2798 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 mpomatmul.t . . 3 · = (.r𝑅)
13 mpomatmul.x . . . . 5 𝑋 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶)
14 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
15 mpomatmul.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐶𝐵)
16 mpomatmul.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
1715, 16eleqtrdi 2900 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑅))
183, 11, 14, 1, 2, 17matbas2d 21038 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶) ∈ (Base‘𝐴))
1913, 18eqeltrid 2894 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
203, 11matbas2 21036 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
211, 2, 20syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2219, 21eleqtrrd 2893 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
23 mpomatmul.y . . . . 5 𝑌 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸)
24 mpomatmul.e . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐸𝐵)
2524, 16eleqtrdi 2900 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑅))
263, 11, 14, 1, 2, 25matbas2d 21038 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸) ∈ (Base‘𝐴))
2723, 26eqeltrid 2894 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2827, 21eleqtrrd 2893 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
294, 11, 12, 2, 1, 1, 1, 22, 28mamuval 21003 . 2 (𝜑 → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))))
3013a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑋 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶))
31 equcom 2025 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘𝑘 = 𝑖)
32 equcom 2025 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑚𝑚 = 𝑗)
3331, 32anbi12i 629 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) ↔ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗))
34 mpomatmul.d . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
3533, 34sylan2b 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚)) → 𝐷 = 𝐶)
3635eqcomd 2804 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
3736ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
38373ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
3938adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
4039imp 410 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
41 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑘𝑁)
42 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚𝑁)
43 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝜑)
44 mpomatmul.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑁𝑚𝑁) → 𝐷𝑈)
4543, 41, 42, 44syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝐷𝑈)
4630, 40, 41, 42, 45ovmpod 7283 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑘𝑋𝑚) = 𝐷)
4723a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑌 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸))
48 equcomi 2024 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑚𝑚 = 𝑖)
49 equcomi 2024 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙𝑙 = 𝑗)
5048, 49anim12i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗))
51 mpomatmul.f . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
5250, 51sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
5352ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
54533ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
5554adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
5655imp 410 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
5756eqcomd 2804 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙)) → 𝐸 = 𝐹)
58 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑙𝑁)
59 mpomatmul.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑁𝑙𝑁) → 𝐹𝑊)
6043, 42, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝐹𝑊)
6147, 57, 42, 58, 60ovmpod 7283 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑌𝑙) = 𝐹)
6246, 61oveq12d 7154 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)) = (𝐷 · 𝐹))
6362mpteq2dva 5126 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))) = (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))
6463oveq2d 7152 . . 3 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹))))
6564mpoeq3dva 7211 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
6610, 29, 653eqtrd 2837 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cotp 4533   ↦ cmpt 5111   × cxp 5518  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∈ cmpo 7138   ↑m cmap 8392  Fincfn 8495  Basecbs 16478  .rcmulr 16561   Σg cgsu 16709   maMul cmmul 21000   Mat cmat 21022 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-prds 16716  df-pws 16718  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-dsmm 20426  df-frlm 20441  df-mamu 21001  df-mat 21023 This theorem is referenced by:  mat2pmatmul  21346
 Copyright terms: Public domain W3C validator