MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpomatmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpomatmul 22452
Description: Multiplication of two N x N matrices given in maps-to notation. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mpomatmul.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mpomatmul.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpomatmul.m × = (.r𝐴)
mpomatmul.t · = (.r𝑅)
mpomatmul.r (𝜑𝑅𝑉)
mpomatmul.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mpomatmul.x 𝑋 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶)
mpomatmul.y 𝑌 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸)
mpomatmul.c ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐶𝐵)
mpomatmul.e ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐸𝐵)
mpomatmul.d ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
mpomatmul.f ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
mpomatmul.1 ((𝜑𝑘𝑁𝑚𝑁) → 𝐷𝑈)
mpomatmul.2 ((𝜑𝑚𝑁𝑙𝑁) → 𝐹𝑊)
Assertion
Ref Expression
mpomatmul (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑘,𝑋,𝑙,𝑚   𝑘,𝑌,𝑙,𝑚   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   · ,𝑘,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐷(𝑘,𝑚,𝑙)   · (𝑖,𝑗,𝑚)   × (𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑙)   𝑉(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mpomatmul
StepHypRef Expression
1 mpomatmul.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
2 mpomatmul.r . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
3 mpomatmul.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
53, 4matmulr 22444 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
6 mpomatmul.m . . . . . 6 × = (.r𝐴)
75, 6eqtr4di 2795 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = × )
87oveqd 7448 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑋 × 𝑌))
98eqcomd 2743 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
101, 2, 9syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌))
11 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 mpomatmul.t . . 3 · = (.r𝑅)
13 mpomatmul.x . . . . 5 𝑋 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶)
14 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
15 mpomatmul.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐶𝐵)
16 mpomatmul.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
1715, 16eleqtrdi 2851 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐶 ∈ (Base‘𝑅))
183, 11, 14, 1, 2, 17matbas2d 22429 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶) ∈ (Base‘𝐴))
1913, 18eqeltrid 2845 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
203, 11matbas2 22427 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
211, 2, 20syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2219, 21eleqtrrd 2844 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
23 mpomatmul.y . . . . 5 𝑌 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸)
24 mpomatmul.e . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐸𝐵)
2524, 16eleqtrdi 2851 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑅))
263, 11, 14, 1, 2, 25matbas2d 22429 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸) ∈ (Base‘𝐴))
2723, 26eqeltrid 2845 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2827, 21eleqtrrd 2844 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
294, 11, 12, 2, 1, 1, 1, 22, 28mamuval 22397 . 2 (𝜑 → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑌) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))))
3013a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑋 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐶))
31 equcom 2017 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘𝑘 = 𝑖)
32 equcom 2017 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑚𝑚 = 𝑗)
3331, 32anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) ↔ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗))
34 mpomatmul.d . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗)) → 𝐷 = 𝐶)
3533, 34sylan2b 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚)) → 𝐷 = 𝐶)
3635eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
3736ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
38373ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
3938adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚) → 𝐶 = 𝐷))
4039imp 406 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑚)) → 𝐶 = 𝐷)
41 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑘𝑁)
42 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚𝑁)
43 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝜑)
44 mpomatmul.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑁𝑚𝑁) → 𝐷𝑈)
4543, 41, 42, 44syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝐷𝑈)
4630, 40, 41, 42, 45ovmpod 7585 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑘𝑋𝑚) = 𝐷)
4723a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑌 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐸))
48 equcomi 2016 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑚𝑚 = 𝑖)
49 equcomi 2016 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙𝑙 = 𝑗)
5048, 49anim12i 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗))
51 mpomatmul.f . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗)) → 𝐹 = 𝐸)
5250, 51sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
5352ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
54533ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
5554adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙) → 𝐹 = 𝐸))
5655imp 406 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙)) → 𝐹 = 𝐸)
5756eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑚𝑗 = 𝑙)) → 𝐸 = 𝐹)
58 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑙𝑁)
59 mpomatmul.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑁𝑙𝑁) → 𝐹𝑊)
6043, 42, 58, 59syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝐹𝑊)
6147, 57, 42, 58, 60ovmpod 7585 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑌𝑙) = 𝐹)
6246, 61oveq12d 7449 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)) = (𝐷 · 𝐹))
6362mpteq2dva 5242 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))) = (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))
6463oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹))))
6564mpoeq3dva 7510 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑋𝑚) · (𝑚𝑌𝑙))))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
6610, 29, 653eqtrd 2781 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ (𝐷 · 𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cotp 4634  cmpt 5225   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Fincfn 8985  Basecbs 17247  .rcmulr 17298   Σg cgsu 17485   maMul cmmul 22394   Mat cmat 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mamu 22395  df-mat 22412
This theorem is referenced by:  mat2pmatmul  22737
  Copyright terms: Public domain W3C validator