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Theorem dmatmul 22219
Description: The product of two diagonal matrices. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
dmatid.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
dmatid.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dmatmul (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π΄)π‘Œ) = (π‘₯ ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(π‘₯ = 𝑦, ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)), 0 )))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem dmatmul
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2730 . . . . . 6 (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)
31, 2matmulr 22160 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (.rβ€˜π΄))
43adantr 479 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (.rβ€˜π΄))
54eqcomd 2736 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ (.rβ€˜π΄) = (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©))
65oveqd 7428 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π΄)π‘Œ) = (𝑋(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)π‘Œ))
7 eqid 2730 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
8 eqid 2730 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
9 simplr 765 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
10 simpll 763 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
11 dmatid.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
12 dmatid.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘…)
13 dmatid.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
141, 11, 12, 13dmatmat 22216 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
1514imp 405 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
161, 7, 11matbas2i 22144 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)))
1715, 16syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)))
1817adantrr 713 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)))
191, 11, 12, 13dmatmat 22216 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ π‘Œ ∈ 𝐡))
2019imp 405 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
211, 7, 11matbas2i 22144 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)))
2220, 21syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)))
2322adantrl 712 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ π‘Œ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝑁 Γ— 𝑁)))
242, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 18, 23mamuval 22108 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ (𝑋(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)π‘Œ) = (π‘₯ ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦))))))
25 eqid 2730 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
26 ringcmn 20170 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
2726ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
28273ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
2928adantl 480 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
30103ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
3130adantl 480 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
32 eqid 2730 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦))) = (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)))
33 ovexd 7446 . . . . . . . 8 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) ∈ V)
34 fvexd 6905 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
3532, 31, 33, 34fsuppmptdm 9376 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
3693ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3736ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
38 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ π‘₯ ∈ 𝑁)
3938ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ π‘₯ ∈ 𝑁)
40 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ π‘˜ ∈ 𝑁)
41 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
421, 41, 12, 13dmatmat 22216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
4342imp 405 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
4443adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
45443ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
4645ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
471, 7matecl 22147 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ (π‘₯π‘‹π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4839, 40, 46, 47syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘₯π‘‹π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
49 simplr3 1215 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ 𝑁)
501, 41, 12, 13dmatmat 22216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄)))
5150imp 405 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄))
5251adantrl 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄))
53523ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄))
5453ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄))
551, 7matecl 22147 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ (π‘˜π‘Œπ‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5640, 49, 54, 55syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜π‘Œπ‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
577, 8ringcl 20144 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯π‘‹π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘˜π‘Œπ‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5837, 48, 56, 57syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5938adantl 480 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑁)
60 simp3 1136 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ 𝑁)
6115adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6261, 11eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
63623ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
641, 7matecl 22147 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ (π‘₯𝑋𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6538, 60, 63, 64syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (π‘₯𝑋𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6650a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄))))
6766imp32 417 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄))
68673ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄))
691, 7matecl 22147 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ (π‘₯π‘Œπ‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7038, 60, 68, 69syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (π‘₯π‘Œπ‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
717, 8ringcl 20144 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯𝑋𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘₯π‘Œπ‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7236, 65, 70, 71syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7372adantl 480 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
74 eqtr 2753 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ = π‘₯ ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘˜ = 𝑦)
7574ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ π‘˜ = 𝑦)
7675oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (π‘₯π‘‹π‘˜) = (π‘₯𝑋𝑦))
7776adantlr 711 . . . . . . . 8 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (π‘₯π‘‹π‘˜) = (π‘₯𝑋𝑦))
78 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘˜π‘Œπ‘¦) = (π‘₯π‘Œπ‘¦))
7978adantl 480 . . . . . . . 8 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (π‘˜π‘Œπ‘¦) = (π‘₯π‘Œπ‘¦))
8077, 79oveq12d 7429 . . . . . . 7 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)))
817, 25, 29, 31, 35, 58, 59, 73, 80gsumdifsnd 19870 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)))) = ((𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦))))(+gβ€˜π‘…)((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦))))
82 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
8310, 9, 823jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
84833ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
8584ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
8638ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ 𝑁)
87 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) β†’ π‘˜ ∈ 𝑁)
8887adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘˜ ∈ 𝑁)
89 eldifsni 4792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) β†’ π‘˜ β‰  π‘₯)
9089necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) β†’ π‘₯ β‰  π‘˜)
9190adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ β‰  π‘˜)
921, 11, 12, 13dmatelnd 22218 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ π‘₯ β‰  π‘˜)) β†’ (π‘₯π‘‹π‘˜) = 0 )
9385, 86, 88, 91, 92syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘₯π‘‹π‘˜) = 0 )
9493oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)))
9536ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
96 simplr3 1215 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ 𝑁)
9753ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄))
9888, 96, 97, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘˜π‘Œπ‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
997, 8, 12ringlz 20181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘˜π‘Œπ‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = 0 )
10095, 98, 99syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = 0 )
10194, 100eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = 0 )
102101mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦))) = (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ↦ 0 ))
103102oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ↦ 0 )))
104 diffi 9181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ Fin β†’ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ∈ Fin)
105 ringmnd 20137 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
106104, 105anim12ci 612 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ∈ Fin))
107106adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ (𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ∈ Fin))
1081073ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ∈ Fin))
109108adantl 480 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ∈ Fin))
11012gsumz 18753 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ∈ Fin) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ↦ 0 )) = 0 )
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ↦ 0 )) = 0 )
112103, 111eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)))) = 0 )
113112oveq1d 7426 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦))))(+gβ€˜π‘…)((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦))) = ( 0 (+gβ€˜π‘…)((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦))))
114105ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
1151143ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
11638, 60, 53, 69syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (π‘₯π‘Œπ‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
11736, 65, 116, 71syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
118115, 117jca 510 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
119118adantl 480 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1207, 25, 12mndlid 18679 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦))) = ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)))
121119, 120syl 17 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦))) = ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)))
12281, 113, 1213eqtrd 2774 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)))) = ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)))
123 iftrue 4533 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ = 𝑦, ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)), 0 ) = ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)))
124123adantr 479 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ if(π‘₯ = 𝑦, ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)), 0 ) = ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)))
125122, 124eqtr4d 2773 . . . 4 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)))) = if(π‘₯ = 𝑦, ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)), 0 ))
126 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
12710, 9, 1263jca 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐷))
1281273ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐷))
129128ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐷))
130129adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐷))
131 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑁)
132 simplr3 1215 . . . . . . . . . . . 12 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ 𝑁)
133132adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑁)
134 df-ne 2939 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ β‰  𝑦 ↔ Β¬ π‘₯ = 𝑦)
135 neeq1 3001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 ↔ π‘˜ β‰  𝑦))
136135biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ (π‘₯ = π‘˜ β†’ π‘˜ β‰  𝑦))
137134, 136sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ = π‘˜ β†’ π‘˜ β‰  𝑦))
138137adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (π‘₯ = π‘˜ β†’ π‘˜ β‰  𝑦))
139138adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘₯ = π‘˜ β†’ π‘˜ β‰  𝑦))
140139impcom 406 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ π‘˜ β‰  𝑦)
1411, 11, 12, 13dmatelnd 22218 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁 ∧ π‘˜ β‰  𝑦)) β†’ (π‘˜π‘Œπ‘¦) = 0 )
142130, 131, 133, 140, 141syl13anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ (π‘˜π‘Œπ‘¦) = 0 )
143142oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…) 0 ))
14436ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14538ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ π‘₯ ∈ 𝑁)
146 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ π‘˜ ∈ 𝑁)
14763ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
148145, 146, 147, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘₯π‘‹π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1497, 8, 12ringrz 20182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯π‘‹π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
150144, 148, 149syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
151150adantl 480 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
152143, 151eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = 0 )
15384ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
154153adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
155145adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑁)
156 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑁)
157 neqne 2946 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘₯ = π‘˜ β†’ π‘₯ β‰  π‘˜)
158157adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ π‘₯ β‰  π‘˜)
159154, 155, 156, 158, 92syl13anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ (π‘₯π‘‹π‘˜) = 0 )
160159oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((Β¬ π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)))
16168ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π΄))
162146, 132, 161, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ (π‘˜π‘Œπ‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
163144, 162, 99syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = 0 )
164163adantl 480 . . . . . . . . 9 ((Β¬ π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = 0 )
165160, 164eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((Β¬ π‘₯ = π‘˜ ∧ ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁)) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = 0 )
166152, 165pm2.61ian 808 . . . . . . 7 (((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑁) β†’ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)) = 0 )
167166mpteq2dva 5247 . . . . . 6 ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦))) = (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ 0 ))
168167oveq2d 7427 . . . . 5 ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ 0 )))
169105anim2i 615 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
170169ancomd 460 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin))
17112gsumz 18753 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ 0 )) = 0 )
172170, 171syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ 0 )) = 0 )
173172adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ 0 )) = 0 )
1741733ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ 0 )) = 0 )
175174adantl 480 . . . . 5 ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ 0 )) = 0 )
176 iffalse 4536 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ = 𝑦 β†’ if(π‘₯ = 𝑦, ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)), 0 ) = 0 )
177176eqcomd 2736 . . . . . 6 (Β¬ π‘₯ = 𝑦 β†’ 0 = if(π‘₯ = 𝑦, ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)), 0 ))
178177adantr 479 . . . . 5 ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ 0 = if(π‘₯ = 𝑦, ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)), 0 ))
179168, 175, 1783eqtrd 2774 . . . 4 ((Β¬ π‘₯ = 𝑦 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)))) = if(π‘₯ = 𝑦, ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)), 0 ))
180125, 179pm2.61ian 808 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦)))) = if(π‘₯ = 𝑦, ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)), 0 ))
181180mpoeq3dva 7488 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘₯π‘‹π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘Œπ‘¦))))) = (π‘₯ ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(π‘₯ = 𝑦, ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)), 0 )))
1826, 24, 1813eqtrd 2774 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π΄)π‘Œ) = (π‘₯ ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(π‘₯ = 𝑦, ((π‘₯𝑋𝑦)(.rβ€˜π‘…)(π‘₯π‘Œπ‘¦)), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944  ifcif 4527  {csn 4627  βŸ¨cotp 4635   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  Mndcmnd 18659  CMndccmn 19689  Ringcrg 20127   maMul cmmul 22105   Mat cmat 22127   DMat cdmat 22210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-mamu 22106  df-mat 22128  df-dmat 22212
This theorem is referenced by:  dmatmulcl  22222  dmatcrng  22224  scmatscmiddistr  22230  scmatcrng  22243
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