Theorem measinb2 34179

Description: Building a measure restricted to the intersection with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measinb2	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘(𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resmpt3 6066	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ↾ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
2		inin 32536	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) = (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))
4	2, 3	mpteq12i 5275	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
5	1, 4	eqtri 2762	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ↾ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
6		measinb 34177	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
7		measbase 34153	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8		sigainb 34092	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ (sigAlgebra‘𝐴))
9		elrnsiga 34082	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ (sigAlgebra‘𝐴) → (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
11	7, 10	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
12		inss1 4252	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝑆
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝑆)
14		measres 34178	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ↾ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) ∈ (measures‘(𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)))
15	6, 11, 13, 14	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ↾ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) ∈ (measures‘(𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)))
16	5, 15	eqeltrrid 2843	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘(𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2103   ∩ cin 3969   ⊆ wss 3970  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931   ↦ cmpt 5252  ran crn 5700   ↾ cres 5701  ‘cfv 6572  sigAlgebracsiga 34064  measurescmeas 34151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-ac2 10528  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259  ax-mulf 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-disj 5137  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-dju 9966  df-card 10004  df-acn 10007  df-ac 10181  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ioo 13407  df-ioc 13408  df-ico 13409  df-icc 13410  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14049  df-exp 14109  df-fac 14319  df-bc 14348  df-hash 14376  df-shft 15112  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-limsup 15513  df-clim 15530  df-rlim 15531  df-sum 15731  df-ef 16109  df-sin 16111  df-cos 16112  df-pi 16114  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-ordt 17556  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-ps 18631  df-tsr 18632  df-plusf 18672  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mhm 18813  df-submnd 18814  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-mulg 19103  df-subg 19158  df-cntz 19352  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-subrng 20567  df-subrg 20592  df-abv 20827  df-lmod 20877  df-scaf 20878  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22914  df-topon 22931  df-topsp 22953  df-bases 22967  df-cld 23041  df-ntr 23042  df-cls 23043  df-nei 23120  df-lp 23158  df-perf 23159  df-cn 23249  df-cnp 23250  df-haus 23337  df-tx 23584  df-hmeo 23777  df-fil 23868  df-fm 23960  df-flim 23961  df-flf 23962  df-tmd 24094  df-tgp 24095  df-tsms 24149  df-trg 24182  df-xms 24344  df-ms 24345  df-tms 24346  df-nm 24609  df-ngp 24610  df-nrg 24612  df-nlm 24613  df-ii 24915  df-cncf 24916  df-limc 25913  df-dv 25914  df-log 26607  df-esum 33984  df-siga 34065  df-meas 34152

This theorem is referenced by: (None)