Theorem measinb2 32188

Description: Building a measure restricted to the intersection with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
measinb2	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘(𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resmpt3 5948	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ↾ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
2		inin 30859	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) = (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))
4	2, 3	mpteq12i 5182	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
5	1, 4	eqtri 2766	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ↾ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
6		measinb 32186	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
7		measbase 32162	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
8		sigainb 32101	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ (sigAlgebra‘𝐴))
9		elrnsiga 32091	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ (sigAlgebra‘𝐴) → (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
11	7, 10	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra)
12		inss1 4164	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝑆
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝑆)
14		measres 32187	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ↾ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) ∈ (measures‘(𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)))
15	6, 11, 13, 14	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ↾ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)) ∈ (measures‘(𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)))
16	5, 15	eqeltrrid 2844	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝒫 𝐴) ↦ (𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴))) ∈ (measures‘(𝑆 ∩ 𝒫 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3887   ⊆ wss 3888  𝒫 cpw 4535  ∪ cuni 4841   ↦ cmpt 5159  ran crn 5592   ↾ cres 5593  ‘cfv 6435  sigAlgebracsiga 32073  measurescmeas 32160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-inf2 9397  ax-ac2 10217  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946  ax-pre-sup 10947  ax-addf 10948  ax-mulf 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-disj 5042  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-isom 6444  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7976  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-2o 8296  df-er 8496  df-map 8615  df-pm 8616  df-ixp 8684  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-fsupp 9127  df-fi 9168  df-sup 9199  df-inf 9200  df-oi 9267  df-dju 9657  df-card 9695  df-acn 9698  df-ac 9870  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12436  df-uz 12581  df-q 12687  df-rp 12729  df-xneg 12846  df-xadd 12847  df-xmul 12848  df-ioo 13081  df-ioc 13082  df-ico 13083  df-icc 13084  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-ef 15775  df-sin 15777  df-cos 15778  df-pi 15780  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-ordt 17210  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-ps 18282  df-tsr 18283  df-plusf 18323  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-subrg 20020  df-abv 20075  df-lmod 20123  df-scaf 20124  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-tmd 23221  df-tgp 23222  df-tsms 23276  df-trg 23309  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-nm 23736  df-ngp 23737  df-nrg 23739  df-nlm 23740  df-ii 24038  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029  df-log 25710  df-esum 31993  df-siga 32074  df-meas 32161

This theorem is referenced by: (None)