Theorem measinblem 34413

Description: Lemma for measinb 34414. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measinblem	⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → (𝑀‘(∪ 𝐵 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑥 ∈ 𝐵(𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunin1 5002	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∩ 𝐴)
2		uniiun 4989	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥
3	2	ineq1i 4146	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐵 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∩ 𝐴)
4	1, 3	eqtr4i 2765	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝐵 ∩ 𝐴)
5	4	fveq2i 6831	. 2 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(∪ 𝐵 ∩ 𝐴))
6		simplll 780	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
7		nfv 1921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆)
8		nfv 1921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ≼ ω
9		nfdisj1 5054	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥
10	8, 9	nfan 1906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)
11	7, 10	nfan 1906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥))
12		simp1ll 1243	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
13		measbase 34390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
15		simp3 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16		simp1r 1205	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆)
17		elelpwi 4540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18	15, 16, 17	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑆)
19		simp1lr 1244	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
20		inelsiga 34328	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
21	14, 18, 19, 20	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
22	21	3expia 1127	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆))
23	11, 22	ralrimi 3237	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
24		simprl 776	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → 𝐵 ≼ ω)
25		disjin 32676	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴))
26	25	ad2antll 735	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴))
27		measvuni 34407	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴))) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑥 ∈ 𝐵(𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
28	6, 23, 24, 26, 27	syl112anc 1382	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑥 ∈ 𝐵(𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
29	5, 28	eqtr3id 2788	1 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → (𝑀‘(∪ 𝐵 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑥 ∈ 𝐵(𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ∩ cin 3882  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4839  ∪ ciun 4922  Disj wdisj 5040   class class class wbr 5073  ran crn 5620  ‘cfv 6486  ωcom 7807   ≼ cdom 8882  Σ^*cesum 34220  sigAlgebracsiga 34301  measurescmeas 34388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-disj 5041  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9817  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-ioo 13294  df-ioc 13295  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-mod 13821  df-seq 13956  df-exp 14016  df-fac 14228  df-bc 14257  df-hash 14285  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15425  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-sum 15641  df-ef 16024  df-sin 16026  df-cos 16027  df-pi 16029  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-ordt 17457  df-xrs 17458  df-qtop 17463  df-imas 17464  df-xps 17466  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-plusf 18599  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-abv 20782  df-lmod 20853  df-scaf 20854  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-cld 23003  df-ntr 23004  df-cls 23005  df-nei 23082  df-lp 23120  df-perf 23121  df-cn 23211  df-cnp 23212  df-haus 23299  df-tx 23546  df-hmeo 23739  df-fil 23830  df-fm 23922  df-flim 23923  df-flf 23924  df-tmd 24056  df-tgp 24057  df-tsms 24111  df-trg 24144  df-xms 24304  df-ms 24305  df-tms 24306  df-nm 24566  df-ngp 24567  df-nrg 24569  df-nlm 24570  df-ii 24863  df-cncf 24864  df-limc 25852  df-dv 25853  df-log 26539  df-esum 34221  df-siga 34302  df-meas 34389

This theorem is referenced by:  measinb  34414