Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measinblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measinblem 30618
Description: Lemma for measinb 30619. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
measinblem ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥)) → (𝑀‘( 𝐵𝐴)) = Σ*𝑥𝐵(𝑀‘(𝑥𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinblem
StepHypRef Expression
1 iunin1 4788 . . . 4 𝑥𝐵 (𝑥𝐴) = ( 𝑥𝐵 𝑥𝐴)
2 uniiun 4776 . . . . 5 𝐵 = 𝑥𝐵 𝑥
32ineq1i 4020 . . . 4 ( 𝐵𝐴) = ( 𝑥𝐵 𝑥𝐴)
41, 3eqtr4i 2842 . . 3 𝑥𝐵 (𝑥𝐴) = ( 𝐵𝐴)
54fveq2i 6418 . 2 (𝑀 𝑥𝐵 (𝑥𝐴)) = (𝑀‘( 𝐵𝐴))
6 simplll 782 . . 3 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
7 nfv 2005 . . . . 5 𝑥((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆)
8 nfv 2005 . . . . . 6 𝑥 𝐵 ≼ ω
9 nfdisj1 4836 . . . . . 6 𝑥Disj 𝑥𝐵 𝑥
108, 9nfan 1990 . . . . 5 𝑥(𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥)
117, 10nfan 1990 . . . 4 𝑥(((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥))
12 simp1ll 1310 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
13 measbase 30595 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑆 ran sigAlgebra)
15 simp3 1161 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
16 simp1r 1248 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆)
17 elelpwi 4375 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑥𝑆)
1815, 16, 17syl2anc 575 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑆)
19 simp1lr 1311 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴𝑆)
20 inelsiga 30533 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥𝑆𝐴𝑆) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
2114, 18, 19, 20syl3anc 1483 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
22213expia 1143 . . . 4 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥)) → (𝑥𝐵 → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆))
2311, 22ralrimi 3156 . . 3 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥)) → ∀𝑥𝐵 (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
24 simprl 778 . . 3 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥)) → 𝐵 ≼ ω)
25 disjin 29734 . . . 4 (Disj 𝑥𝐵 𝑥Disj 𝑥𝐵 (𝑥𝐴))
2625ad2antll 711 . . 3 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥)) → Disj 𝑥𝐵 (𝑥𝐴))
27 measvuni 30612 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑥𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 (𝑥𝐴))) → (𝑀 𝑥𝐵 (𝑥𝐴)) = Σ*𝑥𝐵(𝑀‘(𝑥𝐴)))
286, 23, 24, 26, 27syl112anc 1486 . 2 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥)) → (𝑀 𝑥𝐵 (𝑥𝐴)) = Σ*𝑥𝐵(𝑀‘(𝑥𝐴)))
295, 28syl5eqr 2865 1 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐵 𝑥)) → (𝑀‘( 𝐵𝐴)) = Σ*𝑥𝐵(𝑀‘(𝑥𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wral 3107  cin 3779  𝒫 cpw 4362   cuni 4641   ciun 4723  Disj wdisj 4823   class class class wbr 4855  ran crn 5323  cfv 6108  ωcom 7302  cdom 8197  Σ*cesum 30424  sigAlgebracsiga 30505  measurescmeas 30593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-inf2 8792  ax-ac2 9577  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306  ax-addf 10307  ax-mulf 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-disj 4824  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-se 5282  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-isom 6117  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-of 7134  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-supp 7537  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-2o 7804  df-oadd 7807  df-er 7986  df-map 8101  df-pm 8102  df-ixp 8153  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-fsupp 8522  df-fi 8563  df-sup 8594  df-inf 8595  df-oi 8661  df-card 9055  df-acn 9058  df-ac 9229  df-cda 9282  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-7 11376  df-8 11377  df-9 11378  df-n0 11567  df-z 11651  df-dec 11767  df-uz 11912  df-q 12015  df-rp 12054  df-xneg 12169  df-xadd 12170  df-xmul 12171  df-ioo 12404  df-ioc 12405  df-ico 12406  df-icc 12407  df-fz 12557  df-fzo 12697  df-fl 12824  df-mod 12900  df-seq 13032  df-exp 13091  df-fac 13288  df-bc 13317  df-hash 13345  df-shft 14037  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-limsup 14432  df-clim 14449  df-rlim 14450  df-sum 14647  df-ef 15025  df-sin 15027  df-cos 15028  df-pi 15030  df-struct 16077  df-ndx 16078  df-slot 16079  df-base 16081  df-sets 16082  df-ress 16083  df-plusg 16173  df-mulr 16174  df-starv 16175  df-sca 16176  df-vsca 16177  df-ip 16178  df-tset 16179  df-ple 16180  df-ds 16182  df-unif 16183  df-hom 16184  df-cco 16185  df-rest 16295  df-topn 16296  df-0g 16314  df-gsum 16315  df-topgen 16316  df-pt 16317  df-prds 16320  df-ordt 16373  df-xrs 16374  df-qtop 16379  df-imas 16380  df-xps 16382  df-mre 16458  df-mrc 16459  df-acs 16461  df-ps 17412  df-tsr 17413  df-plusf 17453  df-mgm 17454  df-sgrp 17496  df-mnd 17507  df-mhm 17547  df-submnd 17548  df-grp 17637  df-minusg 17638  df-sbg 17639  df-mulg 17753  df-subg 17800  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-abl 18404  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-cring 18759  df-subrg 18989  df-abv 19028  df-lmod 19076  df-scaf 19077  df-sra 19388  df-rgmod 19389  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-tmd 22097  df-tgp 22098  df-tsms 22151  df-trg 22184  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-nm 22608  df-ngp 22609  df-nrg 22611  df-nlm 22612  df-ii 22901  df-cncf 22902  df-limc 23854  df-dv 23855  df-log 24527  df-esum 30425  df-siga 30506  df-meas 30594
This theorem is referenced by:  measinb  30619
  Copyright terms: Public domain W3C validator