Theorem measinblem 34716

Description: Lemma for measinb 34717. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
measinblem	⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → (𝑀‘(∪ 𝐵 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑥 ∈ 𝐵(𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunin1 5034	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∩ 𝐴)
2		uniiun 5021	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥
3	2	ineq1i 4165	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐵 ∩ 𝐴) = (∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∩ 𝐴)
4	1, 3	eqtr4i 2788	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴) = (∪ 𝐵 ∩ 𝐴)
5	4	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑀‘(∪ 𝐵 ∩ 𝐴))
6		simplll 787	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
7		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆)
8		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ≼ ω
9		nfdisj1 5088	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥
10	8, 9	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)
11	7, 10	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥))
12		simp1ll 1255	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
13		measbase 34693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
15		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆)
17		elelpwi 4570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18	15, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑆)
19		simp1lr 1256	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
20		inelsiga 34631	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
21	14, 18, 19, 20	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
22	21	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆))
23	11, 22	ralrimi 3262	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆)
24		simprl 783	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → 𝐵 ≼ ω)
25		disjin 33044	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴))
26	25	ad2antll 742	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → Disj 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴))
27		measvuni 34710	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴))) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑥 ∈ 𝐵(𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
28	6, 23, 24, 26, 27	syl112anc 1401	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑥 ∈ 𝐵(𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
29	5, 28	eqtr3id 2811	1 ⊢ ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥)) → (𝑀‘(∪ 𝐵 ∩ 𝐴)) = Σ*𝑥 ∈ 𝐵(𝑀‘(𝑥 ∩ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∩ cin 3901  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5107  ran crn 5660  ‘cfv 6537  ωcom 7865   ≼ cdom 8953  Σ^*cesum 34522  sigAlgebracsiga 34603  measurescmeas 34691

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16155  df-sin 16157  df-cos 16158  df-pi 16160  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-rest 17509  df-topn 17510  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-topgen 17530  df-pt 17531  df-prds 17534  df-ordt 17589  df-xrs 17590  df-qtop 17595  df-imas 17596  df-xps 17598  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-ps 18656  df-tsr 18657  df-plusf 18731  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-abv 20974  df-lmod 21045  df-scaf 21046  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-psmet 21576  df-xmet 21577  df-met 21578  df-bl 21579  df-mopn 21580  df-fbas 21581  df-fg 21582  df-cnfld 21585  df-top 23118  df-topon 23135  df-topsp 23157  df-bases 23170  df-cld 23243  df-ntr 23244  df-cls 23245  df-nei 23322  df-lp 23360  df-perf 23361  df-cn 23451  df-cnp 23452  df-haus 23539  df-tx 23787  df-hmeo 23980  df-fil 24071  df-fm 24163  df-flim 24164  df-flf 24165  df-tmd 24297  df-tgp 24298  df-tsms 24352  df-trg 24385  df-xms 24545  df-ms 24546  df-tms 24547  df-nm 24807  df-ngp 24808  df-nrg 24810  df-nlm 24811  df-ii 25104  df-cncf 25105  df-limc 26093  df-dv 26094  df-log 26789  df-esum 34523  df-siga 34604  df-meas 34692

This theorem is used by:  measinb  34717