Theorem probfinmeasb 34441

Description: Build a probability measure from a finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
probfinmeasb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob)

Proof of Theorem probfinmeasb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measdivcst 34237	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘𝑆))
2		measfn 34217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀 Fn 𝑆)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑀 Fn 𝑆)
4		measbase 34210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+)
7	3, 5, 6	ofcfn 34113	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) Fn 𝑆)
8	7	fndmd 6586	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 𝑆)
9	8	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = (measures‘𝑆))
10	1, 9	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))))
11		measbasedom 34215	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))))
12	10, 11	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures)
13	8	unieqd 4869	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = ∪ 𝑆)
14	13	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆))
15		unielsiga 34141	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
16	5, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
17		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ ∪ 𝑆 ∈ 𝑆) → (𝑀‘∪ 𝑆) = (𝑀‘∪ 𝑆))
18	3, 5, 6, 17	ofcval 34112	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ ∪ 𝑆 ∈ 𝑆) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
19	16, 18	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
20		rpre 12899	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ)
21		rpne0 12907	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0)
22		xdivid 32908	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
25	14, 19, 24	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 1)
26		elprob 34422	. 2 ⊢ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob ↔ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 1))
27	12, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∪ cuni 4856  dom cdm 5614  ran crn 5615   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007  ℝ⁺crp 12890   /_𝑒 cxdiv 32897   ∘_f/c cofc 34108  sigAlgebracsiga 34121  measurescmeas 34208  Probcprb 34420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-xrs 17406  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-ps 18472  df-tsr 18473  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-ntr 22935  df-nei 23013  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-tsms 24042  df-xdiv 32898  df-esum 34041  df-ofc 34109  df-siga 34122  df-meas 34209  df-prob 34421

This theorem is referenced by:  coinflipprob  34493