Theorem probfinmeasb 34410

Description: Build a probability measure from a finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
probfinmeasb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob)

Proof of Theorem probfinmeasb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measdivcst 34205	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘𝑆))
2		measfn 34185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀 Fn 𝑆)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑀 Fn 𝑆)
4		measbase 34178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+)
7	3, 5, 6	ofcfn 34081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) Fn 𝑆)
8	7	fndmd 6674	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 𝑆)
9	8	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = (measures‘𝑆))
10	1, 9	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))))
11		measbasedom 34183	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))))
12	10, 11	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures)
13	8	unieqd 4925	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = ∪ 𝑆)
14	13	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆))
15		unielsiga 34109	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
16	5, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
17		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ ∪ 𝑆 ∈ 𝑆) → (𝑀‘∪ 𝑆) = (𝑀‘∪ 𝑆))
18	3, 5, 6, 17	ofcval 34080	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ ∪ 𝑆 ∈ 𝑆) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
19	16, 18	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
20		rpre 13041	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ)
21		rpne0 13049	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0)
22		xdivid 32895	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
25	14, 19, 24	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 1)
26		elprob 34391	. 2 ⊢ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob ↔ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 1))
27	12, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∪ cuni 4912  dom cdm 5689  ran crn 5690   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ℝ⁺crp 13032   /_𝑒 cxdiv 32884   ∘_f/c cofc 34076  sigAlgebracsiga 34089  measurescmeas 34176  Probcprb 34389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-xrs 17549  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tsms 24151  df-xdiv 32885  df-esum 34009  df-ofc 34077  df-siga 34090  df-meas 34177  df-prob 34390

This theorem is referenced by:  coinflipprob  34461