Theorem probfinmeasb 34396

Description: Build a probability measure from a finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
probfinmeasb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob)

Proof of Theorem probfinmeasb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measdivcst 34191	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘𝑆))
2		measfn 34171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀 Fn 𝑆)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑀 Fn 𝑆)
4		measbase 34164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+)
7	3, 5, 6	ofcfn 34067	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) Fn 𝑆)
8	7	fndmd 6587	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 𝑆)
9	8	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = (measures‘𝑆))
10	1, 9	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))))
11		measbasedom 34169	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))))
12	10, 11	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures)
13	8	unieqd 4871	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = ∪ 𝑆)
14	13	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆))
15		unielsiga 34095	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
16	5, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
17		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ ∪ 𝑆 ∈ 𝑆) → (𝑀‘∪ 𝑆) = (𝑀‘∪ 𝑆))
18	3, 5, 6, 17	ofcval 34066	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ ∪ 𝑆 ∈ 𝑆) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
19	16, 18	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
20		rpre 12902	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ)
21		rpne0 12910	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0)
22		xdivid 32868	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
25	14, 19, 24	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 1)
26		elprob 34377	. 2 ⊢ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob ↔ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 1))
27	12, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∪ cuni 4858  dom cdm 5619  ran crn 5620   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  ℝ⁺crp 12893   /_𝑒 cxdiv 32857   ∘_f/c cofc 34062  sigAlgebracsiga 34075  measurescmeas 34162  Probcprb 34375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-xrs 17406  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-ps 18472  df-tsr 18473  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-ntr 22905  df-nei 22983  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-tsms 24012  df-xdiv 32858  df-esum 33995  df-ofc 34063  df-siga 34076  df-meas 34163  df-prob 34376

This theorem is referenced by:  coinflipprob  34448