Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probfinmeasb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probfinmeasb 33415
Description: Build a probability measure from a finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasb ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ Prob)

Proof of Theorem probfinmeasb
StepHypRef Expression
1 measdivcst 33210 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ (measuresβ€˜π‘†))
2 measfn 33190 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑀 Fn 𝑆)
32adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 Fn 𝑆)
4 measbase 33183 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
54adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
6 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+)
73, 5, 6ofcfn 33086 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) Fn 𝑆)
87fndmd 6651 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = 𝑆)
98fveq2d 6892 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (measuresβ€˜dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = (measuresβ€˜π‘†))
101, 9eleqtrrd 2836 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ (measuresβ€˜dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))))
11 measbasedom 33188 . . 3 ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ βˆͺ ran measures ↔ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ (measuresβ€˜dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))))
1210, 11sylibr 233 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ βˆͺ ran measures)
138unieqd 4921 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ βˆͺ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = βˆͺ 𝑆)
1413fveq2d 6892 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))β€˜βˆͺ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))β€˜βˆͺ 𝑆))
15 unielsiga 33114 . . . . 5 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
165, 15syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
17 eqidd 2733 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) = (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))
183, 5, 6, 17ofcval 33085 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))β€˜βˆͺ 𝑆) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))
1916, 18mpdan 685 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))β€˜βˆͺ 𝑆) = ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)))
20 rpre 12978 . . . . 5 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ)
21 rpne0 12986 . . . . 5 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) β‰  0)
22 xdivid 32081 . . . . 5 (((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) β‰  0) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = 1)
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = 1)
2423adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) = 1)
2514, 19, 243eqtrd 2776 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))β€˜βˆͺ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = 1)
26 elprob 33396 . 2 ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ Prob ↔ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ βˆͺ ran measures ∧ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))β€˜βˆͺ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆))) = 1))
2712, 25, 26sylanbrc 583 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆) ∈ ℝ+) β†’ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (π‘€β€˜βˆͺ 𝑆)) ∈ Prob)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆͺ cuni 4907  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6535  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  β„+crp 12970   /𝑒 cxdiv 32070   ∘f/c cofc 33081  sigAlgebracsiga 33094  measurescmeas 33181  Probcprb 33394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tsms 23622  df-xdiv 32071  df-esum 33014  df-ofc 33082  df-siga 33095  df-meas 33182  df-prob 33395
This theorem is referenced by:  coinflipprob  33466
  Copyright terms: Public domain W3C validator