Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probfinmeasb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probfinmeasb 34430
Description: Build a probability measure from a finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasb ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ Prob)

Proof of Theorem probfinmeasb
StepHypRef Expression
1 measdivcst 34225 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ (measures‘𝑆))
2 measfn 34205 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀 Fn 𝑆)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑀 Fn 𝑆)
4 measbase 34198 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑆 ran sigAlgebra)
6 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+)
73, 5, 6ofcfn 34101 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) Fn 𝑆)
87fndmd 6673 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 𝑆)
98fveq2d 6910 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = (measures‘𝑆))
101, 9eleqtrrd 2844 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))))
11 measbasedom 34203 . . 3 ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ran measures ↔ (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))))
1210, 11sylibr 234 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ran measures)
138unieqd 4920 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 𝑆)
1413fveq2d 6910 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ 𝑆))
15 unielsiga 34129 . . . . 5 (𝑆 ran sigAlgebra → 𝑆𝑆)
165, 15syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑆𝑆)
17 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ 𝑆𝑆) → (𝑀 𝑆) = (𝑀 𝑆))
183, 5, 6, 17ofcval 34100 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ 𝑆𝑆) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ 𝑆) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
1916, 18mpdan 687 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ 𝑆) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
20 rpre 13043 . . . . 5 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ∈ ℝ)
21 rpne0 13051 . . . . 5 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ≠ 0)
22 xdivid 32910 . . . . 5 (((𝑀 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2423adantl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2514, 19, 243eqtrd 2781 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 1)
26 elprob 34411 . 2 ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ Prob ↔ ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ran measures ∧ ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 1))
2712, 25, 26sylanbrc 583 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ Prob)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   cuni 4907  dom cdm 5685  ran crn 5686   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  +crp 13034   /𝑒 cxdiv 32899  f/c cofc 34096  sigAlgebracsiga 34109  measurescmeas 34196  Probcprb 34409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tsms 24135  df-xdiv 32900  df-esum 34029  df-ofc 34097  df-siga 34110  df-meas 34197  df-prob 34410
This theorem is referenced by:  coinflipprob  34482
  Copyright terms: Public domain W3C validator