Theorem probfinmeasb 34725

Description: Build a probability measure from a finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
probfinmeasb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob)

Proof of Theorem probfinmeasb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measdivcst 34521	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘𝑆))
2		measfn 34501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀 Fn 𝑆)
3	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑀 Fn 𝑆)
4		measbase 34494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+)
7	3, 5, 6	ofcfn 34397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) Fn 𝑆)
8	7	fndmd 6626	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 𝑆)
9	8	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = (measures‘𝑆))
10	1, 9	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))))
11		measbasedom 34499	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))))
12	10, 11	sylibr 236	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures)
13	8	unieqd 4878	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = ∪ 𝑆)
14	13	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆))
15		unielsiga 34425	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
16	5, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
17		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ ∪ 𝑆 ∈ 𝑆) → (𝑀‘∪ 𝑆) = (𝑀‘∪ 𝑆))
18	3, 5, 6, 17	ofcval 34396	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ ∪ 𝑆 ∈ 𝑆) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
19	16, 18	mpdan 697	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
20		rpre 13002	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ)
21		rpne0 13010	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0)
22		xdivid 33105	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
23	20, 21, 22	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
24	23	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
25	14, 19, 24	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 1)
26		elprob 34706	. 2 ⊢ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob ↔ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 1))
27	12, 25, 26	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∪ cuni 4865  dom cdm 5647  ran crn 5648   Fn wfn 6516  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074  ℝ⁺crp 12993   /_𝑒 cxdiv 33094   ∘_f/c cofc 34392  sigAlgebracsiga 34405  measurescmeas 34492  Probcprb 34704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-ordt 17531  df-xrs 17532  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-ps 18598  df-tsr 18599  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-ntr 23080  df-nei 23158  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-haus 23375  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-tsms 24187  df-xdiv 33095  df-esum 34325  df-ofc 34393  df-siga 34406  df-meas 34493  df-prob 34705

This theorem is referenced by:  coinflipprob  34777