Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probfinmeasb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probfinmeasb 32897
Description: Build a probability measure from a finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasb ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ Prob)

Proof of Theorem probfinmeasb
StepHypRef Expression
1 measdivcst 32692 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ (measures‘𝑆))
2 measfn 32672 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀 Fn 𝑆)
32adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑀 Fn 𝑆)
4 measbase 32665 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
54adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑆 ran sigAlgebra)
6 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+)
73, 5, 6ofcfn 32568 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) Fn 𝑆)
87fndmd 6604 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 𝑆)
98fveq2d 6843 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = (measures‘𝑆))
101, 9eleqtrrd 2841 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))))
11 measbasedom 32670 . . 3 ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ran measures ↔ (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))))
1210, 11sylibr 233 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ran measures)
138unieqd 4877 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 𝑆)
1413fveq2d 6843 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ 𝑆))
15 unielsiga 32596 . . . . 5 (𝑆 ran sigAlgebra → 𝑆𝑆)
165, 15syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑆𝑆)
17 eqidd 2737 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ 𝑆𝑆) → (𝑀 𝑆) = (𝑀 𝑆))
183, 5, 6, 17ofcval 32567 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ 𝑆𝑆) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ 𝑆) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
1916, 18mpdan 685 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ 𝑆) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
20 rpre 12915 . . . . 5 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ∈ ℝ)
21 rpne0 12923 . . . . 5 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ≠ 0)
22 xdivid 31667 . . . . 5 (((𝑀 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2423adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2514, 19, 243eqtrd 2780 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 1)
26 elprob 32878 . 2 ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ Prob ↔ ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ran measures ∧ ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 1))
2712, 25, 26sylanbrc 583 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ Prob)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   cuni 4863  dom cdm 5631  ran crn 5632   Fn wfn 6488  cfv 6493  (class class class)co 7353  cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048  +crp 12907   /𝑒 cxdiv 31656  f/c cofc 32563  sigAlgebracsiga 32576  measurescmeas 32663  Probcprb 32876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ioc 13261  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-hash 14223  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-ordt 17375  df-xrs 17376  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-ps 18447  df-tsr 18448  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-mhm 18593  df-submnd 18594  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-ntr 22355  df-nei 22433  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-haus 22650  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-tsms 23462  df-xdiv 31657  df-esum 32496  df-ofc 32564  df-siga 32577  df-meas 32664  df-prob 32877
This theorem is referenced by:  coinflipprob  32948
  Copyright terms: Public domain W3C validator