Theorem probfinmeasb 34460

Description: Build a probability measure from a finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
probfinmeasb	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob)

Proof of Theorem probfinmeasb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		measdivcst 34255	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘𝑆))
2		measfn 34235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀 Fn 𝑆)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑀 Fn 𝑆)
4		measbase 34228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
6		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+)
7	3, 5, 6	ofcfn 34131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) Fn 𝑆)
8	7	fndmd 6643	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 𝑆)
9	8	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = (measures‘𝑆))
10	1, 9	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))))
11		measbasedom 34233	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures ↔ (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))))
12	10, 11	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures)
13	8	unieqd 4896	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = ∪ 𝑆)
14	13	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆))
15		unielsiga 34159	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
16	5, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
17		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ ∪ 𝑆 ∈ 𝑆) → (𝑀‘∪ 𝑆) = (𝑀‘∪ 𝑆))
18	3, 5, 6, 17	ofcval 34130	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ ∪ 𝑆 ∈ 𝑆) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
19	16, 18	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ 𝑆) = ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)))
20		rpre 13017	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ)
21		rpne0 13025	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0)
22		xdivid 32902	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∪ 𝑆) /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) = 1)
25	14, 19, 24	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 1)
26		elprob 34441	. 2 ⊢ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob ↔ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ ∪ ran measures ∧ ((𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))‘∪ dom (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆))) = 1))
27	12, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀‘∪ 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 ∘f/c /𝑒 (𝑀‘∪ 𝑆)) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∪ cuni 4883  dom cdm 5654  ran crn 5655   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130  ℝ⁺crp 13008   /_𝑒 cxdiv 32891   ∘_f/c cofc 34126  sigAlgebracsiga 34139  measurescmeas 34226  Probcprb 34439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-ordt 17515  df-xrs 17516  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-ps 18576  df-tsr 18577  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-ntr 22958  df-nei 23036  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-tsms 24065  df-xdiv 32892  df-esum 34059  df-ofc 34127  df-siga 34140  df-meas 34227  df-prob 34440

This theorem is referenced by:  coinflipprob  34512