Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probfinmeasb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probfinmeasb 31743
 Description: Build a probability measure from a finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasb ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ Prob)

Proof of Theorem probfinmeasb
StepHypRef Expression
1 measdivcst 31540 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ (measures‘𝑆))
2 measfn 31520 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀 Fn 𝑆)
32adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑀 Fn 𝑆)
4 measbase 31513 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
54adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑆 ran sigAlgebra)
6 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+)
73, 5, 6ofcfn 31416 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) Fn 𝑆)
87fndmd 6445 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 𝑆)
98fveq2d 6665 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (measures‘dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = (measures‘𝑆))
101, 9eleqtrrd 2919 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))))
11 measbasedom 31518 . . 3 ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ran measures ↔ (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ (measures‘dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))))
1210, 11sylibr 237 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ran measures)
138unieqd 4838 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 𝑆)
1413fveq2d 6665 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ 𝑆))
15 unielsiga 31444 . . . . 5 (𝑆 ran sigAlgebra → 𝑆𝑆)
165, 15syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → 𝑆𝑆)
17 eqidd 2825 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ 𝑆𝑆) → (𝑀 𝑆) = (𝑀 𝑆))
183, 5, 6, 17ofcval 31415 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) ∧ 𝑆𝑆) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ 𝑆) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
1916, 18mpdan 686 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ 𝑆) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
20 rpre 12394 . . . . 5 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ∈ ℝ)
21 rpne0 12402 . . . . 5 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ≠ 0)
22 xdivid 30615 . . . . 5 (((𝑀 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2320, 21, 22syl2anc 587 . . . 4 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2423adantl 485 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2514, 19, 243eqtrd 2863 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 1)
26 elprob 31724 . 2 ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ Prob ↔ ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ran measures ∧ ((𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))‘ dom (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 1))
2712, 25, 26sylanbrc 586 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑀f/c /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ Prob)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∪ cuni 4824  dom cdm 5542  ran crn 5543   Fn wfn 6338  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℝcr 10534  0cc0 10535  1c1 10536  ℝ+crp 12386   /𝑒 cxdiv 30604   ∘f/c cofc 31411  sigAlgebracsiga 31424  measurescmeas 31511  Probcprb 31722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-ordt 16774  df-xrs 16775  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-ps 17810  df-tsr 17811  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-ntr 21628  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tsms 22735  df-xdiv 30605  df-esum 31344  df-ofc 31412  df-siga 31425  df-meas 31512  df-prob 31723 This theorem is referenced by:  coinflipprob  31794
 Copyright terms: Public domain W3C validator