MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioomnf 12474
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioomnf (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem elioomnf
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10352 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
2 elioo2 12421 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
31, 2mpan 681 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
4 an32 636 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ -∞ < 𝐵))
5 df-3an 1109 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴))
6 mnflt 12160 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
76adantr 472 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → -∞ < 𝐵)
87pm4.71i 555 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ -∞ < 𝐵))
94, 5, 83bitr4i 294 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴))
103, 9syl6bb 278 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107  wcel 2155   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  cr 10190  -∞cmnf 10328  *cxr 10329   < clt 10330  (,)cioo 12380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-ioo 12384
This theorem is referenced by:  bndth  23039  mbfmulc2lem  23708  mbfposr  23713  ismbf3d  23715  mbfi1fseqlem4  23779  itg2monolem1  23811  dvne0  24068  mbfposadd  33883  itg2addnclem2  33888  iblabsnclem  33899  ftc1anclem1  33911  ftc1anclem6  33916  rfcnpre2  39845
  Copyright terms: Public domain W3C validator