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Theorem mbfmax 25157
Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmax.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfmax.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmax.3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
mbfmax.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmax.5 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
mbfmax (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐻(π‘₯)
Proof of Theorem mbfmax
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmax.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
21ffvelcdmda 7083 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3 mbfmax.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
43ffvelcdmda 7083 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
52, 4ifcld 4573 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
6 mbfmax.5 . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯)))
75, 6fmptd 7110 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„)
83adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
98ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
109rexrd 11260 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ*)
111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
1312rexrd 11260 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ*)
14 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
15 xrmaxle 13158 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ≀ 𝑦 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ≀ 𝑦)))
1610, 13, 14, 15syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ≀ 𝑦 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ≀ 𝑦)))
1716notbid 317 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§) ≀ 𝑦 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ≀ 𝑦)))
18 ianor 980 . . . . . . . . . 10 (Β¬ ((πΉβ€˜π‘§) ≀ 𝑦 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ≀ 𝑦) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘§) ≀ 𝑦 ∨ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) ≀ 𝑦))
1917, 18bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦 ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘§) ≀ 𝑦 ∨ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) ≀ 𝑦)))
20 pnfxr 11264 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
21 elioo2 13361 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < +∞)))
2214, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < +∞)))
23 3anan12 1096 . . . . . . . . . . . 12 ((if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < +∞) ↔ (𝑦 < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∧ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < +∞)))
2422, 23bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∧ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < +∞))))
25 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
26 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘§))
2725, 26breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§)))
2827, 26, 25ifbieq12d 4555 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΊβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)))
29 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΊβ€˜π‘§) ∈ V
30 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πΉβ€˜π‘§) ∈ V
3129, 30ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . 14 if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V
3228, 6, 31fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘§) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘§) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)))
3433eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ (𝑦(,)+∞)))
3512, 9ifcld 4573 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
36 ltpnf 13096 . . . . . . . . . . . . 13 (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < +∞)
3735, 36jccir 522 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < +∞))
3837biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (𝑦 < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∧ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < +∞))))
3924, 34, 383bitr4d 310 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§))))
4035rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ*)
41 xrltnle 11277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ↔ Β¬ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
4214, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ↔ Β¬ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
4339, 42bitrd 278 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ Β¬ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ≀ 𝑦))
44 elioo2 13361 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) < +∞)))
4514, 20, 44sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) < +∞)))
46 3anan12 1096 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) < +∞) ↔ (𝑦 < (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) < +∞)))
4745, 46bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) < +∞))))
48 ltpnf 13096 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘§) < +∞)
499, 48jccir 522 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) < +∞))
5049biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (πΉβ€˜π‘§) ↔ (𝑦 < (πΉβ€˜π‘§) ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) < +∞))))
51 xrltnle 11277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 < (πΉβ€˜π‘§) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘§) ≀ 𝑦))
5214, 10, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (πΉβ€˜π‘§) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘§) ≀ 𝑦))
5347, 50, 523bitr2d 306 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘§) ≀ 𝑦))
54 elioo2 13361 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΊβ€˜π‘§) ∧ (πΊβ€˜π‘§) < +∞)))
5514, 20, 54sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΊβ€˜π‘§) ∧ (πΊβ€˜π‘§) < +∞)))
56 3anan12 1096 . . . . . . . . . . . 12 (((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (πΊβ€˜π‘§) ∧ (πΊβ€˜π‘§) < +∞) ↔ (𝑦 < (πΊβ€˜π‘§) ∧ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) < +∞)))
5755, 56bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < (πΊβ€˜π‘§) ∧ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) < +∞))))
58 ltpnf 13096 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘§) < +∞)
5912, 58jccir 522 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) < +∞))
6059biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (πΊβ€˜π‘§) ↔ (𝑦 < (πΊβ€˜π‘§) ∧ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) < +∞))))
61 xrltnle 11277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 < (πΊβ€˜π‘§) ↔ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) ≀ 𝑦))
6214, 13, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 < (πΊβ€˜π‘§) ↔ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) ≀ 𝑦))
6357, 60, 623bitr2d 306 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) ≀ 𝑦))
6453, 63orbi12d 917 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (Β¬ (πΉβ€˜π‘§) ≀ 𝑦 ∨ Β¬ (πΊβ€˜π‘§) ≀ 𝑦)))
6519, 43, 643bitr4d 310 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6665pm5.32da 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (π»β€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
67 andi 1006 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞))) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6866, 67bitrdi 286 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (π»β€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
697ffnd 6715 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝐴)
7069adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ 𝐻 Fn 𝐴)
71 elpreima 7056 . . . . . . 7 (𝐻 Fn 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐻 β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (π»β€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐻 β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (π»β€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞))))
738ffnd 6715 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
74 elpreima 7056 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7611ffnd 6715 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
77 elpreima 7056 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7975, 78orbi12d 917 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞))) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
8068, 72, 793bitr4d 310 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐻 β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞)))))
81 elun 4147 . . . . 5 (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) βˆͺ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞))) ↔ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞))))
8280, 81bitr4di 288 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐻 β€œ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) βˆͺ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞)))))
8382eqrdv 2730 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐻 β€œ (𝑦(,)+∞)) = ((◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) βˆͺ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞))))
84 mbfmax.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
85 mbfima 25138 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
8684, 3, 85syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
87 mbfmax.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
88 mbfima 25138 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
8987, 1, 88syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
90 unmbl 25045 . . . . 5 (((◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) βˆͺ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9186, 89, 90syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) βˆͺ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9291adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((◑𝐹 β€œ (𝑦(,)+∞)) βˆͺ (◑𝐺 β€œ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9383, 92eqeltrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐻 β€œ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
94 xrmaxlt 13156 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) < 𝑦 ∧ (πΊβ€˜π‘§) < 𝑦)))
9510, 13, 14, 94syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) < 𝑦 ∧ (πΊβ€˜π‘§) < 𝑦)))
96 mnfxr 11267 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
97 elioo2 13361 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < 𝑦)))
9896, 14, 97sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < 𝑦)))
99 df-3an 1089 . . . . . . . . . . 11 ((if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < 𝑦) ↔ ((if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§))) ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < 𝑦))
10098, 99bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§))) ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < 𝑦)))
10133eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ (-∞(,)𝑦)))
102 mnflt 13099 . . . . . . . . . . . 12 (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ β†’ -∞ < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)))
10335, 102jccir 522 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§))))
104103biantrurd 533 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < 𝑦 ↔ ((if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§))) ∧ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < 𝑦)))
105100, 101, 1043bitr4d 310 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if((πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΊβ€˜π‘§), (πΊβ€˜π‘§), (πΉβ€˜π‘§)) < 𝑦))
106 mnflt 13099 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ -∞ < (πΉβ€˜π‘§))
1079, 106jccir 522 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘§)))
108 elioo2 13361 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) < 𝑦)))
10996, 14, 108sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) < 𝑦)))
110 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜π‘§) < 𝑦) ↔ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘§)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) < 𝑦))
111109, 110bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΉβ€˜π‘§)) ∧ (πΉβ€˜π‘§) < 𝑦)))
112107, 111mpbirand 705 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (πΉβ€˜π‘§) < 𝑦))
113 mnflt 13099 . . . . . . . . . . . 12 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ -∞ < (πΊβ€˜π‘§))
11412, 113jccir 522 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΊβ€˜π‘§)))
115 elioo2 13361 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΊβ€˜π‘§) ∧ (πΊβ€˜π‘§) < 𝑦)))
11696, 14, 115sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΊβ€˜π‘§) ∧ (πΊβ€˜π‘§) < 𝑦)))
117 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . 12 (((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΊβ€˜π‘§) ∧ (πΊβ€˜π‘§) < 𝑦) ↔ (((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΊβ€˜π‘§)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) < 𝑦))
118116, 117bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (((πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ -∞ < (πΊβ€˜π‘§)) ∧ (πΊβ€˜π‘§) < 𝑦)))
119114, 118mpbirand 705 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (πΊβ€˜π‘§) < 𝑦))
120112, 119anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) < 𝑦 ∧ (πΊβ€˜π‘§) < 𝑦)))
12195, 105, 1203bitr4d 310 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦))))
122121pm5.32da 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (π»β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
123 anandi 674 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦))) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦))))
124122, 123bitrdi 286 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (π»β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
125 elpreima 7056 . . . . . . 7 (𝐻 Fn 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (π»β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦))))
12670, 125syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (π»β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦))))
127 elpreima 7056 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦))))
12873, 127syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦))))
129 elpreima 7056 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦))))
13076, 129syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦))))
131128, 130anbi12d 631 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦))) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
132124, 126, 1313bitr4d 310 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦)))))
133 elin 3963 . . . . 5 (𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∩ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦))))
134132, 133bitr4di 288 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∩ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦)))))
135134eqrdv 2730 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)𝑦)) = ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∩ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦))))
136 mbfima 25138 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
13784, 3, 136syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
138 mbfima 25138 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:π΄βŸΆβ„) β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
13987, 1, 138syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
140 inmbl 25050 . . . . 5 (((◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∩ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
141137, 139, 140syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∩ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
142141adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∩ (◑𝐺 β€œ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
143135, 142eqeltrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (◑𝐻 β€œ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
1447, 93, 143ismbfd 25147 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  (,)cioo 13320  volcvol 24971  MblFncmbf 25122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127
This theorem is referenced by:  mbfpos  25159
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