MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmax 25013
Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmax.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmax.2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmax.3 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmax.4 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmax.5 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)))
Assertion
Ref Expression
mbfmax (𝜑𝐻 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem mbfmax
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmax.3 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
21ffvelcdmda 7035 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
3 mbfmax.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
43ffvelcdmda 7035 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
52, 4ifcld 4532 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
6 mbfmax.5 . . 3 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)))
75, 6fmptd 7062 . 2 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℝ)
83adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
98ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
109rexrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ*)
111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
1211ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
1312rexrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ*)
14 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
15 xrmaxle 13102 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
1610, 13, 14, 15syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
1716notbid 317 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ¬ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
18 ianor 980 . . . . . . . . . 10 (¬ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦) ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
1917, 18bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
20 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
21 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
2214, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
23 3anan12 1096 . . . . . . . . . . . 12 ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
2422, 23bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))))
25 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
26 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
2725, 26breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧)))
2827, 26, 25ifbieq12d 4514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
29 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺𝑧) ∈ V
30 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝑧) ∈ V
3129, 30ifex 4536 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ V
3228, 6, 31fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 → (𝐻𝑧) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
3433eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞)))
3512, 9ifcld 4532 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
36 ltpnf 13041 . . . . . . . . . . . . 13 (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)
3735, 36jccir 522 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))
3837biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))))
3924, 34, 383bitr4d 310 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))))
4035rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
41 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
4214, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
4339, 42bitrd 278 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
44 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
4514, 20, 44sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
46 3anan12 1096 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
4745, 46bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))))
48 ltpnf 13041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (𝐹𝑧) < +∞)
499, 48jccir 522 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))
5049biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))))
51 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ*) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
5214, 10, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
5347, 50, 523bitr2d 306 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
54 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
5514, 20, 54sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
56 3anan12 1096 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
5755, 56bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))))
58 ltpnf 13041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑧) ∈ ℝ → (𝐺𝑧) < +∞)
5912, 58jccir 522 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))
6059biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))))
61 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6214, 13, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6357, 60, 623bitr2d 306 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6453, 63orbi12d 917 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
6519, 43, 643bitr4d 310 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6665pm5.32da 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
67 andi 1006 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6866, 67bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
697ffnd 6669 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn 𝐴)
7069adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
71 elpreima 7008 . . . . . . 7 (𝐻 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
738ffnd 6669 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
74 elpreima 7008 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7611ffnd 6669 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐺 Fn 𝐴)
77 elpreima 7008 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7975, 78orbi12d 917 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
8068, 72, 793bitr4d 310 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)))))
81 elun 4108 . . . . 5 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))))
8280, 81bitr4di 288 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)))))
8382eqrdv 2734 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))))
84 mbfmax.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
85 mbfima 24994 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
8684, 3, 85syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
87 mbfmax.4 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
88 mbfima 24994 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
8987, 1, 88syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
90 unmbl 24901 . . . . 5 (((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9186, 89, 90syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9291adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9383, 92eqeltrd 2838 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
94 xrmaxlt 13100 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
9510, 13, 14, 94syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
96 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
97 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
9896, 14, 97sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
99 df-3an 1089 . . . . . . . . . . 11 ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦) ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦))
10098, 99bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
10133eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦)))
102 mnflt 13044 . . . . . . . . . . . 12 (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ → -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
10335, 102jccir 522 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))))
104103biantrurd 533 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
105100, 101, 1043bitr4d 310 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦))
106 mnflt 13044 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹𝑧))
1079, 106jccir 522 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)))
108 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
10996, 14, 108sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
110 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦))
111109, 110bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
112107, 111mpbirand 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) < 𝑦))
113 mnflt 13044 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑧) ∈ ℝ → -∞ < (𝐺𝑧))
11412, 113jccir 522 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)))
115 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
11696, 14, 115sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
117 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦) ↔ (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦))
118116, 117bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
119114, 118mpbirand 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐺𝑧) < 𝑦))
120112, 119anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
12195, 105, 1203bitr4d 310 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
122121pm5.32da 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
123 anandi 674 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
124122, 123bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
125 elpreima 7008 . . . . . . 7 (𝐻 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
12670, 125syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
127 elpreima 7008 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
12873, 127syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
129 elpreima 7008 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
13076, 129syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
131128, 130anbi12d 631 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
132124, 126, 1313bitr4d 310 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)))))
133 elin 3926 . . . . 5 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))))
134132, 133bitr4di 288 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)))))
135134eqrdv 2734 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))))
136 mbfima 24994 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
13784, 3, 136syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
138 mbfima 24994 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
13987, 1, 138syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
140 inmbl 24906 . . . . 5 (((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol ∧ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
141137, 139, 140syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
142141adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
143135, 142eqeltrd 2838 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
1447, 93, 143ismbfd 25003 1 (𝜑𝐻 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3908  cin 3909  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  dom cdm 5633  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  (,)cioo 13264  volcvol 24827  MblFncmbf 24978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983
This theorem is referenced by:  mbfpos  25015
  Copyright terms: Public domain W3C validator