MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmax 25698
Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmax.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmax.2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmax.3 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmax.4 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmax.5 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)))
Assertion
Ref Expression
mbfmax (𝜑𝐻 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem mbfmax
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmax.3 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
21ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
3 mbfmax.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
43ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
52, 4ifcld 4577 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
6 mbfmax.5 . . 3 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)))
75, 6fmptd 7134 . 2 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℝ)
83adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
98ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
109rexrd 11309 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ*)
111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
1211ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
1312rexrd 11309 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ*)
14 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
15 xrmaxle 13222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
1610, 13, 14, 15syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
1716notbid 318 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ¬ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
18 ianor 983 . . . . . . . . . 10 (¬ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦) ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
1917, 18bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
20 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
21 elioo2 13425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
2214, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
23 3anan12 1095 . . . . . . . . . . . 12 ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
2422, 23bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))))
25 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
26 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
2725, 26breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧)))
2827, 26, 25ifbieq12d 4559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
29 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺𝑧) ∈ V
30 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝑧) ∈ V
3129, 30ifex 4581 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ V
3228, 6, 31fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 → (𝐻𝑧) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
3433eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞)))
3512, 9ifcld 4577 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
36 ltpnf 13160 . . . . . . . . . . . . 13 (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)
3735, 36jccir 521 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))
3837biantrud 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))))
3924, 34, 383bitr4d 311 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))))
4035rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
41 xrltnle 11326 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
4214, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
4339, 42bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
44 elioo2 13425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
4514, 20, 44sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
46 3anan12 1095 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
4745, 46bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))))
48 ltpnf 13160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (𝐹𝑧) < +∞)
499, 48jccir 521 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))
5049biantrud 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))))
51 xrltnle 11326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ*) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
5214, 10, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
5347, 50, 523bitr2d 307 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
54 elioo2 13425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
5514, 20, 54sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
56 3anan12 1095 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
5755, 56bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))))
58 ltpnf 13160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑧) ∈ ℝ → (𝐺𝑧) < +∞)
5912, 58jccir 521 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))
6059biantrud 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))))
61 xrltnle 11326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6214, 13, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6357, 60, 623bitr2d 307 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6453, 63orbi12d 918 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
6519, 43, 643bitr4d 311 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6665pm5.32da 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
67 andi 1009 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6866, 67bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
697ffnd 6738 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn 𝐴)
7069adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
71 elpreima 7078 . . . . . . 7 (𝐻 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
738ffnd 6738 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
74 elpreima 7078 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7611ffnd 6738 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐺 Fn 𝐴)
77 elpreima 7078 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7975, 78orbi12d 918 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
8068, 72, 793bitr4d 311 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)))))
81 elun 4163 . . . . 5 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))))
8280, 81bitr4di 289 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)))))
8382eqrdv 2733 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))))
84 mbfmax.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
85 mbfima 25679 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
8684, 3, 85syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
87 mbfmax.4 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
88 mbfima 25679 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
8987, 1, 88syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
90 unmbl 25586 . . . . 5 (((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9186, 89, 90syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9291adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9383, 92eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
94 xrmaxlt 13220 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
9510, 13, 14, 94syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
96 mnfxr 11316 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
97 elioo2 13425 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
9896, 14, 97sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
99 df-3an 1088 . . . . . . . . . . 11 ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦) ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦))
10098, 99bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
10133eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦)))
102 mnflt 13163 . . . . . . . . . . . 12 (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ → -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
10335, 102jccir 521 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))))
104103biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
105100, 101, 1043bitr4d 311 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦))
106 mnflt 13163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹𝑧))
1079, 106jccir 521 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)))
108 elioo2 13425 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
10996, 14, 108sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
110 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦))
111109, 110bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
112107, 111mpbirand 707 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) < 𝑦))
113 mnflt 13163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑧) ∈ ℝ → -∞ < (𝐺𝑧))
11412, 113jccir 521 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)))
115 elioo2 13425 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
11696, 14, 115sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
117 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦) ↔ (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦))
118116, 117bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
119114, 118mpbirand 707 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐺𝑧) < 𝑦))
120112, 119anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
12195, 105, 1203bitr4d 311 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
122121pm5.32da 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
123 anandi 676 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
124122, 123bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
125 elpreima 7078 . . . . . . 7 (𝐻 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
12670, 125syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
127 elpreima 7078 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
12873, 127syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
129 elpreima 7078 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
13076, 129syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
131128, 130anbi12d 632 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
132124, 126, 1313bitr4d 311 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)))))
133 elin 3979 . . . . 5 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))))
134132, 133bitr4di 289 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)))))
135134eqrdv 2733 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))))
136 mbfima 25679 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
13784, 3, 136syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
138 mbfima 25679 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
13987, 1, 138syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
140 inmbl 25591 . . . . 5 (((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol ∧ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
141137, 139, 140syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
142141adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
143135, 142eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
1447, 93, 143ismbfd 25688 1 (𝜑𝐻 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  cin 3962  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  dom cdm 5689  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  (,)cioo 13384  volcvol 25512  MblFncmbf 25663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668
This theorem is referenced by:  mbfpos  25700
  Copyright terms: Public domain W3C validator