MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmax 23707
Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmax.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmax.2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmax.3 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmax.4 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmax.5 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)))
Assertion
Ref Expression
mbfmax (𝜑𝐻 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem mbfmax
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmax.3 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
21ffvelrnda 6549 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
3 mbfmax.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
43ffvelrnda 6549 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
52, 4ifcld 4288 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
6 mbfmax.5 . . 3 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)))
75, 6fmptd 6574 . 2 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℝ)
83adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
98ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
109rexrd 10343 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ*)
111adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
1312rexrd 10343 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ*)
14 simplr 785 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
15 xrmaxle 12216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
1610, 13, 14, 15syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
1716notbid 309 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ¬ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
18 ianor 1004 . . . . . . . . . 10 (¬ ((𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦) ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
1917, 18syl6bb 278 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
20 pnfxr 10346 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
21 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
2214, 20, 21sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
23 3anan12 1117 . . . . . . . . . . . 12 ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)))
2422, 23syl6bb 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))))
25 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
26 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
2725, 26breq12d 4822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧)))
2827, 26, 25ifbieq12d 4270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → if((𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥), (𝐺𝑥), (𝐹𝑥)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
29 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺𝑧) ∈ V
30 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝑧) ∈ V
3129, 30ifex 4291 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ V
3228, 6, 31fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 → (𝐻𝑧) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
3332adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
3433eleq1d 2829 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (𝑦(,)+∞)))
3512, 9ifcld 4288 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
36 ltpnf 12154 . . . . . . . . . . . . 13 (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞)
3735, 36jccir 517 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))
3837biantrud 527 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < +∞))))
3924, 34, 383bitr4d 302 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))))
4035rexrd 10343 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
41 xrltnle 10359 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
4214, 40, 41syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
4339, 42bitrd 270 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ≤ 𝑦))
44 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
4514, 20, 44sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
46 3anan12 1117 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < +∞) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞)))
4745, 46syl6bb 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))))
48 ltpnf 12154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (𝐹𝑧) < +∞)
499, 48jccir 517 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))
5049biantrud 527 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 < (𝐹𝑧) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < +∞))))
51 xrltnle 10359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ*) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
5214, 10, 51syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐹𝑧) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
5347, 50, 523bitr2d 298 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦))
54 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
5514, 20, 54sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
56 3anan12 1117 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < +∞) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞)))
5755, 56syl6bb 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))))
58 ltpnf 12154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑧) ∈ ℝ → (𝐺𝑧) < +∞)
5912, 58jccir 517 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))
6059biantrud 527 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ (𝑦 < (𝐺𝑧) ∧ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) < +∞))))
61 xrltnle 10359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6214, 13, 61syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < (𝐺𝑧) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6357, 60, 623bitr2d 298 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦))
6453, 63orbi12d 942 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (¬ (𝐹𝑧) ≤ 𝑦 ∨ ¬ (𝐺𝑧) ≤ 𝑦)))
6519, 43, 643bitr4d 302 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6665pm5.32da 574 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
67 andi 1030 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ∨ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6866, 67syl6bb 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
697ffnd 6224 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn 𝐴)
7069adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
71 elpreima 6527 . . . . . . 7 (𝐻 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
738ffnd 6224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
74 elpreima 6527 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7611ffnd 6224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐺 Fn 𝐴)
77 elpreima 6527 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
7975, 78orbi12d 942 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ∨ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))))
8068, 72, 793bitr4d 302 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)))))
81 elun 3915 . . . . 5 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∨ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))))
8280, 81syl6bbr 280 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)))))
8382eqrdv 2763 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))))
84 mbfmax.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
85 mbfima 23688 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
8684, 3, 85syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
87 mbfmax.4 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
88 mbfima 23688 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
8987, 1, 88syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
90 unmbl 23595 . . . . 5 (((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9186, 89, 90syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9291adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (𝑦(,)+∞)) ∪ (𝐺 “ (𝑦(,)+∞))) ∈ dom vol)
9383, 92eqeltrd 2844 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
94 xrmaxlt 12214 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
9510, 13, 14, 94syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
96 mnfxr 10350 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
97 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
9896, 14, 97sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
99 df-3an 1109 . . . . . . . . . . 11 ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦) ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦))
10098, 99syl6bb 278 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
10133eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ (-∞(,)𝑦)))
102 mnflt 12157 . . . . . . . . . . . 12 (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ → -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)))
10335, 102jccir 517 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))))
104103biantrurd 528 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ ((if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ -∞ < if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧))) ∧ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦)))
105100, 101, 1043bitr4d 302 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐺𝑧), (𝐺𝑧), (𝐹𝑧)) < 𝑦))
106 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
10796, 14, 106sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
108 df-3an 1109 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦))
109107, 108syl6bb 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
110 mnflt 12157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → -∞ < (𝐹𝑧))
1119, 110jccir 517 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)))
112111biantrurd 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) < 𝑦 ↔ (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑦)))
113109, 112bitr4d 273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) < 𝑦))
114 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
11596, 14, 114sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
116 df-3an 1109 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦) ↔ (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦))
117115, 116syl6bb 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
118 mnflt 12157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑧) ∈ ℝ → -∞ < (𝐺𝑧))
11912, 118jccir 517 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)))
120119biantrurd 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) < 𝑦 ↔ (((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ -∞ < (𝐺𝑧)) ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
121117, 120bitr4d 273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐺𝑧) < 𝑦))
122113, 121anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) < 𝑦 ∧ (𝐺𝑧) < 𝑦)))
12395, 105, 1223bitr4d 302 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
124123pm5.32da 574 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
125 anandi 666 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
126124, 125syl6bb 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
127 elpreima 6527 . . . . . . 7 (𝐻 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
12870, 127syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐻𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
129 elpreima 6527 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
13073, 129syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
131 elpreima 6527 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
13276, 131syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
133130, 132anbi12d 624 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))))
134126, 128, 1333bitr4d 302 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)))))
135 elin 3958 . . . . 5 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))))
136134, 135syl6bbr 280 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)))))
137136eqrdv 2763 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))))
138 mbfima 23688 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
13984, 3, 138syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
140 mbfima 23688 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
14187, 1, 140syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
142 inmbl 23600 . . . . 5 (((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol ∧ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
143139, 141, 142syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
144143adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑦)) ∩ (𝐺 “ (-∞(,)𝑦))) ∈ dom vol)
145137, 144eqeltrd 2844 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
1467, 93, 145ismbfd 23697 1 (𝜑𝐻 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cun 3730  cin 3731  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ccnv 5276  dom cdm 5277  cima 5280   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  (,)cioo 12377  volcvol 23521  MblFncmbf 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xadd 12147  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-xmet 20012  df-met 20013  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677
This theorem is referenced by:  mbfpos  23709
  Copyright terms: Public domain W3C validator