Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvclteel 33466
Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvclteel.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvclteel (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvclteel
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3 orvclteel.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 rexr 11259 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
54ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
6 mnflt 13102 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -∞ < π‘₯)
76ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ -∞ < π‘₯)
8 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐴)
97, 8jca 512 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))
105, 9jca 512 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)))
11 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
123adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
13 simprrl 779 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ -∞ < π‘₯)
14 simprrr 780 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ π‘₯ ≀ 𝐴)
15 xrre 13147 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1716, 14jca 512 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))
1810, 17impbida 799 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))))
1918rabbidva2 3434 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)})
20 mnfxr 11270 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
213rexrd 11263 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
22 iocval 13360 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (-∞(,]𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)})
2320, 21, 22sylancr 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)})
2419, 23eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} = (-∞(,]𝐴))
25 iocmnfcld 24284 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
263, 25syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
2724, 26eqeltrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
281, 2, 3, 27orrvccel 33460 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  -∞cmnf 11245  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  (,)cioo 13323  (,]cioc 13324  topGenctg 17382  Clsdccld 22519  Probcprb 33401  rRndVarcrrv 33434  βˆ˜RV/𝑐corvc 33449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-topgen 17388  df-top 22395  df-bases 22448  df-cld 22522  df-esum 33021  df-siga 33102  df-sigagen 33132  df-brsiga 33175  df-meas 33189  df-mbfm 33243  df-prob 33402  df-rrv 33435  df-orvc 33450
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  33468  dstfrvinc  33470  dstfrvclim1  33471
  Copyright terms: Public domain W3C validator