Theorem orvclteel 34780

Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvclteel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvclteel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstfrv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstfrv.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvclteel.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rexr 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
5	4	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6		mnflt 13139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
7	6	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → -∞ < 𝑥)
8		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → 𝑥 ≤ 𝐴)
9	7, 8	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))
10	5, 9	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
11		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12	3	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		simprrl 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → -∞ < 𝑥)
14		simprrr 793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → 𝑥 ≤ 𝐴)
15		xrre 13186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ)
17	16, 14	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))
18	10, 17	impbida 812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))))
19	18	rabbidva2 3419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)})
20		mnfxr 11254	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
21	3	rexrd 11247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		iocval 13400	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞(,]𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)})
23	20, 21, 22	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)})
24	19, 23	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} = (-∞(,]𝐴))
25		iocmnfcld 24886	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
26	3, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
27	24, 26	eqeltrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
28	1, 2, 3, 27	orrvccel 34774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  ran crn 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  -∞cmnf 11229  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  (,)cioo 13363  (,]cioc 13364  topGenctg 17480  Clsdccld 23134  Probcprb 34714  rRndVarcrrv 34747  ∘_RV/𝑐corvc 34763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-ac2 10435  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-topgen 17486  df-top 23012  df-bases 23064  df-cld 23137  df-esum 34335  df-siga 34416  df-sigagen 34446  df-brsiga 34489  df-meas 34503  df-mbfm 34557  df-prob 34715  df-rrv 34748  df-orvc 34764

This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  34782  dstfrvinc  34784  dstfrvclim1  34785