Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvclteel 34001
Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvclteel.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvclteel (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvclteel
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3 orvclteel.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 rexr 11264 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
54ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
6 mnflt 13109 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -∞ < π‘₯)
76ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ -∞ < π‘₯)
8 simprr 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐴)
97, 8jca 511 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))
105, 9jca 511 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)))
11 simprl 768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
123adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
13 simprrl 778 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ -∞ < π‘₯)
14 simprrr 779 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ π‘₯ ≀ 𝐴)
15 xrre 13154 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1716, 14jca 511 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))
1810, 17impbida 798 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))))
1918rabbidva2 3428 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)})
20 mnfxr 11275 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
213rexrd 11268 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
22 iocval 13367 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (-∞(,]𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)})
2320, 21, 22sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)})
2419, 23eqtr4d 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} = (-∞(,]𝐴))
25 iocmnfcld 24640 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
263, 25syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
2724, 26eqeltrd 2827 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
281, 2, 3, 27orrvccel 33995 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  (,)cioo 13330  (,]cioc 13331  topGenctg 17392  Clsdccld 22875  Probcprb 33936  rRndVarcrrv 33969  βˆ˜RV/𝑐corvc 33984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-topgen 17398  df-top 22751  df-bases 22804  df-cld 22878  df-esum 33556  df-siga 33637  df-sigagen 33667  df-brsiga 33710  df-meas 33724  df-mbfm 33778  df-prob 33937  df-rrv 33970  df-orvc 33985
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  34003  dstfrvinc  34005  dstfrvclim1  34006
  Copyright terms: Public domain W3C validator