Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvclteel 31367
Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteel.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvclteel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvclteel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3 orvclteel.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 rexr 10482 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
54ad2antrl 715 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6 mnflt 12332 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
76ad2antrl 715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → -∞ < 𝑥)
8 simprr 760 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
97, 8jca 504 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))
105, 9jca 504 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)))
11 simprl 758 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
123adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 simprrl 768 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → -∞ < 𝑥)
14 simprrr 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝑥𝐴)
15 xrre 12376 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 826 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1716, 14jca 504 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴))
1810, 17impbida 788 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))))
1918rabbidva2 3397 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)})
20 mnfxr 10494 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
213rexrd 10486 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
22 iocval 12588 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞(,]𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)})
2320, 21, 22sylancr 578 . . . 4 (𝜑 → (-∞(,]𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)})
2419, 23eqtr4d 2814 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = (-∞(,]𝐴))
25 iocmnfcld 23074 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
263, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
2724, 26eqeltrd 2863 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
281, 2, 3, 27orrvccel 31361 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  {crab 3089   class class class wbr 4927  dom cdm 5404  ran crn 5405  cfv 6186  (class class class)co 6974  cr 10330  -∞cmnf 10468  *cxr 10469   < clt 10470  cle 10471  (,)cioo 12551  (,]cioc 12552  topGenctg 16561  Clsdccld 21322  Probcprb 31302  rRndVarcrrv 31335  RV/𝑐corvc 31350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-inf2 8894  ax-ac2 9679  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-iin 4793  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-2o 7902  df-oadd 7905  df-er 8085  df-map 8204  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-sup 8697  df-inf 8698  df-oi 8765  df-dju 9120  df-card 9158  df-acn 9161  df-ac 9332  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-n0 11705  df-z 11791  df-uz 12056  df-q 12160  df-ioo 12555  df-ioc 12556  df-topgen 16567  df-top 21200  df-bases 21252  df-cld 21325  df-esum 30922  df-siga 31003  df-sigagen 31034  df-brsiga 31077  df-meas 31091  df-mbfm 31145  df-prob 31303  df-rrv 31336  df-orvc 31351
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  31369  dstfrvinc  31371  dstfrvclim1  31372
  Copyright terms: Public domain W3C validator