Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvclteel 33129
Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvclteel.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvclteel (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvclteel
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
3 orvclteel.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 rexr 11206 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
54ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
6 mnflt 13049 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -∞ < π‘₯)
76ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ -∞ < π‘₯)
8 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐴)
97, 8jca 513 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))
105, 9jca 513 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)))
11 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
123adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
13 simprrl 780 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ -∞ < π‘₯)
14 simprrr 781 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ π‘₯ ≀ 𝐴)
15 xrre 13094 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1716, 14jca 513 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))
1810, 17impbida 800 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴))))
1918rabbidva2 3408 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)})
20 mnfxr 11217 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
213rexrd 11210 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
22 iocval 13307 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) β†’ (-∞(,]𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)})
2320, 21, 22sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐴) = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (-∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴)})
2419, 23eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} = (-∞(,]𝐴))
25 iocmnfcld 24148 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
263, 25syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
2724, 26eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
281, 2, 3, 27orrvccel 33123 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  -∞cmnf 11192  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  (,)cioo 13270  (,]cioc 13271  topGenctg 17324  Clsdccld 22383  Probcprb 33064  rRndVarcrrv 33097  βˆ˜RV/𝑐corvc 33112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-topgen 17330  df-top 22259  df-bases 22312  df-cld 22386  df-esum 32684  df-siga 32765  df-sigagen 32795  df-brsiga 32838  df-meas 32852  df-mbfm 32906  df-prob 33065  df-rrv 33098  df-orvc 33113
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  33131  dstfrvinc  33133  dstfrvclim1  33134
  Copyright terms: Public domain W3C validator