Theorem orvclteel 34841

Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvclteel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvclteel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstfrv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstfrv.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvclteel.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rexr 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
5	4	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6		mnflt 13149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
7	6	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → -∞ < 𝑥)
8		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → 𝑥 ≤ 𝐴)
9	7, 8	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))
10	5, 9	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
11		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12	3	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		simprrl 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → -∞ < 𝑥)
14		simprrr 793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → 𝑥 ≤ 𝐴)
15		xrre 13196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ)
17	16, 14	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))
18	10, 17	impbida 812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))))
19	18	rabbidva2 3418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)})
20		mnfxr 11267	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
21	3	rexrd 11260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
22		iocval 13410	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞(,]𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)})
23	20, 21, 22	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)})
24	19, 23	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} = (-∞(,]𝐴))
25		iocmnfcld 24906	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
26	3, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
27	24, 26	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
28	1, 2, 3, 27	orrvccel 34835	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴) ∈ dom 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,)cioo 13373  (,]cioc 13374  topGenctg 17491  Clsdccld 23154  Probcprb 34775  rRndVarcrrv 34808  ∘_RV/𝑐corvc 34824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-ac2 10448  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-ac 10101  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-topgen 17497  df-top 23032  df-bases 23084  df-cld 23157  df-esum 34396  df-siga 34477  df-sigagen 34507  df-brsiga 34550  df-meas 34564  df-mbfm 34618  df-prob 34776  df-rrv 34809  df-orvc 34825

This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  34843  dstfrvinc  34845  dstfrvclim1  34846