Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvclteel 31840
 Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteel.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
orvclteel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem orvclteel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3 orvclteel.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 rexr 10676 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
54ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6 mnflt 12506 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
76ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → -∞ < 𝑥)
8 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
97, 8jca 515 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))
105, 9jca 515 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)))
11 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
123adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 simprrl 780 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → -∞ < 𝑥)
14 simprrr 781 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝑥𝐴)
15 xrre 12550 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 837 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1716, 14jca 515 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴))
1810, 17impbida 800 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴))))
1918rabbidva2 3423 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)})
20 mnfxr 10687 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
213rexrd 10680 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
22 iocval 12763 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞(,]𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)})
2320, 21, 22sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → (-∞(,]𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (-∞ < 𝑥𝑥𝐴)})
2419, 23eqtr4d 2836 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} = (-∞(,]𝐴))
25 iocmnfcld 23374 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
263, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
2724, 26eqeltrd 2890 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
281, 2, 3, 27orrvccel 31834 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ∈ dom 𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  -∞cmnf 10662  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727  topGenctg 16703  Clsdccld 21621  Probcprb 31775  rRndVarcrrv 31808  ∘RV/𝑐corvc 31823 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-topgen 16709  df-top 21499  df-bases 21551  df-cld 21624  df-esum 31397  df-siga 31478  df-sigagen 31508  df-brsiga 31551  df-meas 31565  df-mbfm 31619  df-prob 31776  df-rrv 31809  df-orvc 31824 This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  31842  dstfrvinc  31844  dstfrvclim1  31845
 Copyright terms: Public domain W3C validator