Theorem dya2icobrsiga 34570

Description: Dyadic intervals are Borel sets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
dya2icobrsiga	⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝔅ℝ

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dya2icobrsiga

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		ovex 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
3	1, 2	elrnmpo 7532	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
5		mnfxr 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ ∈ ℝ*)
7		simpl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
8	7	zred 12677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		2rp 12998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
11		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
12	10, 11	rpexpcld 14260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
13	8, 12	rerpdivcld 13068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
15		1red 11182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
16	8, 15	readdcld 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
17	16, 12	rerpdivcld 13068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
19		mnflt 13125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
20	13, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
21		difioo 32981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛))) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
22	6, 14, 18, 20, 21	syl31anc 1392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
23		brsigarn 34478	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
24		elrnsiga 34420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra
26		retop 24818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27		iooretop 24822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
28		elsigagen 34441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
29	26, 27, 28	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
30		df-brsiga 34476	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
31	29, 30	eleqtrri 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
32		iooretop 24822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
33		elsigagen 34441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
34	26, 32, 33	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
35	34, 30	eleqtrri 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
36		difelsiga 34427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ)
37	25, 31, 35, 36	mp3an 1482	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ
38	22, 37	eqeltrrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
39	38	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
40	4, 39	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
41	40	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ))
42	41	rexlimivv 3204	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
43	3, 42	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
44	43	ssriv 3940	1 ⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝔅ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  ran crn 5648  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  ℝcr 11072  1c1 11074   + caddc 11076  -∞cmnf 11214  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   / cdiv 11844  2c2 12272  ℤcz 12568  ℝ⁺crp 12993  (,)cioo 13349  [,)cico 13351  ↑cexp 14074  topGenctg 17466  Topctop 22950  sigAlgebracsiga 34402  sigaGencsigagen 34432  𝔅_ℝcbrsiga 34475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-ac2 10420  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-acn 9900  df-ac 10072  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-seq 14015  df-exp 14075  df-topgen 17472  df-top 22951  df-bases 23003  df-siga 34403  df-sigagen 34433  df-brsiga 34476

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem2  34580  sxbrsigalem5  34582