Theorem dya2icobrsiga 34278

Description: Dyadic intervals are Borel sets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
dya2icobrsiga	⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝔅ℝ

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dya2icobrsiga

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		ovex 7464	. . . 4 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
3	1, 2	elrnmpo 7569	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
5		mnfxr 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ ∈ ℝ*)
7		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
8	7	zred 12722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		2rp 13039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
12	10, 11	rpexpcld 14286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
13	8, 12	rerpdivcld 13108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
15		1red 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
16	8, 15	readdcld 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
17	16, 12	rerpdivcld 13108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
19		mnflt 13165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
20	13, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
21		difioo 32784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛))) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
22	6, 14, 18, 20, 21	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
23		brsigarn 34185	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
24		elrnsiga 34127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra
26		retop 24782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27		iooretop 24786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
28		elsigagen 34148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
29	26, 27, 28	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
30		df-brsiga 34183	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
31	29, 30	eleqtrri 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
32		iooretop 24786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
33		elsigagen 34148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
34	26, 32, 33	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
35	34, 30	eleqtrri 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
36		difelsiga 34134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ)
37	25, 31, 35, 36	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ
38	22, 37	eqeltrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
40	4, 39	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ))
42	41	rexlimivv 3201	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
43	3, 42	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
44	43	ssriv 3987	1 ⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝔅ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   / cdiv 11920  2c2 12321  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  ↑cexp 14102  topGenctg 17482  Topctop 22899  sigAlgebracsiga 34109  sigaGencsigagen 34139  𝔅_ℝcbrsiga 34182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-seq 14043  df-exp 14103  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-siga 34110  df-sigagen 34140  df-brsiga 34183

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem2  34288  sxbrsigalem5  34290