Theorem dya2icobrsiga 34244

Description: Dyadic intervals are Borel sets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
dya2icobrsiga	⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝔅ℝ

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dya2icobrsiga

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		ovex 7382	. . . 4 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
3	1, 2	elrnmpo 7485	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
5		mnfxr 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ ∈ ℝ*)
7		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
8	7	zred 12580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		2rp 12898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
12	10, 11	rpexpcld 14154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
13	8, 12	rerpdivcld 12968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
15		1red 11116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
16	8, 15	readdcld 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
17	16, 12	rerpdivcld 12968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
19		mnflt 13025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
20	13, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
21		difioo 32725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛))) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
22	6, 14, 18, 20, 21	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
23		brsigarn 34151	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
24		elrnsiga 34093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra
26		retop 24647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27		iooretop 24651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
28		elsigagen 34114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
29	26, 27, 28	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
30		df-brsiga 34149	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
31	29, 30	eleqtrri 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
32		iooretop 24651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
33		elsigagen 34114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
34	26, 32, 33	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
35	34, 30	eleqtrri 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
36		difelsiga 34100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ)
37	25, 31, 35, 36	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ
38	22, 37	eqeltrrdi 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
40	4, 39	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ))
42	41	rexlimivv 3171	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
43	3, 42	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
44	43	ssriv 3939	1 ⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝔅ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012  -∞cmnf 11147  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   / cdiv 11777  2c2 12183  ℤcz 12471  ℝ⁺crp 12893  (,)cioo 13248  [,)cico 13250  ↑cexp 13968  topGenctg 17341  Topctop 22778  sigAlgebracsiga 34075  sigaGencsigagen 34105  𝔅_ℝcbrsiga 34148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-seq 13909  df-exp 13969  df-topgen 17347  df-top 22779  df-bases 22831  df-siga 34076  df-sigagen 34106  df-brsiga 34149

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem2  34254  sxbrsigalem5  34256