Theorem dya2icobrsiga 34274

Description: Dyadic intervals are Borel sets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
dya2icobrsiga	⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝔅ℝ

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dya2icobrsiga

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		ovex 7423	. . . 4 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
3	1, 2	elrnmpo 7528	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
5		mnfxr 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ ∈ ℝ*)
7		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
8	7	zred 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		2rp 12963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
12	10, 11	rpexpcld 14219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
13	8, 12	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
15		1red 11182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
16	8, 15	readdcld 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
17	16, 12	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
19		mnflt 13090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
20	13, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
21		difioo 32712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛))) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
22	6, 14, 18, 20, 21	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
23		brsigarn 34181	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
24		elrnsiga 34123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra
26		retop 24656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27		iooretop 24660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
28		elsigagen 34144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
29	26, 27, 28	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
30		df-brsiga 34179	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
31	29, 30	eleqtrri 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
32		iooretop 24660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
33		elsigagen 34144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
34	26, 32, 33	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
35	34, 30	eleqtrri 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
36		difelsiga 34130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ)
37	25, 31, 35, 36	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ
38	22, 37	eqeltrrdi 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
40	4, 39	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ))
42	41	rexlimivv 3180	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
43	3, 42	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
44	43	ssriv 3953	1 ⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝔅ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110  ran crn 5642  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   / cdiv 11842  2c2 12248  ℤcz 12536  ℝ⁺crp 12958  (,)cioo 13313  [,)cico 13315  ↑cexp 14033  topGenctg 17407  Topctop 22787  sigAlgebracsiga 34105  sigaGencsigagen 34135  𝔅_ℝcbrsiga 34178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-seq 13974  df-exp 14034  df-topgen 17413  df-top 22788  df-bases 22840  df-siga 34106  df-sigagen 34136  df-brsiga 34179

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem2  34284  sxbrsigalem5  34286