Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icobrsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2icobrsiga 33573
Description: Dyadic intervals are Borel sets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2icobrsiga ran 𝐼 βŠ† 𝔅ℝ
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘₯,𝑛)   𝐽(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem dya2icobrsiga
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dya2ioc.1 . . . 4 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
2 ovex 7444 . . . 4 ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
31, 2elrnmpo 7547 . . 3 (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
4 simpr 483 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
5 mnfxr 11275 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
7 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
87zred 12670 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9 2rp 12983 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 2 ∈ ℝ+)
11 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1210, 11rpexpcld 14214 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
138, 12rerpdivcld 13051 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1413rexrd 11268 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
15 1red 11219 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 1 ∈ ℝ)
168, 15readdcld 11247 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
1716, 12rerpdivcld 13051 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1817rexrd 11268 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
19 mnflt 13107 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ β†’ -∞ < (π‘₯ / (2↑𝑛)))
2013, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ -∞ < (π‘₯ / (2↑𝑛)))
21 difioo 32260 . . . . . . . . 9 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (π‘₯ / (2↑𝑛))) β†’ ((-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βˆ– (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛)))) = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
226, 14, 18, 20, 21syl31anc 1371 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βˆ– (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛)))) = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
23 brsigarn 33480 . . . . . . . . . 10 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
24 elrnsiga 33422 . . . . . . . . . 10 (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra
26 retop 24498 . . . . . . . . . . 11 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
27 iooretop 24502 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
28 elsigagen 33443 . . . . . . . . . . 11 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
2926, 27, 28mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
30 df-brsiga 33478 . . . . . . . . . 10 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
3129, 30eleqtrri 2830 . . . . . . . . 9 (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
32 iooretop 24502 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
33 elsigagen 33443 . . . . . . . . . . 11 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
3426, 32, 33mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
3534, 30eleqtrri 2830 . . . . . . . . 9 (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
36 difelsiga 33429 . . . . . . . . 9 ((𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ ∧ (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ) β†’ ((-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βˆ– (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ)
3725, 31, 35, 36mp3an 1459 . . . . . . . 8 ((-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βˆ– (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ
3822, 37eqeltrrdi 2840 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
3938adantr 479 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
404, 39eqeltrd 2831 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
4140ex 411 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) β†’ 𝑑 ∈ 𝔅ℝ))
4241rexlimivv 3197 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) β†’ 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
433, 42sylbi 216 . 2 (𝑑 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
4443ssriv 3985 1 ran 𝐼 βŠ† 𝔅ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   / cdiv 11875  2c2 12271  β„€cz 12562  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  β†‘cexp 14031  topGenctg 17387  Topctop 22615  sigAlgebracsiga 33404  sigaGencsigagen 33434  π”…ℝcbrsiga 33477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-seq 13971  df-exp 14032  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-siga 33405  df-sigagen 33435  df-brsiga 33478
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem2  33583  sxbrsigalem5  33585
  Copyright terms: Public domain W3C validator