Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icobrsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2icobrsiga 33275
Description: Dyadic intervals are Borel sets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2icobrsiga ran 𝐼 βŠ† 𝔅ℝ
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘₯,𝑛)   𝐽(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem dya2icobrsiga
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dya2ioc.1 . . . 4 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
2 ovex 7442 . . . 4 ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
31, 2elrnmpo 7545 . . 3 (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
4 simpr 486 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
5 mnfxr 11271 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
7 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
87zred 12666 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9 2rp 12979 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 2 ∈ ℝ+)
11 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1210, 11rpexpcld 14210 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
138, 12rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1413rexrd 11264 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
15 1red 11215 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 1 ∈ ℝ)
168, 15readdcld 11243 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
1716, 12rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
1817rexrd 11264 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
19 mnflt 13103 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ β†’ -∞ < (π‘₯ / (2↑𝑛)))
2013, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ -∞ < (π‘₯ / (2↑𝑛)))
21 difioo 31993 . . . . . . . . 9 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (π‘₯ / (2↑𝑛))) β†’ ((-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βˆ– (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛)))) = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
226, 14, 18, 20, 21syl31anc 1374 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βˆ– (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛)))) = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
23 brsigarn 33182 . . . . . . . . . 10 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„)
24 elrnsiga 33124 . . . . . . . . . 10 (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebraβ€˜β„) β†’ 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra
26 retop 24278 . . . . . . . . . . 11 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
27 iooretop 24282 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
28 elsigagen 33145 . . . . . . . . . . 11 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
2926, 27, 28mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
30 df-brsiga 33180 . . . . . . . . . 10 𝔅ℝ = (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
3129, 30eleqtrri 2833 . . . . . . . . 9 (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
32 iooretop 24282 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
33 elsigagen 33145 . . . . . . . . . . 11 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
3426, 32, 33mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGenβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
3534, 30eleqtrri 2833 . . . . . . . . 9 (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
36 difelsiga 33131 . . . . . . . . 9 ((𝔅ℝ ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ ∧ (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ) β†’ ((-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βˆ– (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ)
3725, 31, 35, 36mp3an 1462 . . . . . . . 8 ((-∞(,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βˆ– (-∞(,)(π‘₯ / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ
3822, 37eqeltrrdi 2843 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
3938adantr 482 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
404, 39eqeltrd 2834 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
4140ex 414 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) β†’ 𝑑 ∈ 𝔅ℝ))
4241rexlimivv 3200 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) β†’ 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
433, 42sylbi 216 . 2 (𝑑 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
4443ssriv 3987 1 ran 𝐼 βŠ† 𝔅ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   / cdiv 11871  2c2 12267  β„€cz 12558  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  β†‘cexp 14027  topGenctg 17383  Topctop 22395  sigAlgebracsiga 33106  sigaGencsigagen 33136  π”…ℝcbrsiga 33179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-seq 13967  df-exp 14028  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-brsiga 33180
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem2  33285  sxbrsigalem5  33287
  Copyright terms: Public domain W3C validator