Theorem dya2icobrsiga 34420

Description: Dyadic intervals are Borel sets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
dya2icobrsiga	⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝔅ℝ

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dya2icobrsiga

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		ovex 7400	. . . 4 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
3	1, 2	elrnmpo 7503	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
5		mnfxr 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ ∈ ℝ*)
7		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
8	7	zred 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		2rp 12947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
12	10, 11	rpexpcld 14209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
13	8, 12	rerpdivcld 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
15		1red 11145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
16	8, 15	readdcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
17	16, 12	rerpdivcld 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
19		mnflt 13074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
20	13, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛)))
21		difioo 32855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (𝑥 / (2↑𝑛))) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
22	6, 14, 18, 20, 21	syl31anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
23		brsigarn 34328	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
24		elrnsiga 34270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra
26		retop 24726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27		iooretop 24730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
28		elsigagen 34291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
29	26, 27, 28	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
30		df-brsiga 34326	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
31	29, 30	eleqtrri 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
32		iooretop 24730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))
33		elsigagen 34291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
34	26, 32, 33	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
35	34, 30	eleqtrri 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ
36		difelsiga 34277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ ∧ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ) → ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ)
37	25, 31, 35, 36	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞(,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∖ (-∞(,)(𝑥 / (2↑𝑛)))) ∈ 𝔅ℝ
38	22, 37	eqeltrrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ 𝔅ℝ)
40	4, 39	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ))
42	41	rexlimivv 3179	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
43	3, 42	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 → 𝑑 ∈ 𝔅ℝ)
44	43	ssriv 3925	1 ⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝔅ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   / cdiv 11807  2c2 12236  ℤcz 12524  ℝ⁺crp 12942  (,)cioo 13298  [,)cico 13300  ↑cexp 14023  topGenctg 17400  Topctop 22858  sigAlgebracsiga 34252  sigaGencsigagen 34282  𝔅_ℝcbrsiga 34325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-seq 13964  df-exp 14024  df-topgen 17406  df-top 22859  df-bases 22911  df-siga 34253  df-sigagen 34283  df-brsiga 34326

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem2  34430  sxbrsigalem5  34432