Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocbrsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocbrsiga 34240
Description: Dyadic intervals are Borel sets of . (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2iocbrsiga ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) ∈ 𝔅)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocbrsiga
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 dya2ioc.1 . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
31, 2dya2iocival 34238 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
4 mnfxr 11347 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → -∞ ∈ ℝ*)
6 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
76zred 12747 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 2rp 13062 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
10 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
119, 10rpexpcld 14296 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
127, 11rerpdivcld 13130 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1312rexrd 11340 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
14 1red 11291 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
157, 14readdcld 11319 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
1615, 11rerpdivcld 13130 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1716rexrd 11340 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
18 mnflt 13186 . . . . 5 ((𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁)))
1912, 18syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁)))
20 difioo 32787 . . . 4 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁))) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
215, 13, 17, 19, 20syl31anc 1373 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
22 brsigarn 34148 . . . . 5 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
23 elrnsiga 34090 . . . . 5 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 𝔅 ran sigAlgebra
25 retop 24803 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26 iooretop 24807 . . . . . 6 (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))
27 elsigagen 34111 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
2825, 26, 27mp2an 691 . . . . 5 (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
29 df-brsiga 34146 . . . . 5 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
3028, 29eleqtrri 2843 . . . 4 (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅
31 iooretop 24807 . . . . . 6 (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))
32 elsigagen 34111 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
3325, 31, 32mp2an 691 . . . . 5 (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
3433, 29eleqtrri 2843 . . . 4 (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅
35 difelsiga 34097 . . . 4 ((𝔅 ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅 ∧ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) ∈ 𝔅)
3624, 30, 34, 35mp3an 1461 . . 3 ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) ∈ 𝔅
3721, 36eqeltrrdi 2853 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅)
383, 37eqeltrd 2844 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) ∈ 𝔅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  cdif 3973   cuni 4931   class class class wbr 5166  ran crn 5701  cfv 6573  (class class class)co 7448  cmpo 7450  cr 11183  1c1 11185   + caddc 11187  -∞cmnf 11322  *cxr 11323   < clt 11324   / cdiv 11947  2c2 12348  cz 12639  +crp 13057  (,)cioo 13407  [,)cico 13409  cexp 14112  topGenctg 17497  Topctop 22920  sigAlgebracsiga 34072  sigaGencsigagen 34102  𝔅cbrsiga 34145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-seq 14053  df-exp 14113  df-topgen 17503  df-top 22921  df-bases 22974  df-siga 34073  df-sigagen 34103  df-brsiga 34146
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator