Theorem dya2iocbrsiga 34890

Description: Dyadic intervals are Borel sets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocbrsiga	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) ∈ 𝔅ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥, 𝑛)   𝐽(𝑥, 𝑛)   𝑁(𝑥, 𝑛)   𝑋(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem dya2iocbrsiga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		dya2ioc.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3	1, 2	dya2iocival 34888	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
4		mnfxr 11347	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → -∞ ∈ ℝ*)
6		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
7	6	zred 12784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		2rp 13106	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
10		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	9, 10	rpexpcld 14371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
12	7, 11	rerpdivcld 13176	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11340	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
14		1red 11290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
15	7, 14	readdcld 11319	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
16	15, 11	rerpdivcld 13176	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11340	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
18		mnflt 13233	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁)))
19	12, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁)))
20		difioo 33356	. . . 4 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁))) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
21	5, 13, 17, 19, 20	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
22		brsigarn 34799	. . . . 5 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
23		elrnsiga 34740	. . . . 5 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra
25		retop 25060	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26		iooretop 25064	. . . . . 6 ⊢ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))
27		elsigagen 34762	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
28	25, 26, 27	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
29		df-brsiga 34797	. . . . 5 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
30	28, 29	eleqtrri 2860	. . . 4 ⊢ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅ℝ
31		iooretop 25064	. . . . . 6 ⊢ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))
32		elsigagen 34762	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
33	25, 31, 32	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
34	33, 29	eleqtrri 2860	. . . 4 ⊢ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅ℝ
35		difelsiga 34749	. . . 4 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅ℝ ∧ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅ℝ) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) ∈ 𝔅ℝ)
36	24, 30, 34, 35	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) ∈ 𝔅ℝ
37	21, 36	eqeltrrdi 2870	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅ℝ)
38	3, 37	eqeltrd 2861	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) ∈ 𝔅ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ran crn 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℝcr 11180  1c1 11182   + caddc 11184  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   / cdiv 11954  2c2 12378  ℤcz 12674  ℝ⁺crp 13101  (,)cioo 13457  [,)cico 13459  ↑cexp 14184  topGenctg 17588  Topctop 23191  sigAlgebracsiga 34722  sigaGencsigagen 34753  𝔅_ℝcbrsiga 34796

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-seq 14125  df-exp 14185  df-topgen 17594  df-top 23192  df-bases 23244  df-siga 34723  df-sigagen 34754  df-brsiga 34797

This theorem is used by: (None)