Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocbrsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocbrsiga 32875
Description: Dyadic intervals are Borel sets of . (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2iocbrsiga ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) ∈ 𝔅)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocbrsiga
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 dya2ioc.1 . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
31, 2dya2iocival 32873 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
4 mnfxr 11212 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → -∞ ∈ ℝ*)
6 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
76zred 12607 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 2rp 12920 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
10 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
119, 10rpexpcld 14150 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
127, 11rerpdivcld 12988 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1312rexrd 11205 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
14 1red 11156 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
157, 14readdcld 11184 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
1615, 11rerpdivcld 12988 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1716rexrd 11205 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
18 mnflt 13044 . . . . 5 ((𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁)))
1912, 18syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁)))
20 difioo 31685 . . . 4 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁))) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
215, 13, 17, 19, 20syl31anc 1373 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
22 brsigarn 32783 . . . . 5 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
23 elrnsiga 32725 . . . . 5 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 𝔅 ran sigAlgebra
25 retop 24125 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26 iooretop 24129 . . . . . 6 (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))
27 elsigagen 32746 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
2825, 26, 27mp2an 690 . . . . 5 (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
29 df-brsiga 32781 . . . . 5 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
3028, 29eleqtrri 2837 . . . 4 (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅
31 iooretop 24129 . . . . . 6 (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))
32 elsigagen 32746 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
3325, 31, 32mp2an 690 . . . . 5 (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
3433, 29eleqtrri 2837 . . . 4 (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅
35 difelsiga 32732 . . . 4 ((𝔅 ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅 ∧ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) ∈ 𝔅)
3624, 30, 34, 35mp3an 1461 . . 3 ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) ∈ 𝔅
3721, 36eqeltrrdi 2847 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅)
383, 37eqeltrd 2838 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) ∈ 𝔅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3907   cuni 4865   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189   / cdiv 11812  2c2 12208  cz 12499  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  cexp 13967  topGenctg 17319  Topctop 22242  sigAlgebracsiga 32707  sigaGencsigagen 32737  𝔅cbrsiga 32780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-seq 13907  df-exp 13968  df-topgen 17325  df-top 22243  df-bases 22296  df-siga 32708  df-sigagen 32738  df-brsiga 32781
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator