Theorem bndth 24027

Description: The Boundedness Theorem. A continuous function from a compact topological space to the reals is bounded (above). (Boundedness below is obtained by applying this theorem to -𝐹.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bndth.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
bndth.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
bndth.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
bndth	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem bndth

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndth.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		bndth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3		bndth.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		retopon 23833	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
5	3, 4	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
6	5	toponunii 21973	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
7	2, 6	cnf 22305	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
9	8	frnd 6592	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
10		unieq 4847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ∪ 𝑢 = ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
11		imassrn 5969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ran (,)
12	11	unissi 4845	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ∪ ran (,)
13		unirnioo 13110	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
14	12, 13	sseqtrri 3954	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
16		ltp1 11745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
17		ressxr 10950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
18		peano2re 11078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
19	17, 18	sselid 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
20		elioomnf 13105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
22	15, 16, 21	mpbir2and 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)))
23		df-ov 7258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)(𝑥 + 1)) = ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩)
24		mnfxr 10963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25	24	elexi 3441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -∞ ∈ V
26	25	snid 4594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ {-∞}
27		opelxpi 5617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-∞ ∈ {-∞} ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
28	26, 18, 27	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
29		ioof 13108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
30		ffun 6587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Fun (,)
32		snssi 4738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → {-∞} ⊆ ℝ*)
33	24, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {-∞} ⊆ ℝ*
34		xpss12 5595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({-∞} ⊆ ℝ* ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
35	33, 17, 34	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
36	29	fdmi 6596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
37	35, 36	sseqtrri 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)
38		funfvima2 7089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun (,) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)) → (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))))
39	31, 37, 38	mp2an 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
40	28, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
41	23, 40	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
42		elunii 4841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∧ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))) → 𝑥 ∈ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
43	22, 41, 42	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
44	43	ssriv 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ))
45	14, 44	eqssi 3933	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) = ℝ
46	10, 45	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ∪ 𝑢 = ℝ)
47	46	sseq2d 3949	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 ↔ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
48		pweq 4546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝒫 𝑢 = 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
49	48	ineq1d 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (𝒫 𝑢 ∩ Fin) = (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin))
50	49	rexeqdv 3340	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣))
51	47, 50	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ((ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)))
52		bndth.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
53		rncmp 22455	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp)
54	52, 1, 53	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp)
55		retop 23831	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
56	3, 55	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ Top
57	6	cmpsub 22459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → ((𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)))
58	56, 9, 57	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)))
59	54, 58	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣))
60		retopbas 23830	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
61		bastg 22024	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
63	62, 3	sseqtrri 3954	. . . . . . 7 ⊢ ran (,) ⊆ 𝐾
64	11, 63	sstri 3926	. . . . . 6 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝐾
65	56, 64	elpwi2 5265	. . . . 5 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾
66	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾)
67	51, 59, 66	rspcdva 3554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣))
68	9, 67	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)
69		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin))
70		elin 3899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
71	69, 70	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
72	71	adantrr 713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
73	72	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → 𝑣 ∈ Fin)
74	71	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
75	74	elpwid 4541	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
76	33	sseli 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 ∈ ℝ*)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℝ*)
78	17	sseli 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
79	78	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*)
80		mnflt 12788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → -∞ < 𝑤)
81		xrltnle 10973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
82	24, 78, 81	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
83	80, 82	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
85		elsni 4575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 = -∞)
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 = -∞)
87	86	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 ≤ 𝑢 ↔ 𝑤 ≤ -∞))
88	84, 87	mtbird 324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤 ≤ 𝑢)
89		ioo0 13033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤 ≤ 𝑢))
90	76, 78, 89	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤 ≤ 𝑢))
91	90	necon3abid 2979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑤 ≤ 𝑢))
92	88, 91	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅)
93		df-ioo 13012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,) = (𝑦 ∈ ℝ*, 𝑧 ∈ ℝ* ↦ {𝑣 ∈ ℝ* ∣ (𝑦 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑧)})
94		idd 24	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤 → 𝑥 < 𝑤))
95		xrltle 12812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤 → 𝑥 ≤ 𝑤))
96		idd 24	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥 → 𝑢 < 𝑥))
97		xrltle 12812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥 → 𝑢 ≤ 𝑥))
98	93, 94, 95, 96, 97	ixxub 13029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
99	77, 79, 92, 98	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
100		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
101	99, 100	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
102	101	rgen2 3126	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ
103		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩))
104		df-ov 7258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩)
105	103, 104	eqtr4di 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = (𝑢(,)𝑤))
106	105	supeq1d 9135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) = sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ))
107	106	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → (sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
108	107	ralxp 5739	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
109	102, 108	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ
110		ffn 6584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
111	29, 110	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
112		supeq1 9134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ((,)‘𝑧) → sup(𝑤, ℝ*, < ) = sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ))
113	112	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ((,)‘𝑧) → (sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
114	113	ralima 7096	. . . . . . . 8 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
115	111, 35, 114	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
116	109, 115	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ
117		ssralv 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ → ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
118	75, 116, 117	mpisyl 21	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
119	118	adantrr 713	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
120		fimaxre3 11851	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ Fin ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
121	73, 119, 120	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
122		simplrr 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)
123	122	sselda 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑣)
124		eluni2 4840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑣 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤)
125		r19.29r 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑤 ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
126		sspwuni 5025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ)
127	14, 126	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
128	75	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
129		simp2r 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ 𝑣)
130	128, 129	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
131	127, 130	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ 𝒫 ℝ)
132	131	elpwid 4541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
133		simp3l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
134	132, 133	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
135	118	r19.21bi 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
136	135	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
137	136	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
138		simp2l 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
139	132, 17	sstrdi 3929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ*)
140		supxrub 12987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
141	139, 133, 140	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
142		simp3r 1200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
143	134, 137, 138, 141, 142	letrd 11062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ 𝑥)
144	143	3expia 1119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
145	144	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
146	145	rexlimdva 3212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤 ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
147	146	adantlrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤 ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
148	125, 147	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
149	148	expdimp 452	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
150	124, 149	sylan2b 593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑣) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
151	123, 150	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
152	151	ralrimdva 3112	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧 ≤ 𝑥))
153	8	ffnd 6585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
154	153	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝑋)
155		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑦) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
156	155	ralrn 6946	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
157	154, 156	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
158	152, 157	sylibd 238	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
159	158	reximdva 3202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
160	121, 159	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)
161	68, 160	rexlimddv 3219	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ⟨cop 4564  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070   × cxp 5578  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  supcsup 9129  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  (,)cioo 13008   ↾_t crest 17048  topGenctg 17065  Topctop 21950  TopOnctopon 21967  TopBasesctb 22003   Cn ccn 22283  Compccmp 22445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-ioo 13012  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cmp 22446

This theorem is referenced by:  evth  24028