Theorem bndth 24833

Description: The Boundedness Theorem. A continuous function from a compact topological space to the reals is bounded (above). (Boundedness below is obtained by applying this theorem to -𝐹.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bndth.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
bndth.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
bndth.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
bndth	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem bndth

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndth.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		bndth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3		bndth.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		retopon 24627	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
5	3, 4	eqeltri 2824	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
6	5	toponunii 22779	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
7	2, 6	cnf 23109	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
9	8	frnd 6678	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
10		unieq 4878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ∪ 𝑢 = ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
11		imassrn 6031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ran (,)
12	11	unissi 4876	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ∪ ran (,)
13		unirnioo 13386	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
14	12, 13	sseqtrri 3993	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
16		ltp1 11998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
17		ressxr 11194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
18		peano2re 11323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
19	17, 18	sselid 3941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
20		elioomnf 13381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
22	15, 16, 21	mpbir2and 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)))
23		df-ov 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)(𝑥 + 1)) = ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩)
24		mnfxr 11207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25	24	elexi 3467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -∞ ∈ V
26	25	snid 4622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ {-∞}
27		opelxpi 5668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-∞ ∈ {-∞} ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
28	26, 18, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
29		ioof 13384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
30		ffun 6673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Fun (,)
32		snssi 4768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → {-∞} ⊆ ℝ*)
33	24, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {-∞} ⊆ ℝ*
34		xpss12 5646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({-∞} ⊆ ℝ* ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
35	33, 17, 34	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
36	29	fdmi 6681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
37	35, 36	sseqtrri 3993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)
38		funfvima2 7187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun (,) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)) → (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))))
39	31, 37, 38	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
40	28, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
41	23, 40	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
42		elunii 4872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∧ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))) → 𝑥 ∈ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
43	22, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
44	43	ssriv 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ))
45	14, 44	eqssi 3960	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) = ℝ
46	10, 45	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ∪ 𝑢 = ℝ)
47	46	sseq2d 3976	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 ↔ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
48		pweq 4573	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝒫 𝑢 = 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
49	48	ineq1d 4178	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (𝒫 𝑢 ∩ Fin) = (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin))
50	49	rexeqdv 3297	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣))
51	47, 50	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ((ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)))
52		bndth.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
53		rncmp 23259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp)
54	52, 1, 53	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp)
55		retop 24625	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
56	3, 55	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ Top
57	6	cmpsub 23263	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → ((𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)))
58	56, 9, 57	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)))
59	54, 58	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣))
60		retopbas 24624	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
61		bastg 22829	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
63	62, 3	sseqtrri 3993	. . . . . . 7 ⊢ ran (,) ⊆ 𝐾
64	11, 63	sstri 3953	. . . . . 6 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝐾
65	56, 64	elpwi2 5285	. . . . 5 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾
66	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾)
67	51, 59, 66	rspcdva 3586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣))
68	9, 67	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)
69		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin))
70		elin 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
71	69, 70	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
72	71	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
73	72	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → 𝑣 ∈ Fin)
74	71	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
75	74	elpwid 4568	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
76	33	sseli 3939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 ∈ ℝ*)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℝ*)
78	17	sseli 3939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
79	78	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*)
80		mnflt 13059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → -∞ < 𝑤)
81		xrltnle 11217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
82	24, 78, 81	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
83	80, 82	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
85		elsni 4602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 = -∞)
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 = -∞)
87	86	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 ≤ 𝑢 ↔ 𝑤 ≤ -∞))
88	84, 87	mtbird 325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤 ≤ 𝑢)
89		ioo0 13307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤 ≤ 𝑢))
90	76, 78, 89	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤 ≤ 𝑢))
91	90	necon3abid 2961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑤 ≤ 𝑢))
92	88, 91	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅)
93		df-ioo 13286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,) = (𝑦 ∈ ℝ*, 𝑧 ∈ ℝ* ↦ {𝑣 ∈ ℝ* ∣ (𝑦 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑧)})
94		idd 24	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤 → 𝑥 < 𝑤))
95		xrltle 13085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤 → 𝑥 ≤ 𝑤))
96		idd 24	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥 → 𝑢 < 𝑥))
97		xrltle 13085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥 → 𝑢 ≤ 𝑥))
98	93, 94, 95, 96, 97	ixxub 13303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
99	77, 79, 92, 98	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
100		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
101	99, 100	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
102	101	rgen2 3175	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ
103		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩))
104		df-ov 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩)
105	103, 104	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = (𝑢(,)𝑤))
106	105	supeq1d 9373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) = sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ))
107	106	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → (sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
108	107	ralxp 5795	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
109	102, 108	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ
110		ffn 6670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
111	29, 110	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
112		supeq1 9372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ((,)‘𝑧) → sup(𝑤, ℝ*, < ) = sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ))
113	112	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ((,)‘𝑧) → (sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
114	113	ralima 7193	. . . . . . . 8 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
115	111, 35, 114	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
116	109, 115	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ
117		ssralv 4012	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ → ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
118	75, 116, 117	mpisyl 21	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
119	118	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
120		fimaxre3 12105	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ Fin ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
121	73, 119, 120	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
122		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)
123	122	sselda 3943	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑣)
124		eluni2 4871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑣 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤)
125		r19.29r 3096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑤 ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
126		sspwuni 5059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ)
127	14, 126	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
128	75	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
129		simp2r 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ 𝑣)
130	128, 129	sseldd 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
131	127, 130	sselid 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ 𝒫 ℝ)
132	131	elpwid 4568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
133		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
134	132, 133	sseldd 3944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
135	118	r19.21bi 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
136	135	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
137	136	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
138		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
139	132, 17	sstrdi 3956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ*)
140		supxrub 13260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
141	139, 133, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
142		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
143	134, 137, 138, 141, 142	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ 𝑥)
144	143	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
145	144	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
146	145	rexlimdva 3134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤 ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
147	146	adantlrr 721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤 ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
148	125, 147	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
149	148	expdimp 452	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
150	124, 149	sylan2b 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑣) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
151	123, 150	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
152	151	ralrimdva 3133	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧 ≤ 𝑥))
153	8	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
154	153	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝑋)
155		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑦) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
156	155	ralrn 7042	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
157	154, 156	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
158	152, 157	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
159	158	reximdva 3146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
160	121, 159	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)
161	68, 160	rexlimddv 3140	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  {csn 4585  ⟨cop 4591  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102   × cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  Fun wfun 6493   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  supcsup 9367  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047  -∞cmnf 11182  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  (,)cioo 13282   ↾_t crest 17359  topGenctg 17376  Topctop 22756  TopOnctopon 22773  TopBasesctb 22808   Cn ccn 23087  Compccmp 23249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-ioo 13286  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809  df-cn 23090  df-cmp 23250

This theorem is referenced by:  evth  24834