Theorem bndth 25186

Description: The Boundedness Theorem. A continuous function from a compact topological space to the reals is bounded (above). (Boundedness below is obtained by applying this theorem to -𝐹.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bndth.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
bndth.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
bndth.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
bndth	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem bndth

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndth.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		bndth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3		bndth.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		retopon 24989	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
5	3, 4	eqeltri 2856	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
6	5	toponunii 23141	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
7	2, 6	cnf 23471	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
8	1, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
9	8	frnd 6711	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
10		unieq 4878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ∪ 𝑢 = ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
11		imassrn 6067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ran (,)
12	11	unissi 4876	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ∪ ran (,)
13		unirnioo 13502	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
14	12, 13	sseqtrri 3980	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ
15		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
16		ltp1 12079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
17		ressxr 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
18		peano2re 11407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
19	17, 18	sselid 3929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
20		elioomnf 13497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
22	15, 16, 21	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)))
23		df-ov 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,)(𝑥 + 1)) = ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩)
24		mnfxr 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25	24	elexi 3472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -∞ ∈ V
26	25	snid 4623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ {-∞}
27		opelxpi 5692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-∞ ∈ {-∞} ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
28	26, 18, 27	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
29		ioof 13500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
30		ffun 6705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Fun (,)
32		snssi 4746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → {-∞} ⊆ ℝ*)
33	24, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {-∞} ⊆ ℝ*
34		xpss12 5670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({-∞} ⊆ ℝ* ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
35	33, 17, 34	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
36	29	fdmi 6714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
37	35, 36	sseqtrri 3980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)
38		funfvima2 7230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun (,) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)) → (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))))
39	31, 37, 38	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
40	28, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
41	23, 40	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
42		elunii 4872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∧ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))) → 𝑥 ∈ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
43	22, 41, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
44	43	ssriv 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ))
45	14, 44	eqssi 3947	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) = ℝ
46	10, 45	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ∪ 𝑢 = ℝ)
47	46	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 ↔ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
48		pweq 4571	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝒫 𝑢 = 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
49	48	ineq1d 4165	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (𝒫 𝑢 ∩ Fin) = (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin))
50	49	rexeqdv 3320	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣))
51	47, 50	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ((ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)))
52		bndth.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
53		rncmp 23621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp)
54	52, 1, 53	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp)
55		retop 24987	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
56	3, 55	eqeltri 2856	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ Top
57	6	cmpsub 23625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → ((𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)))
58	56, 9, 57	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)))
59	54, 58	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣))
60		retopbas 24986	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
61		bastg 23191	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
63	62, 3	sseqtrri 3980	. . . . . . 7 ⊢ ran (,) ⊆ 𝐾
64	11, 63	sstri 3940	. . . . . 6 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝐾
65	56, 64	elpwi2 5300	. . . . 5 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾
66	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾)
67	51, 59, 66	rspcdva 3577	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣))
68	9, 67	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)
69		elin 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
70	69	bilani 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
71	70	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
72	71	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → 𝑣 ∈ Fin)
73	70	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
74	73	elpwid 4566	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
75	33	sseli 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 ∈ ℝ*)
76	75	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℝ*)
77	17	sseli 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
78	77	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*)
79		mnflt 13174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → -∞ < 𝑤)
80		xrltnle 11300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
81	24, 77, 80	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
82	79, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
83	82	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
84		elsni 4601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 = -∞)
85	84	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 = -∞)
86	85	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤 ≤ 𝑢 ↔ 𝑤 ≤ -∞))
87	83, 86	mtbird 328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤 ≤ 𝑢)
88		ioo0 13423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤 ≤ 𝑢))
89	75, 77, 88	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤 ≤ 𝑢))
90	89	necon3abid 2991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑤 ≤ 𝑢))
91	87, 90	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅)
92		df-ioo 13402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,) = (𝑦 ∈ ℝ*, 𝑧 ∈ ℝ* ↦ {𝑣 ∈ ℝ* ∣ (𝑦 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑧)})
93		idd 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤 → 𝑥 < 𝑤))
94		xrltle 13200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤 → 𝑥 ≤ 𝑤))
95		idd 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥 → 𝑢 < 𝑥))
96		xrltle 13200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥 → 𝑢 ≤ 𝑥))
97	92, 93, 94, 95, 96	ixxub 13419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
98	76, 78, 91, 97	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
99		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
100	98, 99	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
101	100	rgen2 3202	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ
102		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩))
103		df-ov 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩)
104	102, 103	eqtr4di 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = (𝑢(,)𝑤))
105	104	supeq1d 9416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) = sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ))
106	105	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → (sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
107	106	ralxp 5821	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
108	101, 107	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ
109		ffn 6702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
110	29, 109	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
111		supeq1 9415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ((,)‘𝑧) → sup(𝑤, ℝ*, < ) = sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ))
112	111	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ((,)‘𝑧) → (sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
113	112	ralima 7236	. . . . . . . 8 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
114	110, 35, 113	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
115	108, 114	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ
116		ssralv 4000	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ → ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
117	74, 115, 116	mpisyl 22	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
118	117	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
119		fimaxre3 12185	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ Fin ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
120	72, 118, 119	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
121		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)
122	121	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑣)
123		eluni2 4871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑣 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤)
124		r19.29r 3126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑤 ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
125		sspwuni 5060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ)
126	14, 125	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
127	74	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
128		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ 𝑣)
129	127, 128	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
130	126, 129	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ 𝒫 ℝ)
131	130	elpwid 4566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
132		simp3l 1220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
133	131, 132	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
134	117	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
135	134	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
136	135	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
137		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
138	131, 17	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ*)
139		supxrub 13376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ⊆ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝑤) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
140	138, 132, 139	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
141		simp3r 1221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
142	133, 136, 137, 140, 141	letrd 11391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ 𝑥)
143	142	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
144	143	anassrs 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑣) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
145	144	rexlimdva 3163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤 ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
146	145	adantlrr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤 ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
147	124, 146	syl5 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧 ≤ 𝑥))
148	147	expdimp 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑤) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
149	123, 148	sylan2b 606	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑣) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
150	122, 149	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → 𝑧 ≤ 𝑥))
151	150	ralrimdva 3162	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧 ≤ 𝑥))
152	8	ffnd 6703	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
153	152	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝑋)
154		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑦) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
155	154	ralrn 7081	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
156	153, 155	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
157	151, 156	sylibd 242	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
158	157	reximdva 3175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥))
159	120, 158	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)
160	68, 159	rexlimddv 3169	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ⟨cop 4590  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   × cxp 5653  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  supcsup 9410  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  (,)cioo 13398   ↾_t crest 17505  topGenctg 17522  Topctop 23118  TopOnctopon 23135  TopBasesctb 23170   Cn ccn 23449  Compccmp 23611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-ioo 13402  df-rest 17507  df-topgen 17528  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171  df-cn 23452  df-cmp 23612

This theorem is used by:  evth  25187