MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bndth 24474
Description: The Boundedness Theorem. A continuous function from a compact topological space to the reals is bounded (above). (Boundedness below is obtained by applying this theorem to -𝐹.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
bndth.2 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
bndth.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
bndth.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
bndth (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem bndth
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 bndth.1 . . . . . 6 𝑋 = βˆͺ 𝐽
3 bndth.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
4 retopon 24280 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
53, 4eqeltri 2830 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„)
65toponunii 22418 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ 𝐾
72, 6cnf 22750 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
81, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
98frnd 6726 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
10 unieq 4920 . . . . . . 7 (𝑒 = ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ 𝑒 = βˆͺ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)))
11 imassrn 6071 . . . . . . . . . 10 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) βŠ† ran (,)
1211unissi 4918 . . . . . . . . 9 βˆͺ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) βŠ† βˆͺ ran (,)
13 unirnioo 13426 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ ran (,)
1412, 13sseqtrri 4020 . . . . . . . 8 βˆͺ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) βŠ† ℝ
15 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
16 ltp1 12054 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < (π‘₯ + 1))
17 ressxr 11258 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† ℝ*
18 peano2re 11387 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
1917, 18sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
20 elioomnf 13421 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ + 1) ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)(π‘₯ + 1)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (π‘₯ + 1))))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)(π‘₯ + 1)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < (π‘₯ + 1))))
2215, 16, 21mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)(π‘₯ + 1)))
23 df-ov 7412 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,)(π‘₯ + 1)) = ((,)β€˜βŸ¨-∞, (π‘₯ + 1)⟩)
24 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . . . . . 15 -∞ ∈ ℝ*
2524elexi 3494 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ V
2625snid 4665 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ {-∞}
27 opelxpi 5714 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ {-∞} ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ) β†’ ⟨-∞, (π‘₯ + 1)⟩ ∈ ({-∞} Γ— ℝ))
2826, 18, 27sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ⟨-∞, (π‘₯ + 1)⟩ ∈ ({-∞} Γ— ℝ))
29 ioof 13424 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
30 ffun 6721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (,)
32 snssi 4812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞ ∈ ℝ* β†’ {-∞} βŠ† ℝ*)
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 {-∞} βŠ† ℝ*
34 xpss12 5692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({-∞} βŠ† ℝ* ∧ ℝ βŠ† ℝ*) β†’ ({-∞} Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
3533, 17, 34mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ({-∞} Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
3629fdmi 6730 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
3735, 36sseqtrri 4020 . . . . . . . . . . . . 13 ({-∞} Γ— ℝ) βŠ† dom (,)
38 funfvima2 7233 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun (,) ∧ ({-∞} Γ— ℝ) βŠ† dom (,)) β†’ (⟨-∞, (π‘₯ + 1)⟩ ∈ ({-∞} Γ— ℝ) β†’ ((,)β€˜βŸ¨-∞, (π‘₯ + 1)⟩) ∈ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ))))
3931, 37, 38mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (⟨-∞, (π‘₯ + 1)⟩ ∈ ({-∞} Γ— ℝ) β†’ ((,)β€˜βŸ¨-∞, (π‘₯ + 1)⟩) ∈ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)))
4028, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((,)β€˜βŸ¨-∞, (π‘₯ + 1)⟩) ∈ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)))
4123, 40eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (-∞(,)(π‘₯ + 1)) ∈ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)))
42 elunii 4914 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (-∞(,)(π‘₯ + 1)) ∧ (-∞(,)(π‘₯ + 1)) ∈ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ))) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)))
4322, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)))
4443ssriv 3987 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† βˆͺ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ))
4514, 44eqssi 3999 . . . . . . 7 βˆͺ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) = ℝ
4610, 45eqtrdi 2789 . . . . . 6 (𝑒 = ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ 𝑒 = ℝ)
4746sseq2d 4015 . . . . 5 (𝑒 = ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) β†’ (ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑒 ↔ ran 𝐹 βŠ† ℝ))
48 pweq 4617 . . . . . . 7 (𝑒 = ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) β†’ 𝒫 𝑒 = 𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)))
4948ineq1d 4212 . . . . . 6 (𝑒 = ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) β†’ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) = (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin))
5049rexeqdv 3327 . . . . 5 (𝑒 = ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣))
5147, 50imbi12d 345 . . . 4 (𝑒 = ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) β†’ ((ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣) ↔ (ran 𝐹 βŠ† ℝ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)))
52 bndth.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
53 rncmp 22900 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (𝐾 β†Ύt ran 𝐹) ∈ Comp)
5452, 1, 53syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt ran 𝐹) ∈ Comp)
55 retop 24278 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
563, 55eqeltri 2830 . . . . . 6 𝐾 ∈ Top
576cmpsub 22904 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ) β†’ ((𝐾 β†Ύt ran 𝐹) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)))
5856, 9, 57sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐾 β†Ύt ran 𝐹) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)))
5954, 58mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣))
60 retopbas 24277 . . . . . . . . 9 ran (,) ∈ TopBases
61 bastg 22469 . . . . . . . . 9 (ran (,) ∈ TopBases β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
6362, 3sseqtrri 4020 . . . . . . 7 ran (,) βŠ† 𝐾
6411, 63sstri 3992 . . . . . 6 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) βŠ† 𝐾
6556, 64elpwi2 5347 . . . . 5 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾
6665a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾)
6751, 59, 66rspcdva 3614 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βŠ† ℝ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣))
689, 67mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)
69 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) β†’ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin))
70 elin 3965 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7169, 70sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) β†’ (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7271adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7372simprd 497 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ Fin)
7471simpld 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)))
7574elpwid 4612 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) β†’ 𝑣 βŠ† ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)))
7633sseli 3979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ {-∞} β†’ 𝑒 ∈ ℝ*)
7776adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑒 ∈ ℝ*)
7817sseli 3979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
7978adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
80 mnflt 13103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ β†’ -∞ < 𝑀)
81 xrltnle 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (-∞ < 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀 ≀ -∞))
8224, 78, 81sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (-∞ < 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀 ≀ -∞))
8380, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ β†’ Β¬ 𝑀 ≀ -∞)
8483adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ -∞)
85 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ {-∞} β†’ 𝑒 = -∞)
8685adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑒 = -∞)
8786breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 ≀ 𝑒 ↔ 𝑀 ≀ -∞))
8884, 87mtbird 325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑒)
89 ioo0 13349 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑒(,)𝑀) = βˆ… ↔ 𝑀 ≀ 𝑒))
9076, 78, 89syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((𝑒(,)𝑀) = βˆ… ↔ 𝑀 ≀ 𝑒))
9190necon3abid 2978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((𝑒(,)𝑀) β‰  βˆ… ↔ Β¬ 𝑀 ≀ 𝑒))
9288, 91mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑒(,)𝑀) β‰  βˆ…)
93 df-ioo 13328 . . . . . . . . . . . 12 (,) = (𝑦 ∈ ℝ*, 𝑧 ∈ ℝ* ↦ {𝑣 ∈ ℝ* ∣ (𝑦 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑧)})
94 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ < 𝑀 β†’ π‘₯ < 𝑀))
95 xrltle 13128 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ < 𝑀 β†’ π‘₯ ≀ 𝑀))
96 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (𝑒 < π‘₯ β†’ 𝑒 < π‘₯))
97 xrltle 13128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (𝑒 < π‘₯ β†’ 𝑒 ≀ π‘₯))
9893, 94, 95, 96, 97ixxub 13345 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ* ∧ (𝑒(,)𝑀) β‰  βˆ…) β†’ sup((𝑒(,)𝑀), ℝ*, < ) = 𝑀)
9977, 79, 92, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ sup((𝑒(,)𝑀), ℝ*, < ) = 𝑀)
100 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
10199, 100eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ {-∞} ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ sup((𝑒(,)𝑀), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
102101rgen2 3198 . . . . . . . 8 βˆ€π‘’ ∈ {-∞}βˆ€π‘€ ∈ ℝ sup((𝑒(,)𝑀), ℝ*, < ) ∈ ℝ
103 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘€βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘§) = ((,)β€˜βŸ¨π‘’, π‘€βŸ©))
104 df-ov 7412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒(,)𝑀) = ((,)β€˜βŸ¨π‘’, π‘€βŸ©)
105103, 104eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘€βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘§) = (𝑒(,)𝑀))
106105supeq1d 9441 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘€βŸ© β†’ sup(((,)β€˜π‘§), ℝ*, < ) = sup((𝑒(,)𝑀), ℝ*, < ))
107106eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘€βŸ© β†’ (sup(((,)β€˜π‘§), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup((𝑒(,)𝑀), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
108107ralxp 5842 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ ({-∞} Γ— ℝ)sup(((,)β€˜π‘§), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘’ ∈ {-∞}βˆ€π‘€ ∈ ℝ sup((𝑒(,)𝑀), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
109102, 108mpbir 230 . . . . . . 7 βˆ€π‘§ ∈ ({-∞} Γ— ℝ)sup(((,)β€˜π‘§), ℝ*, < ) ∈ ℝ
110 ffn 6718 . . . . . . . . 9 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
11129, 110ax-mp 5 . . . . . . . 8 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
112 supeq1 9440 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = ((,)β€˜π‘§) β†’ sup(𝑀, ℝ*, < ) = sup(((,)β€˜π‘§), ℝ*, < ))
113112eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑀 = ((,)β€˜π‘§) β†’ (sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((,)β€˜π‘§), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
114113ralima 7240 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ ({-∞} Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ))sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘§ ∈ ({-∞} Γ— ℝ)sup(((,)β€˜π‘§), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
115111, 35, 114mp2an 691 . . . . . . 7 (βˆ€π‘€ ∈ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ))sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ βˆ€π‘§ ∈ ({-∞} Γ— ℝ)sup(((,)β€˜π‘§), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
116109, 115mpbir 230 . . . . . 6 βˆ€π‘€ ∈ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ))sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ
117 ssralv 4051 . . . . . 6 (𝑣 βŠ† ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ))sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
11875, 116, 117mpisyl 21 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
119118adantrr 716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
120 fimaxre3 12160 . . . 4 ((𝑣 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
12173, 119, 120syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
122 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)
123122sselda 3983 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑣)
124 eluni2 4913 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑀)
125 r19.29r 3117 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘€ ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑀 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯))
126 sspwuni 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) βŠ† 𝒫 ℝ ↔ βˆͺ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) βŠ† ℝ)
12714, 126mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) βŠ† 𝒫 ℝ
128753ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ 𝑣 βŠ† ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)))
129 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑣)
130128, 129sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)))
131127, 130sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ 𝒫 ℝ)
132131elpwid 4612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ 𝑀 βŠ† ℝ)
133 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑀)
134132, 133sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
135118r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) β†’ sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
136135adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣)) β†’ sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
1371363adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ sup(𝑀, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
138 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
139132, 17sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ 𝑀 βŠ† ℝ*)
140 supxrub 13303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 βŠ† ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ 𝑧 ≀ sup(𝑀, ℝ*, < ))
141139, 133, 140syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ 𝑧 ≀ sup(𝑀, ℝ*, < ))
142 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
143134, 137, 138, 141, 142letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) ∧ (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)
1441433expia 1122 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ 𝑣)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
145144anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ 𝑣) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
146145rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
147146adantlrr 720 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑣 (𝑧 ∈ 𝑀 ∧ sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
148125, 147syl5 34 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βˆƒπ‘€ ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑀 ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
149148expdimp 454 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑣 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯ β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
150124, 149sylan2b 595 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑣) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯ β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
151123, 150syldan 592 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯ β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
152151ralrimdva 3155 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐹 𝑧 ≀ π‘₯))
1538ffnd 6719 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
154153ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
155 breq1 5152 . . . . . . 7 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘₯))
156155ralrn 7090 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐹 𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘₯))
157154, 156syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐹 𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘₯))
158152, 157sylibd 238 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘₯))
159158reximdva 3169 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑣 sup(𝑀, ℝ*, < ) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘₯))
160121, 159mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) β€œ ({-∞} Γ— ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘₯)
16168, 160rexlimddv 3162 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  supcsup 9435  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,)cioo 13324   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  TopBasesctb 22448   Cn ccn 22728  Compccmp 22890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-ioo 13328  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cmp 22891
This theorem is referenced by:  evth  24475
  Copyright terms: Public domain W3C validator