Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bndth 23556
 Description: The Boundedness Theorem. A continuous function from a compact topological space to the reals is bounded (above). (Boundedness below is obtained by applying this theorem to -𝐹.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1 𝑋 = 𝐽
bndth.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
bndth.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
bndth (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem bndth
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 bndth.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
3 bndth.2 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 retopon 23366 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
53, 4eqeltri 2909 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
65toponunii 21518 . . . . . 6 ℝ = 𝐾
72, 6cnf 21848 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
98frnd 6516 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
10 unieq 4840 . . . . . . 7 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
11 imassrn 5935 . . . . . . . . . 10 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ran (,)
1211unissi 4855 . . . . . . . . 9 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ran (,)
13 unirnioo 12831 . . . . . . . . 9 ℝ = ran (,)
1412, 13sseqtrri 4004 . . . . . . . 8 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ
15 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
16 ltp1 11474 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
17 ressxr 10679 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
18 peano2re 10807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
1917, 18sseldi 3965 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
20 elioomnf 12826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 + 1) ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
2215, 16, 21mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)))
23 df-ov 7153 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,)(𝑥 + 1)) = ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩)
24 mnfxr 10692 . . . . . . . . . . . . . . 15 -∞ ∈ ℝ*
2524elexi 3514 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ V
2625snid 4595 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ {-∞}
27 opelxpi 5587 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ {-∞} ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
2826, 18, 27sylancr 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ))
29 ioof 12829 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
30 ffun 6512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (,)
32 snssi 4735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-∞ ∈ ℝ* → {-∞} ⊆ ℝ*)
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 {-∞} ⊆ ℝ*
34 xpss12 5565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({-∞} ⊆ ℝ* ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
3533, 17, 34mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3629fdmi 6519 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
3735, 36sseqtrri 4004 . . . . . . . . . . . . 13 ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)
38 funfvima2 6987 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun (,) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ dom (,)) → (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))))
3931, 37, 38mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩ ∈ ({-∞} × ℝ) → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
4028, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((,)‘⟨-∞, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
4123, 40eqeltrid 2917 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
42 elunii 4837 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∧ (-∞(,)(𝑥 + 1)) ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))) → 𝑥 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
4322, 41, 42syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
4443ssriv 3971 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ))
4514, 44eqssi 3983 . . . . . . 7 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) = ℝ
4610, 45syl6eq 2872 . . . . . 6 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝑢 = ℝ)
4746sseq2d 3999 . . . . 5 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (ran 𝐹 𝑢 ↔ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
48 pweq 4542 . . . . . . 7 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → 𝒫 𝑢 = 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
4948ineq1d 4188 . . . . . 6 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (𝒫 𝑢 ∩ Fin) = (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin))
5049rexeqdv 3417 . . . . 5 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣))
5147, 50imbi12d 347 . . . 4 (𝑢 = ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → ((ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)))
52 bndth.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
53 rncmp 21998 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp)
5452, 1, 53syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp)
55 retop 23364 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
563, 55eqeltri 2909 . . . . . 6 𝐾 ∈ Top
576cmpsub 22002 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → ((𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)))
5856, 9, 57sylancr 589 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾t ran 𝐹) ∈ Comp ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)))
5954, 58mpbid 234 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐾(ran 𝐹 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑢 ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣))
60 retopbas 23363 . . . . . . . . 9 ran (,) ∈ TopBases
61 bastg 21568 . . . . . . . . 9 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
6362, 3sseqtrri 4004 . . . . . . 7 ran (,) ⊆ 𝐾
6411, 63sstri 3976 . . . . . 6 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝐾
6556, 64elpwi2 5242 . . . . 5 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾
6665a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∈ 𝒫 𝐾)
6751, 59, 66rspcdva 3625 . . 3 (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ ℝ → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣))
689, 67mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)ran 𝐹 𝑣)
69 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin))
70 elin 4169 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ↔ (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7169, 70sylib 220 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7271adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → (𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∧ 𝑣 ∈ Fin))
7372simprd 498 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → 𝑣 ∈ Fin)
7471simpld 497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ 𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
7574elpwid 4553 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
7633sseli 3963 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 ∈ ℝ*)
7776adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℝ*)
7817sseli 3963 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
7978adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ*)
80 mnflt 12512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℝ → -∞ < 𝑤)
81 xrltnle 10702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
8224, 78, 81sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ -∞))
8380, 82mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℝ → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
8483adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤 ≤ -∞)
85 elsni 4578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ {-∞} → 𝑢 = -∞)
8685adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑢 = -∞)
8786breq2d 5071 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑤𝑢𝑤 ≤ -∞))
8884, 87mtbird 327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ¬ 𝑤𝑢)
89 ioo0 12757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤𝑢))
9076, 78, 89syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) = ∅ ↔ 𝑤𝑢))
9190necon3abid 3052 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ((𝑢(,)𝑤) ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑤𝑢))
9288, 91mpbird 259 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅)
93 df-ioo 12736 . . . . . . . . . . . 12 (,) = (𝑦 ∈ ℝ*, 𝑧 ∈ ℝ* ↦ {𝑣 ∈ ℝ* ∣ (𝑦 < 𝑣𝑣 < 𝑧)})
94 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤𝑥 < 𝑤))
95 xrltle 12536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑤𝑥𝑤))
96 idd 24 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥𝑢 < 𝑥))
97 xrltle 12536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑢 < 𝑥𝑢𝑥))
9893, 94, 95, 96, 97ixxub 12753 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* ∧ (𝑢(,)𝑤) ≠ ∅) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
9977, 79, 92, 98syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) = 𝑤)
100 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
10199, 100eqeltrd 2913 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ {-∞} ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
102101rgen2 3203 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ
103 fveq2 6665 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩))
104 df-ov 7153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑤⟩)
105103, 104syl6eqr 2874 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑧) = (𝑢(,)𝑤))
106105supeq1d 8904 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) = sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ))
107106eleq1d 2897 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑤⟩ → (sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
108107ralxp 5707 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑢 ∈ {-∞}∀𝑤 ∈ ℝ sup((𝑢(,)𝑤), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
109102, 108mpbir 233 . . . . . . 7 𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ
110 ffn 6509 . . . . . . . . 9 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
11129, 110ax-mp 5 . . . . . . . 8 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
112 supeq1 8903 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((,)‘𝑧) → sup(𝑤, ℝ*, < ) = sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ))
113112eleq1d 2897 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((,)‘𝑧) → (sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
114113ralima 6994 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ({-∞} × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
115111, 35, 114mp2an 690 . . . . . . 7 (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∀𝑧 ∈ ({-∞} × ℝ)sup(((,)‘𝑧), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
116109, 115mpbir 233 . . . . . 6 𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ
117 ssralv 4033 . . . . . 6 (𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) → (∀𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ))sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ → ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
11875, 116, 117mpisyl 21 . . . . 5 ((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) → ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
119118adantrr 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
120 fimaxre3 11581 . . . 4 ((𝑣 ∈ Fin ∧ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
12173, 119, 120syl2anc 586 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
122 simplrr 776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝐹 𝑣)
123122sselda 3967 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝑧 𝑣)
124 eluni2 4836 . . . . . . . 8 (𝑧 𝑣 ↔ ∃𝑤𝑣 𝑧𝑤)
125 r19.29r 3255 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑤𝑣 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → ∃𝑤𝑣 (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
126 sspwuni 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ ℝ)
12714, 126mpbir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
128753ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑣 ⊆ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
129 simp2r 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤𝑣)
130128, 129sseldd 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ ((,) “ ({-∞} × ℝ)))
131127, 130sseldi 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ∈ 𝒫 ℝ)
132131elpwid 4553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ)
133 simp3l 1197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧𝑤)
134132, 133sseldd 3968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ∈ ℝ)
135118r19.21bi 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑤𝑣) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
136135adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
1371363adant3 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
138 simp2l 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
139132, 17sstrdi 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑤 ⊆ ℝ*)
140 supxrub 12711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ⊆ ℝ*𝑧𝑤) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
141139, 133, 140syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧 ≤ sup(𝑤, ℝ*, < ))
142 simp3r 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
143134, 137, 138, 141, 142letrd 10791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣) ∧ (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)) → 𝑧𝑥)
1441433expia 1117 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑣)) → ((𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
145144anassrs 470 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑤𝑣) → ((𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
146145rexlimdva 3284 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤𝑣 (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
147146adantlrr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑤𝑣 (𝑧𝑤 ∧ sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
148125, 147syl5 34 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∃𝑤𝑣 𝑧𝑤 ∧ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥) → 𝑧𝑥))
149148expdimp 455 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑤𝑣 𝑧𝑤) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥𝑧𝑥))
150124, 149sylan2b 595 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 𝑣) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥𝑧𝑥))
151123, 150syldan 593 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥𝑧𝑥))
152151ralrimdva 3189 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑥))
1538ffnd 6510 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
154153ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝑋)
155 breq1 5062 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐹𝑦) → (𝑧𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
156155ralrn 6849 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
157154, 156syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
158152, 157sylibd 241 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
159158reximdva 3274 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑣 sup(𝑤, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥))
160121, 159mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝒫 ((,) “ ({-∞} × ℝ)) ∩ Fin) ∧ ran 𝐹 𝑣)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥)
16168, 160rexlimddv 3291 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑦) ≤ 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539  {csn 4561  ⟨cop 4567  ∪ cuni 4832   class class class wbr 5059   × cxp 5548  dom cdm 5550  ran crn 5551   “ cima 5553  Fun wfun 6344   Fn wfn 6345  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  supcsup 8898  ℝcr 10530  1c1 10532   + caddc 10534  -∞cmnf 10667  ℝ*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  (,)cioo 12732   ↾t crest 16688  topGenctg 16705  Topctop 21495  TopOnctopon 21512  TopBasesctb 21547   Cn ccn 21826  Compccmp 21988 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-ioo 12736  df-rest 16690  df-topgen 16711  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-cn 21829  df-cmp 21989 This theorem is referenced by:  evth  23557
 Copyright terms: Public domain W3C validator