Theorem dvacos 38384

Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvasin.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))

Assertion

Ref	Expression
dvacos	⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-acos 27042	. . . . 5 ⊢ arccos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
2	1	reseq1i 5973	. . . 4 ⊢ (arccos ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷)
3		dvasin.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4		difss 4089	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ
5	3, 4	eqsstri 3982	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
6		resmpt 6038	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
8	2, 7	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (arccos ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
9	8	oveq2i 7423	. 2 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
10		cnelprrecn 11199	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12		halfpire 26640	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
13	12	recni 11229	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (π / 2) ∈ ℂ)
15		c0ex 11206	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
17	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (π / 2) ∈ ℂ)
18	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
19	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
20	11, 19	dvmptc 26128	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
21	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ⊆ ℂ)
22		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
23	22	cnfldtopon 24950	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
24	23	toponrestid 23089	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
25	22	recld2 24983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26		neg1rr 12210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
27		iocmnfcld 24936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
29		tgioo4 24973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
30	29	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
31	28, 30	eleqtri 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
32		restcldr 23342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
33	25, 31, 32	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
34		1re 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
35		icopnfcld 24935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
37	36, 30	eleqtri 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
38		restcldr 23342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
39	25, 37, 38	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
40		uncld 23209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
41	33, 39, 40	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
42	23	toponunii 23084	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
43	42	cldopn 23199	. . . . . . . 8 ⊢ (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
44	41, 43	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
45	3, 44	eqeltri 2858	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
47	11, 17, 18, 20, 21, 24, 22, 46	dvmptres 26133	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0))
48	5	sseli 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
49		asincl 27049	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
50	48, 49	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
52		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
53		asinf 27048	. . . . . . . 8 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
55	54, 21	feqresmpt 6950	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥)))
56	55	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))))
57	3	dvasin 38383	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
58	56, 57	eqtr3di 2812	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
59	11, 14, 16, 47, 51, 52, 58	dvmptsub 26137	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
60	59	mptru 1576	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
61		df-neg 11450	. . . 4 ⊢ -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
62		1cnd 11208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 1 ∈ ℂ)
63		ax-1cn 11164	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
64	48	sqcld 14187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65		subcl 11462	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
66	63, 64, 65	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
67	66	sqrtcld 15498	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
68		eldifn 4085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
69	68, 3	eleq2s 2880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
70		mnfxr 11272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
71	26	rexri 11273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ*
72		mnflt 13154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
73	26, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ < -1
74		ubioc1 13432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -1) → -1 ∈ (-∞(,]-1))
75	70, 71, 73, 74	mp3an 1489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ (-∞(,]-1)
76		eleq1 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ↔ -1 ∈ (-∞(,]-1)))
77	75, 76	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ (-∞(,]-1))
78	34	rexri 11273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ*
79		pnfxr 11269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
80		ltpnf 13151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
81	34, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < +∞
82		lbico1 13433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1 < +∞) → 1 ∈ (1[,)+∞))
83	78, 79, 81, 82	mp3an 1489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (1[,)+∞)
84		eleq1 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ 1 ∈ (1[,)+∞)))
85	83, 84	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
86	77, 85	orim12i 921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
87	86	orcoms 885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
88		elun 4106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
89	87, 88	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
90	69, 89	nsyl 141	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
91		sq1 14238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
92		1cnd 11208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 ∈ ℂ)
93		sqcl 14161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
94	93	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
95	63, 93, 65	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
96	95	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
97		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0)
98	96, 97	sqr00d 15502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) = 0)
99	92, 94, 98	subeq0d 11583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 = (𝑥↑2))
100	91, 99	eqtr2id 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) = (1↑2))
101	100	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥↑2) = (1↑2)))
102		sqeqor 14259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
103	63, 102	mpan2 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
104	101, 103	sylibd 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
105	104	necon3bd 2971	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0))
106	48, 90, 105	sylc 66	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)
107	62, 67, 106	divnegd 12010	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
108	61, 107	eqtr3id 2811	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
109	108	mpteq2ia 5205	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
110	9, 60, 109	3eqtri 2789	1 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {cpr 4590   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ran crn 5661   ↾ cres 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   − cmin 11447  -cneg 11448   / cdiv 11877  2c2 12301  (,)cioo 13378  (,]cioc 13379  [,)cico 13380  ↑cexp 14104  √csqrt 15291  πcpi 16126   ↾_t crest 17479  TopOpenctopn 17480  topGenctg 17496  ℂ_fldccnfld 21533  Clsdccld 23184   D cdv 26033  arcsincasin 27038  arccoscacos 27039

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-tan 16131  df-pi 16132  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-cmp 23555  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732  df-cxp 26733  df-asin 27041  df-acos 27042

This theorem is used by:  dvreacos  38386