Theorem dvacos 38441

Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvasin.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))

Assertion

Ref	Expression
dvacos	⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-acos 27101	. . . . 5 ⊢ arccos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
2	1	reseq1i 5972	. . . 4 ⊢ (arccos ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷)
3		dvasin.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4		difss 4086	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ
5	3, 4	eqsstri 3980	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
6		resmpt 6037	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
8	2, 7	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (arccos ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
9	8	oveq2i 7427	. 2 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
10		cnelprrecn 11220	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12		halfpire 26699	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
13	12	recni 11250	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (π / 2) ∈ ℂ)
15		c0ex 11227	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
17	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (π / 2) ∈ ℂ)
18	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
19	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
20	11, 19	dvmptc 26187	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
21	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ⊆ ℂ)
22		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
23	22	cnfldtopon 25009	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
24	23	toponrestid 23147	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
25	22	recld2 25042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26		neg1rr 12231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
27		iocmnfcld 24995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
29		tgioo4 25032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
30	29	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
31	28, 30	eleqtri 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
32		restcldr 23400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
33	25, 31, 32	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
34		1re 11235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
35		icopnfcld 24994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
37	36, 30	eleqtri 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
38		restcldr 23400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
39	25, 37, 38	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
40		uncld 23267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
41	33, 39, 40	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
42	23	toponunii 23142	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
43	42	cldopn 23257	. . . . . . . 8 ⊢ (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
44	41, 43	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
45	3, 44	eqeltri 2858	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
47	11, 17, 18, 20, 21, 24, 22, 46	dvmptres 26192	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0))
48	5	sseli 3930	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
49		asincl 27108	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
50	48, 49	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
52		ovexd 7451	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
53		asinf 27107	. . . . . . . 8 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
55	54, 21	feqresmpt 6951	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥)))
56	55	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))))
57	3	dvasin 38440	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
58	56, 57	eqtr3di 2812	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
59	11, 14, 16, 47, 51, 52, 58	dvmptsub 26196	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
60	59	mptru 1577	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
61		df-neg 11471	. . . 4 ⊢ -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
62		1cnd 11229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 1 ∈ ℂ)
63		ax-1cn 11185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
64	48	sqcld 14210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65		subcl 11483	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
66	63, 64, 65	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
67	66	sqrtcld 15529	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
68		eldifn 4082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
69	68, 3	eleq2s 2880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
70		mnfxr 11293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
71	26	rexri 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ*
72		mnflt 13176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
73	26, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ < -1
74		ubioc1 13454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -1) → -1 ∈ (-∞(,]-1))
75	70, 71, 73, 74	mp3an 1490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ (-∞(,]-1)
76		eleq1 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ↔ -1 ∈ (-∞(,]-1)))
77	75, 76	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ (-∞(,]-1))
78	34	rexri 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ*
79		pnfxr 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
80		ltpnf 13173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
81	34, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < +∞
82		lbico1 13455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1 < +∞) → 1 ∈ (1[,)+∞))
83	78, 79, 81, 82	mp3an 1490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (1[,)+∞)
84		eleq1 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ 1 ∈ (1[,)+∞)))
85	83, 84	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
86	77, 85	orim12i 922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
87	86	orcoms 886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
88		elun 4103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
89	87, 88	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
90	69, 89	nsyl 141	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
91		sq1 14261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
92		1cnd 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 ∈ ℂ)
93		sqcl 14184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
94	93	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
95	63, 93, 65	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
96	95	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
97		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0)
98	96, 97	sqr00d 15533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) = 0)
99	92, 94, 98	subeq0d 11604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 = (𝑥↑2))
100	91, 99	eqtr2id 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) = (1↑2))
101	100	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥↑2) = (1↑2)))
102		sqeqor 14282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
103	63, 102	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
104	101, 103	sylibd 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
105	104	necon3bd 2971	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0))
106	48, 90, 105	sylc 66	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)
107	62, 67, 106	divnegd 12031	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
108	61, 107	eqtr3id 2811	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
109	108	mpteq2ia 5204	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
110	9, 60, 109	3eqtri 2789	1 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {cpr 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128  +∞cpnf 11267  -∞cmnf 11268  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   − cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11898  2c2 12322  (,)cioo 13400  (,]cioc 13401  [,)cico 13402  ↑cexp 14127  √csqrt 15322  πcpi 16156   ↾_t crest 17509  TopOpenctopn 17510  topGenctg 17526  ℂ_fldccnfld 21586  Clsdccld 23242   D cdv 26092  arcsincasin 27097  arccoscacos 27098

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-tan 16161  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-cmp 23613  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096  df-log 26791  df-cxp 26792  df-asin 27100  df-acos 27101

This theorem is used by:  dvreacos  38443