Theorem dvacos 36163

Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvasin.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))

Assertion

Ref	Expression
dvacos	⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-acos 26216	. . . . 5 ⊢ arccos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
2	1	reseq1i 5933	. . . 4 ⊢ (arccos ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷)
3		dvasin.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4		difss 4091	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ
5	3, 4	eqsstri 3978	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
6		resmpt 5991	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
8	2, 7	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (arccos ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
9	8	oveq2i 7368	. 2 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
10		cnelprrecn 11144	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12		halfpire 25821	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
13	12	recni 11169	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (π / 2) ∈ ℂ)
15		c0ex 11149	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
17	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (π / 2) ∈ ℂ)
18	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
19	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
20	11, 19	dvmptc 25322	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
21	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ⊆ ℂ)
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
23	22	cnfldtopon 24146	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
24	23	toponrestid 22270	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
25	22	recld2 24177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26		neg1rr 12268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
27		iocmnfcld 24132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
29	22	tgioo2 24166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
30	29	fveq2i 6845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
31	28, 30	eleqtri 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
32		restcldr 22525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
33	25, 31, 32	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
34		1re 11155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
35		icopnfcld 24131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
37	36, 30	eleqtri 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
38		restcldr 22525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
39	25, 37, 38	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
40		uncld 22392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
41	33, 39, 40	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
42	23	toponunii 22265	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
43	42	cldopn 22382	. . . . . . . 8 ⊢ (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
44	41, 43	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
45	3, 44	eqeltri 2834	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
47	11, 17, 18, 20, 21, 24, 22, 46	dvmptres 25327	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0))
48	5	sseli 3940	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
49		asincl 26223	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
52		ovexd 7392	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
53		asinf 26222	. . . . . . . 8 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
55	54, 21	feqresmpt 6911	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥)))
56	55	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))))
57	3	dvasin 36162	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
58	56, 57	eqtr3di 2791	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
59	11, 14, 16, 47, 51, 52, 58	dvmptsub 25331	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
60	59	mptru 1548	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
61		df-neg 11388	. . . 4 ⊢ -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
62		1cnd 11150	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 1 ∈ ℂ)
63		ax-1cn 11109	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
64	48	sqcld 14049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65		subcl 11400	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
66	63, 64, 65	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
67	66	sqrtcld 15322	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
68		eldifn 4087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
69	68, 3	eleq2s 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
70		mnfxr 11212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
71	26	rexri 11213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ*
72		mnflt 13044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
73	26, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ < -1
74		ubioc1 13317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -1) → -1 ∈ (-∞(,]-1))
75	70, 71, 73, 74	mp3an 1461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ (-∞(,]-1)
76		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ↔ -1 ∈ (-∞(,]-1)))
77	75, 76	mpbiri 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ (-∞(,]-1))
78	34	rexri 11213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ*
79		pnfxr 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
80		ltpnf 13041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
81	34, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < +∞
82		lbico1 13318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1 < +∞) → 1 ∈ (1[,)+∞))
83	78, 79, 81, 82	mp3an 1461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (1[,)+∞)
84		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ 1 ∈ (1[,)+∞)))
85	83, 84	mpbiri 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
86	77, 85	orim12i 907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
87	86	orcoms 870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
88		elun 4108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
89	87, 88	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
90	69, 89	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
91		sq1 14099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
92		1cnd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 ∈ ℂ)
93		sqcl 14023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
95	63, 93, 65	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
97		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0)
98	96, 97	sqr00d 15326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) = 0)
99	92, 94, 98	subeq0d 11520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 = (𝑥↑2))
100	91, 99	eqtr2id 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) = (1↑2))
101	100	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥↑2) = (1↑2)))
102		sqeqor 14120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
103	63, 102	mpan2 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
104	101, 103	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
105	104	necon3bd 2957	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0))
106	48, 90, 105	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)
107	62, 67, 106	divnegd 11944	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
108	61, 107	eqtr3id 2790	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
109	108	mpteq2ia 5208	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
110	9, 60, 109	3eqtri 2768	1 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634   ↾ cres 5635  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  [,)cico 13266  ↑cexp 13967  √csqrt 15118  πcpi 15949   ↾_t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ℂ_fldccnfld 20796  Clsdccld 22367   D cdv 25227  arcsincasin 26212  arccoscacos 26213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-asin 26215  df-acos 26216

This theorem is referenced by:  dvreacos  36165