Theorem dvacos 38209

Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvasin.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))

Assertion

Ref	Expression
dvacos	⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-acos 26933	. . . . 5 ⊢ arccos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
2	1	reseq1i 5963	. . . 4 ⊢ (arccos ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷)
3		dvasin.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4		difss 4091	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ
5	3, 4	eqsstri 3984	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
6		resmpt 6028	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
8	2, 7	eqtri 2787	. . 3 ⊢ (arccos ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
9	8	oveq2i 7409	. 2 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
10		cnelprrecn 11168	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12		halfpire 26531	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
13	12	recni 11198	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (π / 2) ∈ ℂ)
15		c0ex 11175	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
17	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (π / 2) ∈ ℂ)
18	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
19	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
20	11, 19	dvmptc 26022	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
21	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ⊆ ℂ)
22		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
23	22	cnfldtopon 24844	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
24	23	toponrestid 22983	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
25	22	recld2 24877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26		neg1rr 12183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
27		iocmnfcld 24830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
29		tgioo4 24867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
30	29	fveq2i 6872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
31	28, 30	eleqtri 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
32		restcldr 23236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
33	25, 31, 32	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
34		1re 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
35		icopnfcld 24829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
37	36, 30	eleqtri 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
38		restcldr 23236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
39	25, 37, 38	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
40		uncld 23103	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
41	33, 39, 40	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
42	23	toponunii 22978	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
43	42	cldopn 23093	. . . . . . . 8 ⊢ (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
44	41, 43	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
45	3, 44	eqeltri 2860	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
47	11, 17, 18, 20, 21, 24, 22, 46	dvmptres 26027	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0))
48	5	sseli 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
49		asincl 26940	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
52		ovexd 7433	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
53		asinf 26939	. . . . . . . 8 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
55	54, 21	feqresmpt 6938	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥)))
56	55	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))))
57	3	dvasin 38208	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
58	56, 57	eqtr3di 2814	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
59	11, 14, 16, 47, 51, 52, 58	dvmptsub 26031	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
60	59	mptru 1569	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
61		df-neg 11419	. . . 4 ⊢ -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
62		1cnd 11177	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 1 ∈ ℂ)
63		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
64	48	sqcld 14159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65		subcl 11431	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
66	63, 64, 65	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
67	66	sqrtcld 15469	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
68		eldifn 4087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
69	68, 3	eleq2s 2882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
70		mnfxr 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
71	26	rexri 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ*
72		mnflt 13127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
73	26, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ < -1
74		ubioc1 13405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -1) → -1 ∈ (-∞(,]-1))
75	70, 71, 73, 74	mp3an 1484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ (-∞(,]-1)
76		eleq1 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ↔ -1 ∈ (-∞(,]-1)))
77	75, 76	mpbiri 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ (-∞(,]-1))
78	34	rexri 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ*
79		pnfxr 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
80		ltpnf 13124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
81	34, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < +∞
82		lbico1 13406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1 < +∞) → 1 ∈ (1[,)+∞))
83	78, 79, 81, 82	mp3an 1484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (1[,)+∞)
84		eleq1 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ 1 ∈ (1[,)+∞)))
85	83, 84	mpbiri 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
86	77, 85	orim12i 919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
87	86	orcoms 883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
88		elun 4108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
89	87, 88	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
90	69, 89	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
91		sq1 14210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
92		1cnd 11177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 ∈ ℂ)
93		sqcl 14133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
94	93	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
95	63, 93, 65	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
96	95	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
97		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0)
98	96, 97	sqr00d 15473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) = 0)
99	92, 94, 98	subeq0d 11552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 = (𝑥↑2))
100	91, 99	eqtr2id 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) = (1↑2))
101	100	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥↑2) = (1↑2)))
102		sqeqor 14231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
103	63, 102	mpan2 701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
104	101, 103	sylibd 241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
105	104	necon3bd 2973	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0))
106	48, 90, 105	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)
107	62, 67, 106	divnegd 11982	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
108	61, 107	eqtr3id 2813	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
109	108	mpteq2ia 5197	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
110	9, 60, 109	3eqtri 2791	1 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1562  ⊤wtru 1563   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {cpr 4586   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ran crn 5650   ↾ cres 5651  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  +∞cpnf 11215  -∞cmnf 11216  ℝ^*cxr 11217   < clt 11218   − cmin 11416  -cneg 11417   / cdiv 11846  2c2 12274  (,)cioo 13351  (,]cioc 13352  [,)cico 13353  ↑cexp 14076  √csqrt 15262  πcpi 16098   ↾_t crest 17451  TopOpenctopn 17452  topGenctg 17468  ℂ_fldccnfld 21426  Clsdccld 23078   D cdv 25927  arcsincasin 26929  arccoscacos 26930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14289  df-bc 14318  df-hash 14346  df-shft 15082  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-limsup 15500  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-rest 17453  df-topn 17454  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-topgen 17474  df-pt 17475  df-prds 17478  df-xrs 17534  df-qtop 17539  df-imas 17540  df-xps 17542  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-mulg 19112  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-fbas 21423  df-fg 21424  df-cnfld 21427  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-cld 23081  df-ntr 23082  df-cls 23083  df-nei 23160  df-lp 23198  df-perf 23199  df-cn 23289  df-cnp 23290  df-haus 23377  df-cmp 23449  df-tx 23624  df-hmeo 23817  df-fil 23908  df-fm 24000  df-flim 24001  df-flf 24002  df-xms 24382  df-ms 24383  df-tms 24384  df-cncf 24942  df-limc 25930  df-dv 25931  df-log 26623  df-cxp 26624  df-asin 26932  df-acos 26933

This theorem is referenced by:  dvreacos  38211