Theorem dvacos 37406

Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvasin.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))

Assertion

Ref	Expression
dvacos	⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-acos 26894	. . . . 5 ⊢ arccos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
2	1	reseq1i 5985	. . . 4 ⊢ (arccos ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷)
3		dvasin.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4		difss 4131	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ
5	3, 4	eqsstri 4014	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
6		resmpt 6046	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
8	2, 7	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (arccos ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
9	8	oveq2i 7435	. 2 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
10		cnelprrecn 11251	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12		halfpire 26492	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
13	12	recni 11278	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (π / 2) ∈ ℂ)
15		c0ex 11258	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
17	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (π / 2) ∈ ℂ)
18	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
19	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
20	11, 19	dvmptc 25981	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
21	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ⊆ ℂ)
22		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
23	22	cnfldtopon 24790	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
24	23	toponrestid 22914	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
25	22	recld2 24821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26		neg1rr 12379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
27		iocmnfcld 24776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
29	22	tgioo2 24810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
30	29	fveq2i 6904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
31	28, 30	eleqtri 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
32		restcldr 23169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
33	25, 31, 32	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
34		1re 11264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
35		icopnfcld 24775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
37	36, 30	eleqtri 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
38		restcldr 23169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
39	25, 37, 38	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
40		uncld 23036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
41	33, 39, 40	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
42	23	toponunii 22909	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
43	42	cldopn 23026	. . . . . . . 8 ⊢ (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
44	41, 43	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
45	3, 44	eqeltri 2822	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
47	11, 17, 18, 20, 21, 24, 22, 46	dvmptres 25986	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0))
48	5	sseli 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
49		asincl 26901	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
52		ovexd 7459	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
53		asinf 26900	. . . . . . . 8 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
55	54, 21	feqresmpt 6972	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (arcsin ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥)))
56	55	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))))
57	3	dvasin 37405	. . . . 5 ⊢ (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
58	56, 57	eqtr3di 2781	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
59	11, 14, 16, 47, 51, 52, 58	dvmptsub 25990	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
60	59	mptru 1541	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
61		df-neg 11497	. . . 4 ⊢ -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
62		1cnd 11259	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 1 ∈ ℂ)
63		ax-1cn 11216	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
64	48	sqcld 14163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65		subcl 11509	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
66	63, 64, 65	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
67	66	sqrtcld 15442	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
68		eldifn 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
69	68, 3	eleq2s 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
70		mnfxr 11321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
71	26	rexri 11322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ*
72		mnflt 13157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
73	26, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ < -1
74		ubioc1 13431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -1) → -1 ∈ (-∞(,]-1))
75	70, 71, 73, 74	mp3an 1458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ (-∞(,]-1)
76		eleq1 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ↔ -1 ∈ (-∞(,]-1)))
77	75, 76	mpbiri 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ (-∞(,]-1))
78	34	rexri 11322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ*
79		pnfxr 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
80		ltpnf 13154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
81	34, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < +∞
82		lbico1 13432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1 < +∞) → 1 ∈ (1[,)+∞))
83	78, 79, 81, 82	mp3an 1458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (1[,)+∞)
84		eleq1 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ 1 ∈ (1[,)+∞)))
85	83, 84	mpbiri 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
86	77, 85	orim12i 906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
87	86	orcoms 870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
88		elun 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
89	87, 88	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
90	69, 89	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
91		sq1 14213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
92		1cnd 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 ∈ ℂ)
93		sqcl 14137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
94	93	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
95	63, 93, 65	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
96	95	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
97		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0)
98	96, 97	sqr00d 15446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) = 0)
99	92, 94, 98	subeq0d 11629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 = (𝑥↑2))
100	91, 99	eqtr2id 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) = (1↑2))
101	100	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥↑2) = (1↑2)))
102		sqeqor 14234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
103	63, 102	mpan2 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
104	101, 103	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
105	104	necon3bd 2944	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0))
106	48, 90, 105	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)
107	62, 67, 106	divnegd 12054	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
108	61, 107	eqtr3id 2780	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
109	108	mpteq2ia 5256	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
110	9, 60, 109	3eqtri 2758	1 ⊢ (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  Vcvv 3462   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {cpr 4635   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236  ran crn 5683   ↾ cres 5684  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159  +∞cpnf 11295  -∞cmnf 11296  ℝ^*cxr 11297   < clt 11298   − cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  2c2 12319  (,)cioo 13378  (,]cioc 13379  [,)cico 13380  ↑cexp 14081  √csqrt 15238  πcpi 16068   ↾_t crest 17435  TopOpenctopn 17436  topGenctg 17452  ℂ_fldccnfld 21343  Clsdccld 23011   D cdv 25883  arcsincasin 26890  arccoscacos 26891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-tan 16073  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-log 26583  df-cxp 26584  df-asin 26893  df-acos 26894

This theorem is referenced by:  dvreacos  37408