Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvacos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvacos 34449
Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
Assertion
Ref Expression
dvacos (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvacos
StepHypRef Expression
1 df-acos 25157 . . . . 5 arccos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
21reseq1i 5688 . . . 4 (arccos ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷)
3 dvasin.d . . . . . 6 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4 difss 3992 . . . . . 6 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ
53, 4eqsstri 3885 . . . . 5 𝐷 ⊆ ℂ
6 resmpt 5747 . . . . 5 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
82, 7eqtri 2796 . . 3 (arccos ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
98oveq2i 6985 . 2 (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
10 cnelprrecn 10426 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12 halfpire 24765 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
1312recni 10452 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (π / 2) ∈ ℂ)
15 c0ex 10431 . . . . 5 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → 0 ∈ V)
1713a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (π / 2) ∈ ℂ)
1815a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
1913a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
2011, 19dvmptc 24270 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
215a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐷 ⊆ ℂ)
22 eqid 2772 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2322cnfldtopon 23106 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2423toponrestid 21245 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
2522recld2 23137 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26 neg1rr 11560 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
27 iocmnfcld 23092 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
2922tgioo2 23126 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3029fveq2i 6499 . . . . . . . . . . 11 (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
3128, 30eleqtri 2858 . . . . . . . . . 10 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
32 restcldr 21498 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
3325, 31, 32mp2an 679 . . . . . . . . 9 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
34 1re 10437 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
35 icopnfcld 23091 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
3736, 30eleqtri 2858 . . . . . . . . . 10 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
38 restcldr 21498 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
3925, 37, 38mp2an 679 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
40 uncld 21365 . . . . . . . . 9 (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
4133, 39, 40mp2an 679 . . . . . . . 8 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
4223toponunii 21240 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4342cldopn 21355 . . . . . . . 8 (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
4441, 43ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
453, 44eqeltri 2856 . . . . . 6 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
4645a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
4711, 17, 18, 20, 21, 24, 22, 46dvmptres 24275 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (π / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ 0))
485sseli 3848 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
49 asincl 25164 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
5048, 49syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
5150adantl 474 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
52 ovexd 7008 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
533dvasin 34448 . . . . 5 (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
54 asinf 25163 . . . . . . . 8 arcsin:ℂ⟶ℂ
5554a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
5655, 21feqresmpt 6561 . . . . . 6 (⊤ → (arcsin ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥)))
5756oveq2d 6990 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))))
5853, 57syl5reqr 2823 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
5911, 14, 16, 47, 51, 52, 58dvmptsub 24279 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
6059mptru 1514 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
61 df-neg 10671 . . . 4 -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
62 1cnd 10432 . . . . 5 (𝑥𝐷 → 1 ∈ ℂ)
63 ax-1cn 10391 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
6448sqcld 13321 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65 subcl 10683 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
6663, 64, 65sylancr 578 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
6766sqrtcld 14656 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
68 eldifn 3988 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
6968, 3eleq2s 2878 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
70 mnfxr 10496 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
7126rexri 10497 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ*
72 mnflt 12333 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
7326, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 -∞ < -1
74 ubioc1 12604 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -1) → -1 ∈ (-∞(,]-1))
7570, 71, 73, 74mp3an 1440 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ (-∞(,]-1)
76 eleq1 2847 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -1 → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ↔ -1 ∈ (-∞(,]-1)))
7775, 76mpbiri 250 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ (-∞(,]-1))
7834rexri 10497 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ*
79 pnfxr 10492 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
80 ltpnf 12330 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
8134, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 1 < +∞
82 lbico1 12605 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1 < +∞) → 1 ∈ (1[,)+∞))
8378, 79, 81, 82mp3an 1440 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (1[,)+∞)
84 eleq1 2847 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ 1 ∈ (1[,)+∞)))
8583, 84mpbiri 250 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
8677, 85orim12i 892 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
8786orcoms 858 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
88 elun 4008 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
8987, 88sylibr 226 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
9069, 89nsyl 138 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
91 sq1 13371 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
92 1cnd 10432 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 ∈ ℂ)
93 sqcl 13297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
9493adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
9563, 93, 65sylancr 578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
9695adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
97 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0)
9896, 97sqr00d 14660 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) = 0)
9992, 94, 98subeq0d 10804 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 = (𝑥↑2))
10091, 99syl5req 2821 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) = (1↑2))
101100ex 405 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥↑2) = (1↑2)))
102 sqeqor 13391 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
10363, 102mpan2 678 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
104101, 103sylibd 231 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
105104necon3bd 2975 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0))
10648, 90, 105sylc 65 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)
10762, 67, 106divnegd 11228 . . . 4 (𝑥𝐷 → -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
10861, 107syl5eqr 2822 . . 3 (𝑥𝐷 → (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
109108mpteq2ia 5014 . 2 (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
1109, 60, 1093eqtri 2800 1 (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wtru 1508  wcel 2050  wne 2961  Vcvv 3409  cdif 3820  cun 3821  wss 3823  {cpr 4437   class class class wbr 4925  cmpt 5004  ran crn 5404  cres 5405  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  cc 10331  cr 10332  0cc0 10333  1c1 10334  +∞cpnf 10469  -∞cmnf 10470  *cxr 10471   < clt 10472  cmin 10668  -cneg 10669   / cdiv 11096  2c2 11493  (,)cioo 12552  (,]cioc 12553  [,)cico 12554  cexp 13242  csqrt 14451  πcpi 15278  t crest 16548  TopOpenctopn 16549  topGenctg 16565  fldccnfld 20259  Clsdccld 21340   D cdv 24176  arcsincasin 25153  arccoscacos 25154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-cda 9386  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ioo 12556  df-ioc 12557  df-ico 12558  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-fac 13447  df-bc 13476  df-hash 13504  df-shft 14285  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-limsup 14687  df-clim 14704  df-rlim 14705  df-sum 14902  df-ef 15279  df-sin 15281  df-cos 15282  df-tan 15283  df-pi 15284  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-pt 16572  df-prds 16575  df-xrs 16629  df-qtop 16634  df-imas 16635  df-xps 16637  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-mulg 18024  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-psmet 20251  df-xmet 20252  df-met 20253  df-bl 20254  df-mopn 20255  df-fbas 20256  df-fg 20257  df-cnfld 20260  df-top 21218  df-topon 21235  df-topsp 21257  df-bases 21270  df-cld 21343  df-ntr 21344  df-cls 21345  df-nei 21422  df-lp 21460  df-perf 21461  df-cn 21551  df-cnp 21552  df-haus 21639  df-cmp 21711  df-tx 21886  df-hmeo 22079  df-fil 22170  df-fm 22262  df-flim 22263  df-flf 22264  df-xms 22645  df-ms 22646  df-tms 22647  df-cncf 23201  df-limc 24179  df-dv 24180  df-log 24853  df-cxp 24854  df-asin 25156  df-acos 25157
This theorem is referenced by:  dvreacos  34451
  Copyright terms: Public domain W3C validator