Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvacos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvacos 37406
Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
Assertion
Ref Expression
dvacos (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvacos
StepHypRef Expression
1 df-acos 26894 . . . . 5 arccos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
21reseq1i 5985 . . . 4 (arccos ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷)
3 dvasin.d . . . . . 6 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4 difss 4131 . . . . . 6 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ
53, 4eqsstri 4014 . . . . 5 𝐷 ⊆ ℂ
6 resmpt 6046 . . . . 5 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
82, 7eqtri 2754 . . 3 (arccos ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
98oveq2i 7435 . 2 (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
10 cnelprrecn 11251 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12 halfpire 26492 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
1312recni 11278 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (π / 2) ∈ ℂ)
15 c0ex 11258 . . . . 5 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → 0 ∈ V)
1713a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (π / 2) ∈ ℂ)
1815a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
1913a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
2011, 19dvmptc 25981 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
215a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐷 ⊆ ℂ)
22 eqid 2726 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2322cnfldtopon 24790 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2423toponrestid 22914 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
2522recld2 24821 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26 neg1rr 12379 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
27 iocmnfcld 24776 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
2922tgioo2 24810 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3029fveq2i 6904 . . . . . . . . . . 11 (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
3128, 30eleqtri 2824 . . . . . . . . . 10 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
32 restcldr 23169 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
3325, 31, 32mp2an 690 . . . . . . . . 9 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
34 1re 11264 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
35 icopnfcld 24775 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
3736, 30eleqtri 2824 . . . . . . . . . 10 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
38 restcldr 23169 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
3925, 37, 38mp2an 690 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
40 uncld 23036 . . . . . . . . 9 (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
4133, 39, 40mp2an 690 . . . . . . . 8 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
4223toponunii 22909 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4342cldopn 23026 . . . . . . . 8 (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
4441, 43ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
453, 44eqeltri 2822 . . . . . 6 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
4645a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
4711, 17, 18, 20, 21, 24, 22, 46dvmptres 25986 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (π / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ 0))
485sseli 3975 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
49 asincl 26901 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
5048, 49syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
5150adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
52 ovexd 7459 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
53 asinf 26900 . . . . . . . 8 arcsin:ℂ⟶ℂ
5453a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
5554, 21feqresmpt 6972 . . . . . 6 (⊤ → (arcsin ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥)))
5655oveq2d 7440 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))))
573dvasin 37405 . . . . 5 (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
5856, 57eqtr3di 2781 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
5911, 14, 16, 47, 51, 52, 58dvmptsub 25990 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
6059mptru 1541 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
61 df-neg 11497 . . . 4 -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
62 1cnd 11259 . . . . 5 (𝑥𝐷 → 1 ∈ ℂ)
63 ax-1cn 11216 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
6448sqcld 14163 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65 subcl 11509 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
6663, 64, 65sylancr 585 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
6766sqrtcld 15442 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
68 eldifn 4127 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
6968, 3eleq2s 2844 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
70 mnfxr 11321 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
7126rexri 11322 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ*
72 mnflt 13157 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
7326, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 -∞ < -1
74 ubioc1 13431 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -1) → -1 ∈ (-∞(,]-1))
7570, 71, 73, 74mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ (-∞(,]-1)
76 eleq1 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -1 → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ↔ -1 ∈ (-∞(,]-1)))
7775, 76mpbiri 257 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ (-∞(,]-1))
7834rexri 11322 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ*
79 pnfxr 11318 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
80 ltpnf 13154 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
8134, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 1 < +∞
82 lbico1 13432 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1 < +∞) → 1 ∈ (1[,)+∞))
8378, 79, 81, 82mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (1[,)+∞)
84 eleq1 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ 1 ∈ (1[,)+∞)))
8583, 84mpbiri 257 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
8677, 85orim12i 906 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
8786orcoms 870 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
88 elun 4148 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
8987, 88sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
9069, 89nsyl 140 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
91 sq1 14213 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
92 1cnd 11259 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 ∈ ℂ)
93 sqcl 14137 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
9493adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
9563, 93, 65sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
9695adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
97 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0)
9896, 97sqr00d 15446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) = 0)
9992, 94, 98subeq0d 11629 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 = (𝑥↑2))
10091, 99eqtr2id 2779 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) = (1↑2))
101100ex 411 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥↑2) = (1↑2)))
102 sqeqor 14234 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
10363, 102mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
104101, 103sylibd 238 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
105104necon3bd 2944 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0))
10648, 90, 105sylc 65 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)
10762, 67, 106divnegd 12054 . . . 4 (𝑥𝐷 → -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
10861, 107eqtr3id 2780 . . 3 (𝑥𝐷 → (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
109108mpteq2ia 5256 . 2 (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
1109, 60, 1093eqtri 2758 1 (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  cdif 3944  cun 3945  wss 3947  {cpr 4635   class class class wbr 5153  cmpt 5236  ran crn 5683  cres 5684  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159  +∞cpnf 11295  -∞cmnf 11296  *cxr 11297   < clt 11298  cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  2c2 12319  (,)cioo 13378  (,]cioc 13379  [,)cico 13380  cexp 14081  csqrt 15238  πcpi 16068  t crest 17435  TopOpenctopn 17436  topGenctg 17452  fldccnfld 21343  Clsdccld 23011   D cdv 25883  arcsincasin 26890  arccoscacos 26891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-tan 16073  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-log 26583  df-cxp 26584  df-asin 26893  df-acos 26894
This theorem is referenced by:  dvreacos  37408
  Copyright terms: Public domain W3C validator