Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvacos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvacos 37692
Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
Assertion
Ref Expression
dvacos (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvacos
StepHypRef Expression
1 df-acos 26924 . . . . 5 arccos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
21reseq1i 5996 . . . 4 (arccos ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷)
3 dvasin.d . . . . . 6 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4 difss 4146 . . . . . 6 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ
53, 4eqsstri 4030 . . . . 5 𝐷 ⊆ ℂ
6 resmpt 6057 . . . . 5 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
82, 7eqtri 2763 . . 3 (arccos ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
98oveq2i 7442 . 2 (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
10 cnelprrecn 11246 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12 halfpire 26521 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
1312recni 11273 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (π / 2) ∈ ℂ)
15 c0ex 11253 . . . . 5 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → 0 ∈ V)
1713a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (π / 2) ∈ ℂ)
1815a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
1913a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
2011, 19dvmptc 26011 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
215a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐷 ⊆ ℂ)
22 eqid 2735 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2322cnfldtopon 24819 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2423toponrestid 22943 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
2522recld2 24850 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
26 neg1rr 12379 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
27 iocmnfcld 24805 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
2922tgioo2 24839 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3029fveq2i 6910 . . . . . . . . . . 11 (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
3128, 30eleqtri 2837 . . . . . . . . . 10 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
32 restcldr 23198 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
3325, 31, 32mp2an 692 . . . . . . . . 9 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
34 1re 11259 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
35 icopnfcld 24804 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
3736, 30eleqtri 2837 . . . . . . . . . 10 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
38 restcldr 23198 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
3925, 37, 38mp2an 692 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
40 uncld 23065 . . . . . . . . 9 (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
4133, 39, 40mp2an 692 . . . . . . . 8 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
4223toponunii 22938 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4342cldopn 23055 . . . . . . . 8 (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
4441, 43ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
453, 44eqeltri 2835 . . . . . 6 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
4645a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
4711, 17, 18, 20, 21, 24, 22, 46dvmptres 26016 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (π / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ 0))
485sseli 3991 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
49 asincl 26931 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
5048, 49syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
5150adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
52 ovexd 7466 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
53 asinf 26930 . . . . . . . 8 arcsin:ℂ⟶ℂ
5453a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
5554, 21feqresmpt 6978 . . . . . 6 (⊤ → (arcsin ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥)))
5655oveq2d 7447 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))))
573dvasin 37691 . . . . 5 (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
5856, 57eqtr3di 2790 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
5911, 14, 16, 47, 51, 52, 58dvmptsub 26020 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
6059mptru 1544 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
61 df-neg 11493 . . . 4 -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
62 1cnd 11254 . . . . 5 (𝑥𝐷 → 1 ∈ ℂ)
63 ax-1cn 11211 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
6448sqcld 14181 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
65 subcl 11505 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
6663, 64, 65sylancr 587 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
6766sqrtcld 15473 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
68 eldifn 4142 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
6968, 3eleq2s 2857 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
70 mnfxr 11316 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
7126rexri 11317 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ*
72 mnflt 13163 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
7326, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 -∞ < -1
74 ubioc1 13437 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -1) → -1 ∈ (-∞(,]-1))
7570, 71, 73, 74mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ (-∞(,]-1)
76 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -1 → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ↔ -1 ∈ (-∞(,]-1)))
7775, 76mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ (-∞(,]-1))
7834rexri 11317 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ*
79 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
80 ltpnf 13160 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
8134, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 1 < +∞
82 lbico1 13438 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1 < +∞) → 1 ∈ (1[,)+∞))
8378, 79, 81, 82mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (1[,)+∞)
84 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ 1 ∈ (1[,)+∞)))
8583, 84mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
8677, 85orim12i 908 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
8786orcoms 872 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
88 elun 4163 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
8987, 88sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
9069, 89nsyl 140 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
91 sq1 14231 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
92 1cnd 11254 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 ∈ ℂ)
93 sqcl 14155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
9563, 93, 65sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
97 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0)
9896, 97sqr00d 15477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) = 0)
9992, 94, 98subeq0d 11626 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 = (𝑥↑2))
10091, 99eqtr2id 2788 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) = (1↑2))
101100ex 412 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥↑2) = (1↑2)))
102 sqeqor 14252 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
10363, 102mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
104101, 103sylibd 239 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
105104necon3bd 2952 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0))
10648, 90, 105sylc 65 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)
10762, 67, 106divnegd 12054 . . . 4 (𝑥𝐷 → -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
10861, 107eqtr3id 2789 . . 3 (𝑥𝐷 → (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
109108mpteq2ia 5251 . 2 (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
1109, 60, 1093eqtri 2767 1 (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  (,)cioo 13384  (,]cioc 13385  [,)cico 13386  cexp 14099  csqrt 15269  πcpi 16099  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  topGenctg 17484  fldccnfld 21382  Clsdccld 23040   D cdv 25913  arcsincasin 26920  arccoscacos 26921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-tan 16104  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-asin 26923  df-acos 26924
This theorem is referenced by:  dvreacos  37694
  Copyright terms: Public domain W3C validator