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Theorem difreicc 12862
Description: The class difference of and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
difreicc ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))

Proof of Theorem difreicc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3944 . . 3 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2 rexr 10679 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 rexr 10679 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 elicc1 12774 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
52, 3, 4syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
65adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
76notbid 320 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
8 3anass 1089 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
98notbii 322 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
10 ianor 977 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
11 rexr 10679 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1211pm2.24d 154 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
1312adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
14 ianor 977 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
1511ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 mnflt 12510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
1716ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → -∞ < 𝑥)
18 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
19 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
20 ltnle 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑥))
2120bicomd 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐴))
2218, 19, 21syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐴))
2322biimpa 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 < 𝐴)
24 mnfxr 10690 . . . . . . . . . . . . . . 15 -∞ ∈ ℝ*
252ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26 elioo1 12770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴)))
2724, 25, 26sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴)))
2815, 17, 23, 27mpbir3and 1336 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴))
2928ex 415 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴𝑥𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴)))
30 ltnle 10712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐵))
3130adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐵))
3211ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
33 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
34 ltpnf 12507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
3534ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 < +∞)
363ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
37 pnfxr 10687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
38 elioo1 12770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥 < +∞)))
3936, 37, 38sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥 < +∞)))
4032, 33, 35, 39mpbir3and 1336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))
4140ex 415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))
4231, 41sylbird 262 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))
4329, 42orim12d 960 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
4414, 43syl5bi 244 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
4513, 44jaod 855 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
4610, 45syl5bi 244 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
479, 46syl5bi 244 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
487, 47sylbid 242 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
4948expimpd 456 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
50 elun 4123 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))
5149, 50syl6ibr 254 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
52 ioossre 12790 . . . . . . . . 9 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
53 ioossre 12790 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
5452, 53unssi 4159 . . . . . . . 8 ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
5554sseli 3961 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5655adantl 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
57 elioo2 12771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴)))
5824, 2, 57sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴)))
5958adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴)))
6020biimpd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴𝑥))
6160ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴𝑥)))
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞ < 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴𝑥))))
6362com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴𝑥))))
6463adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴𝑥))))
65643impd 1342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴) → ¬ 𝐴𝑥))
6659, 65sylbid 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) → ¬ 𝐴𝑥))
673adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6867, 37, 38sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥 < +∞)))
69 xrltnle 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐵))
7069biimpd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑥 → ¬ 𝑥𝐵))
7170ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → ¬ 𝑥𝐵)))
7271a1ddd 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥𝐵))))
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥𝐵))))
7473adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥𝐵))))
75743impd 1342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥 < +∞) → ¬ 𝑥𝐵))
7668, 75sylbid 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) → ¬ 𝑥𝐵))
7766, 76orim12d 960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵)))
7850, 77syl5bi 244 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵)))
7978imp 409 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
8079, 14sylibr 236 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵))
8180intnand 491 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
8281, 8sylnibr 331 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵))
832, 3anim12i 614 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
8483adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
854notbid 320 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
8684, 85syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
8782, 86mpbird 259 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8856, 87jca 514 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
8988ex 415 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
9051, 89impbid 214 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
911, 90syl5bb 285 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
9291eqrdv 2817 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cdif 3931  cun 3932   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cr 10528  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioo 12734  df-icc 12737
This theorem is referenced by:  icccld  23367  iccmbl  24159  mbfimaicc  24224  icccncfext  42154
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