| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | eldif 3961 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))) |
| 2 | | rexr 11307 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℝ*) |
| 3 | | rexr 11307 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 4 | | elicc1 13431 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 5 | 2, 3, 4 | syl2an 596 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 6 | 5 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 7 | 6 | notbid 318 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬
𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 8 | | 3anass 1095 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 9 | 8 | notbii 320 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
(𝑥 ∈
ℝ* ∧ 𝐴
≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 10 | | ianor 984 |
. . . . . . . . 9
⊢ (¬
(𝑥 ∈
ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 11 | | rexr 11307 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈
ℝ*) |
| 12 | 11 | pm2.24d 151 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (¬
𝑥 ∈
ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))) |
| 13 | 12 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬
𝑥 ∈
ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))) |
| 14 | | ianor 984 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (¬
(𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)) |
| 15 | 11 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬
𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*) |
| 16 | | mnflt 13165 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞
< 𝑥) |
| 17 | 16 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬
𝐴 ≤ 𝑥) → -∞ < 𝑥) |
| 18 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 19 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈
ℝ) |
| 20 | | ltnle 11340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)) |
| 21 | 20 | bicomd 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (¬
𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝐴)) |
| 22 | 18, 19, 21 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬
𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝐴)) |
| 23 | 22 | biimpa 476 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬
𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝐴) |
| 24 | | mnfxr 11318 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ -∞
∈ ℝ* |
| 25 | 2 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬
𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
| 26 | | elioo1 13427 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞
< 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))) |
| 27 | 24, 25, 26 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬
𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞
< 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))) |
| 28 | 15, 17, 23, 27 | mpbir3and 1343 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬
𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴)) |
| 29 | 28 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬
𝐴 ≤ 𝑥 → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴))) |
| 30 | | ltnle 11340 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)) |
| 31 | 30 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)) |
| 32 | 11 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*) |
| 33 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥) |
| 34 | | ltpnf 13162 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞) |
| 35 | 34 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 < +∞) |
| 36 | 3 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 37 | | pnfxr 11315 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ +∞
∈ ℝ* |
| 38 | | elioo1 13427 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) |
| 39 | 36, 37, 38 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) |
| 40 | 32, 33, 35, 39 | mpbir3and 1343 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)) |
| 41 | 40 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))) |
| 42 | 31, 41 | sylbird 260 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬
𝑥 ≤ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))) |
| 43 | 29, 42 | orim12d 967 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬
𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))) |
| 44 | 14, 43 | biimtrid 242 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬
(𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))) |
| 45 | 13, 44 | jaod 860 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬
𝑥 ∈
ℝ* ∨ ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))) |
| 46 | 10, 45 | biimtrid 242 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬
(𝑥 ∈
ℝ* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))) |
| 47 | 9, 46 | biimtrid 242 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬
(𝑥 ∈
ℝ* ∧ 𝐴
≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))) |
| 48 | 7, 47 | sylbid 240 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬
𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))) |
| 49 | 48 | expimpd 453 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬
𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))) |
| 50 | | elun 4153 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))) |
| 51 | 49, 50 | imbitrrdi 252 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬
𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) |
| 52 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . 9
⊢
(-∞(,)𝐴)
⊆ ℝ |
| 53 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆
ℝ |
| 54 | 52, 53 | unssi 4191 |
. . . . . . . 8
⊢
((-∞(,)𝐴)
∪ (𝐵(,)+∞))
⊆ ℝ |
| 55 | 54 | sseli 3979 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 56 | 55 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 57 | | elioo2 13428 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))) |
| 58 | 24, 2, 57 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))) |
| 59 | 58 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴))) |
| 60 | 20 | biimpd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)) |
| 61 | 60 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))) |
| 62 | 61 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (-∞
< 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))) |
| 63 | 62 | com13 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (-∞
< 𝑥 → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))) |
| 64 | 63 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ → (-∞
< 𝑥 → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))) |
| 65 | 64 | 3impd 1349 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞
< 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)) |
| 66 | 59, 65 | sylbid 240 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)) |
| 67 | 3 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 68 | 67, 37, 38 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))) |
| 69 | | xrltnle 11328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝑥 ∈
ℝ*) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)) |
| 70 | 69 | biimpd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝑥 ∈
ℝ*) → (𝐵 < 𝑥 → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)) |
| 71 | 70 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
→ (𝑥 ∈
ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 72 | 71 | a1ddd 80 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
→ (𝑥 ∈
ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)))) |
| 73 | 3, 72 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ*
→ (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)))) |
| 74 | 73 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ*
→ (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)))) |
| 75 | 74 | 3impd 1349 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞) → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)) |
| 76 | 68, 75 | sylbid 240 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)) |
| 77 | 66, 76 | orim12d 967 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 78 | 50, 77 | biimtrid 242 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 79 | 78 | imp 406 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)) |
| 80 | 79, 14 | sylibr 234 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) |
| 81 | 80 | intnand 488 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ*
∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 82 | 81, 8 | sylnibr 329 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) |
| 83 | 2, 3 | anim12i 613 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*)) |
| 84 | 83 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈
ℝ*)) |
| 85 | 4 | notbid 318 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 86 | 84, 85 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))) |
| 87 | 82, 86 | mpbird 257 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
| 88 | 56, 87 | jca 511 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))) |
| 89 | 88 | ex 412 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))) |
| 90 | 51, 89 | impbid 212 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬
𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) |
| 91 | 1, 90 | bitrid 283 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))) |
| 92 | 91 | eqrdv 2735 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ
∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) |