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Theorem difreicc 13520
Description: The class difference of and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
difreicc ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))

Proof of Theorem difreicc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3972 . . 3 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2 rexr 11304 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 rexr 11304 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 elicc1 13427 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
52, 3, 4syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
65adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
76notbid 318 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
8 3anass 1094 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
98notbii 320 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
10 ianor 983 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
11 rexr 11304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1211pm2.24d 151 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
1312adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
14 ianor 983 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
1511ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 mnflt 13162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
1716ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → -∞ < 𝑥)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
19 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
20 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑥))
2120bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐴))
2218, 19, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐴))
2322biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 < 𝐴)
24 mnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 -∞ ∈ ℝ*
252ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
26 elioo1 13423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴)))
2724, 25, 26sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴)))
2815, 17, 23, 27mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴))
2928ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴𝑥𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴)))
30 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐵))
3130adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐵))
3211ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
33 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
34 ltpnf 13159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
3534ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 < +∞)
363ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
37 pnfxr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
38 elioo1 13423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥 < +∞)))
3936, 37, 38sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥 < +∞)))
4032, 33, 35, 39mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))
4140ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))
4231, 41sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))
4329, 42orim12d 966 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
4414, 43biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
4513, 44jaod 859 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
4610, 45biimtrid 242 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
479, 46biimtrid 242 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
487, 47sylbid 240 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
4948expimpd 453 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
50 elun 4162 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))
5149, 50imbitrrdi 252 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
52 ioossre 13444 . . . . . . . . 9 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
53 ioossre 13444 . . . . . . . . 9 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
5452, 53unssi 4200 . . . . . . . 8 ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
5554sseli 3990 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5655adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
57 elioo2 13424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴)))
5824, 2, 57sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴)))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴)))
6020biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴𝑥))
6160ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴𝑥)))
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞ < 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴𝑥))))
6362com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴𝑥))))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴𝑥))))
65643impd 1347 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐴) → ¬ 𝐴𝑥))
6659, 65sylbid 240 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) → ¬ 𝐴𝑥))
673adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6867, 37, 38sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥 < +∞)))
69 xrltnle 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐵))
7069biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑥 → ¬ 𝑥𝐵))
7170ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → ¬ 𝑥𝐵)))
7271a1ddd 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥𝐵))))
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥𝐵))))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥𝐵))))
75743impd 1347 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 < 𝑥𝑥 < +∞) → ¬ 𝑥𝐵))
7668, 75sylbid 240 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) → ¬ 𝑥𝐵))
7766, 76orim12d 966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵)))
7850, 77biimtrid 242 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵)))
7978imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
8079, 14sylibr 234 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵))
8180intnand 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
8281, 8sylnibr 329 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵))
832, 3anim12i 613 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
8483adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
854notbid 318 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
8684, 85syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥𝐵)))
8782, 86mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8856, 87jca 511 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
8988ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
9051, 89impbid 212 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
911, 90bitrid 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
9291eqrdv 2732 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  cdif 3959  cun 3960   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cr 11151  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ioo 13387  df-icc 13390
This theorem is referenced by:  icccld  24802  iccmbl  25614  mbfimaicc  25679  icccncfext  45842
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