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Theorem difreicc 13460

Description: The class difference of ℝ and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
difreicc	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))

Proof of Theorem difreicc Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3958	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
2		rexr 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ^*)
3		rexr 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ^*)
4		elicc1 13367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
5	2, 3, 4	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
7	6	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
8		3anass 1095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
9	8	notbii 319	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
10		ianor 980	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ^* ∨ ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
11		rexr 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ^*)
12	11	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
14		ianor 980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
15	11	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
16		mnflt 13102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
17	16	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → -∞ < 𝑥)
18		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
19		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		ltnle 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
21	20	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝐴))
22	18, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝐴))
23	22	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝐴)
24		mnfxr 11270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
25	2	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
26		elioo1 13363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
27	24, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
28	15, 17, 23, 27	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴))
29	28	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴)))
30		ltnle 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
31	30	adantll 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
32	11	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
33		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
34		ltpnf 13099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
35	34	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 < +∞)
36	3	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
37		pnfxr 11267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
38		elioo1 13363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
39	36, 37, 38	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
40	32, 33, 35, 39	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))
41	40	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))
42	31, 41	sylbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ≤ 𝐵 → 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))
43	29, 42	orim12d 963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
44	14, 43	biimtrid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
45	13, 44	jaod 857	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((¬ 𝑥 ∈ ℝ^* ∨ ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
46	10, 45	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
47	9, 46	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
48	7, 47	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
49	48	expimpd 454	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞))))
50		elun 4148	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)))
51	49, 50	syl6ibr 251	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
52		ioossre 13384	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
53		ioossre 13384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
54	52, 53	unssi 4185	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
55	54	sseli 3978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
57		elioo2 13364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
58	24, 2, 57	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴)))
60	20	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
61	60	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-∞ < 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))))
63	62	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))))
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → (𝑥 < 𝐴 → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))))
65	64	3impd 1348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
66	59, 65	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥))
67	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
68	67, 37, 38	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
69		xrltnle 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^*) → (𝐵 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
70	69	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^*) → (𝐵 < 𝑥 → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
71	70	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ ℝ^* → (𝐵 < 𝑥 → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)))
72	71	a1ddd 80	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ ℝ^* → (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))))
73	3, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ^* → (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))))
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ^* → (𝐵 < 𝑥 → (𝑥 < +∞ → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))))
75	74	3impd 1348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞) → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
76	68, 75	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞) → ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
77	66, 76	orim12d 963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐵(,)+∞)) → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)))
78	50, 77	biimtrid 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵)))
79	78	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
80	79, 14	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
81	80	intnand 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
82	81, 8	sylnibr 328	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
83	2, 3	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
84	83	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
85	4	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
86	84, 85	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
87	82, 86	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
88	56, 87	jca 512	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
89	88	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))))
90	51, 89	impbid 211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
91	1, 90	bitrid 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞))))
92	91	eqrdv 2730	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∖ cdif 3945 ∪ cun 3946 class class class wbr 5148 (class class class)co 7408 ℝcr 11108 +∞cpnf 11244 -∞cmnf 11245 ℝ^*cxr 11246 < clt 11247 ≤ cle 11248 (,)cioo 13323 [,]cicc 13326

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-po 5588 df-so 5589 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-ioo 13327 df-icc 13330

This theorem is referenced by: icccld 24282 iccmbl 25082 mbfimaicc 25147 icccncfext 44593

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