MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellogdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellogdm 26618
Description: Elementhood in the "continuous domain" of the complex logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
ellogdm (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))

Proof of Theorem ellogdm
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . 3 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
21eleq2i 2817 . 2 (𝐴𝐷𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
3 eldif 3954 . 2 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0)))
4 mnfxr 11303 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
5 0re 11248 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
6 elioc2 13422 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0)))
74, 5, 6mp2an 690 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0))
8 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0))
9 mnflt 13138 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
109pm4.71i 558 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴))
1110anbi1i 622 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0))
12 lenlt 11324 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
135, 12mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
14 elrp 13011 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
1514baib 534 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 0 < 𝐴))
1615notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1713, 16bitr4d 281 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
1817pm5.32i 573 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
1911, 18bitr3i 276 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
207, 8, 193bitri 296 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
2120notbii 319 . . . 4 𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
22 iman 400 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
2321, 22bitr4i 277 . . 3 𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
2423anbi2i 621 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
252, 3, 243bitri 296 1 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  -∞cmnf 11278  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  +crp 13009  (,]cioc 13360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-addrcl 11201  ax-rnegex 11211  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-rp 13010  df-ioc 13364
This theorem is referenced by:  logdmn0  26619  logdmnrp  26620  logdmss  26621  logcnlem2  26622  logcnlem3  26623  logcnlem4  26624  logcnlem5  26625  logcn  26626  dvloglem  26627  logf1o2  26629  cxpcn  26724  cxpcnOLD  26725  cxpcn2  26726  dmlogdmgm  27001  rpdmgm  27002  lgamgulmlem2  27007  lgamcvg2  27032  logdivsqrle  34413  binomcxplemdvbinom  43932
  Copyright terms: Public domain W3C validator