Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellogdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellogdm 25214
 Description: Elementhood in the "continuous domain" of the complex logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
ellogdm (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))

Proof of Theorem ellogdm
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . 3 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
21eleq2i 2902 . 2 (𝐴𝐷𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
3 eldif 3944 . 2 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0)))
4 mnfxr 10690 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
5 0re 10635 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
6 elioc2 12791 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0)))
74, 5, 6mp2an 690 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0))
8 df-3an 1083 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0))
9 mnflt 12510 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
109pm4.71i 562 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴))
1110anbi1i 625 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0))
12 lenlt 10711 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
135, 12mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
14 elrp 12383 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
1514baib 538 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 0 < 𝐴))
1615notbid 320 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1713, 16bitr4d 284 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
1817pm5.32i 577 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
1911, 18bitr3i 279 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
207, 8, 193bitri 299 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
2120notbii 322 . . . 4 𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
22 iman 404 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
2321, 22bitr4i 280 . . 3 𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
2423anbi2i 624 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
252, 3, 243bitri 299 1 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3931   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  -∞cmnf 10665  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℝ+crp 12381  (,]cioc 12731 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-addrcl 10590  ax-rnegex 10600  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-rp 12382  df-ioc 12735 This theorem is referenced by:  logdmn0  25215  logdmnrp  25216  logdmss  25217  logcnlem2  25218  logcnlem3  25219  logcnlem4  25220  logcnlem5  25221  logcn  25222  dvloglem  25223  logf1o2  25225  cxpcn  25318  cxpcn2  25319  dmlogdmgm  25593  rpdmgm  25594  lgamgulmlem2  25599  lgamcvg2  25624  logdivsqrle  31909  binomcxplemdvbinom  40670
 Copyright terms: Public domain W3C validator