Theorem ellogdm 26704

Description: Elementhood in the "continuous domain" of the complex logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
ellogdm	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))

Proof of Theorem ellogdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2	1	eleq2i 2854	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
3		eldif 3914	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0)))
4		mnfxr 11239	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		0re 11183	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		elioc2 13413	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0)))
7	4, 5, 6	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
8		df-3an 1100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0))
9		mnflt 13125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
10	9	pm4.71i 567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴))
11	10	anbi1i 633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0))
12		lenlt 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
13	5, 12	mpan2 701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
14		elrp 12995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
15	14	baib 543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 0 < 𝐴))
16	15	notbid 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ 0 < 𝐴))
17	13, 16	bitr4d 284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
18	17	pm5.32i 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
19	11, 18	bitr3i 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
20	7, 8, 19	3bitri 299	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
21	20	notbii 322	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
22		iman 405	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
23	21, 22	bitr4i 280	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
24	23	anbi2i 632	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
25	2, 3, 24	3bitri 299	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  -∞cmnf 11214  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℝ⁺crp 12993  (,]cioc 13350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-addrcl 11134  ax-rnegex 11144  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-rp 12994  df-ioc 13354

This theorem is referenced by:  logdmn0  26705  logdmnrp  26706  logdmss  26707  logcnlem2  26708  logcnlem3  26709  logcnlem4  26710  logcnlem5  26711  logcn  26712  dvloglem  26713  logf1o2  26715  cxpcn  26810  cxpcn2  26811  dmlogdmgm  27088  rpdmgm  27089  lgamgulmlem2  27094  lgamcvg2  27119  logdivsqrle  34944  binomcxplemdvbinom  44929