Theorem ellogdm 26967

Description: Elementhood in the "continuous domain" of the complex logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
ellogdm	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))

Proof of Theorem ellogdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2	1	eleq2i 2853	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
3		eldif 3909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0)))
4		mnfxr 11366	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		0re 11310	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		elioc2 13540	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0)))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
8		df-3an 1105	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0))
9		mnflt 13252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
10	9	pm4.71i 569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴))
11	10	anbi1i 636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0))
12		lenlt 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
13	5, 12	mpan2 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
14		elrp 13122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
15	14	baib 545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 0 < 𝐴))
16	15	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ 0 < 𝐴))
17	13, 16	bitr4d 285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
18	17	pm5.32i 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
19	11, 18	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
20	7, 8, 19	3bitri 300	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
21	20	notbii 323	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
22		iman 407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
23	21, 22	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
24	23	anbi2i 635	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
25	2, 3, 24	3bitri 300	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℝ⁺crp 13120  (,]cioc 13477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-addrcl 11261  ax-rnegex 11271  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-rp 13121  df-ioc 13481

This theorem is used by:  logdmn0  26968  logdmnrp  26969  logdmss  26970  logcnlem2  26971  logcnlem3  26972  logcnlem4  26973  logcnlem5  26974  logcn  26975  dvloglem  26976  logf1o2  26978  cxpcn  27073  cxpcn2  27074  dmlogdmgm  27351  rpdmgm  27352  lgamgulmlem2  27357  lgamcvg2  27382  logdivsqrle  35279  binomcxplemdvbinom  45336