Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvasin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvasin 37690
Description: Derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
Assertion
Ref Expression
dvasin (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvasin
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-asin 26922 . . . . 5 arcsin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
21reseq1i 5995 . . . 4 (arcsin ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))) ↾ 𝐷)
3 dvasin.d . . . . . 6 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4 difss 4145 . . . . . 6 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ
53, 4eqsstri 4029 . . . . 5 𝐷 ⊆ ℂ
6 resmpt 6056 . . . . 5 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
82, 7eqtri 2762 . . 3 (arcsin ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
98oveq2i 7441 . 2 (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))))
10 cnelprrecn 11245 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
125sseli 3990 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
13 ax-icn 11211 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
14 mulcl 11236 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
1513, 14mpan 690 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
16 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
17 sqcl 14154 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
18 subcl 11504 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
1916, 17, 18sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
2019sqrtcld 15472 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
2115, 20addcld 11277 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
2212, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
23 asinlem 26925 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
2412, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
2522, 24logcld 26626 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
2625adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
27 ovexd 7465 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ)
29 asinlem3 26928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
30 rere 15157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → (ℜ‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
3130breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → (0 ≤ (ℜ‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ↔ 0 ≤ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
3231biimpac 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ (ℜ‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
3329, 32sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
3423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
3528, 33, 34ne0gt0d 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → 0 < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
36 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
37 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → (0 < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ↔ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
3836, 37mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → (0 < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ↔ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → (0 < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ↔ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
4035, 39mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) → ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0)
4140ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
4212, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
43 imor 853 . . . . . . . . . . . 12 ((((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ → ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0) ↔ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
4442, 43sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
4544orcomd 871 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ))
4645olcd 874 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ)))
47 3ianor 1106 . . . . . . . . . . 11 (¬ (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0) ↔ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
48 3orrot 1091 . . . . . . . . . . 11 ((¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0) ↔ (¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ))
49 3orass 1089 . . . . . . . . . . 11 ((¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ) ↔ (¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ)))
5047, 48, 493bitrri 298 . . . . . . . . . 10 ((¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ)) ↔ ¬ (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
51 mnfxr 11315 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
52 elioc2 13446 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0)))
5351, 36, 52mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0))
5450, 53xchbinxr 335 . . . . . . . . 9 ((¬ -∞ < ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∨ (¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≤ 0 ∨ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℝ)) ↔ ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
5546, 54sylib 218 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ¬ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
5622, 55eldifd 3973 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
5756adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
58 ovexd 7465 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
59 eldifi 4140 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
60 eldifn 4141 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
61 0xr 11305 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
62 mnflt0 13164 . . . . . . . . . . . 12 -∞ < 0
63 ubioc1 13436 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0) → 0 ∈ (-∞(,]0))
6451, 61, 62, 63mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (-∞(,]0)
65 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ (-∞(,]0) ↔ 0 ∈ (-∞(,]0)))
6664, 65mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
6766necon3bi 2964 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ (-∞(,]0) → 𝑦 ≠ 0)
6860, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
6959, 68logcld 26626 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
7069adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
71 ovexd 7465 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ V)
7213a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → i ∈ ℂ)
7372, 12mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
7473adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
7513a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → i ∈ ℂ)
7612adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
77 1cnd 11253 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → 1 ∈ ℂ)
78 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
79 1cnd 11253 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8011dvmptid 26009 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
815a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐷 ⊆ ℂ)
82 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8382cnfldtopon 24818 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8483toponrestid 22942 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
8582recld2 24849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
86 neg1rr 12378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1 ∈ ℝ
87 iocmnfcld 24804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
89 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
90 icopnfcld 24803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
92 uncld 23064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
9388, 91, 92mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
9482tgioo2 24838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
9594fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
9693, 95eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
97 restcldr 23197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
9885, 96, 97mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
9983toponunii 22937 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
10099cldopn 23054 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
10198, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
1023, 101eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
103102a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
10411, 78, 79, 80, 81, 84, 82, 103dvmptres 26015 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ 1))
10513a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → i ∈ ℂ)
10611, 76, 77, 104, 105dvmptcmul 26016 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (i · 1)))
10713mulridi 11262 . . . . . . . . . 10 (i · 1) = i
108107mpteq2i 5252 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↦ (i · 1)) = (𝑥𝐷 ↦ i)
109106, 108eqtrdi 2790 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ i))
11012sqcld 14180 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
11116, 110, 18sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
112111sqrtcld 15472 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
113112adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
114 ovexd 7465 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
115 elin 3978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ ℝ) ↔ (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℝ))
1163asindmre 37689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∩ ℝ) = (-1(,)1)
117116eqimssi 4055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∩ ℝ) ⊆ (-1(,)1)
118117sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ (-1(,)1))
119115, 118sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐷𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ (-1(,)1))
120 incom 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0(,)+∞) ∩ (-∞(,]0)) = ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞))
121 pnfxr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
122 df-ioc 13388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
123 df-ioo 13387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
124 xrltnle 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 0))
125122, 123, 124ixxdisj 13398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅)
12651, 61, 121, 125mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅
127120, 126eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0(,)+∞) ∩ (-∞(,]0)) = ∅
128 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
129128resqcld 14161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
130 resubcl 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
13189, 129, 130sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
13286rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℝ*
133 1xr 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ*
134 elioo2 13424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥𝑥 < 1)))
135132, 133, 134mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥𝑥 < 1))
136 recn 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
137136abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
138136absge0d 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
139 0le1 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ≤ 1
140 lt2sq 14169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((abs‘𝑥) < 1 ↔ ((abs‘𝑥)↑2) < (1↑2)))
14189, 139, 140mpanr12 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) → ((abs‘𝑥) < 1 ↔ ((abs‘𝑥)↑2) < (1↑2)))
142137, 138, 141syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) < 1 ↔ ((abs‘𝑥)↑2) < (1↑2)))
143 abslt 15349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑥) < 1 ↔ (-1 < 𝑥𝑥 < 1)))
14489, 143mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) < 1 ↔ (-1 < 𝑥𝑥 < 1)))
145 absresq 15337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs‘𝑥)↑2) = (𝑥↑2))
146 sq1 14230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1↑2) = 1
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → (1↑2) = 1)
148145, 147breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → (((abs‘𝑥)↑2) < (1↑2) ↔ (𝑥↑2) < 1))
149 resqcl 14160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
150 posdif 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑥↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑥↑2))))
151149, 89, 150sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑥↑2))))
152148, 151bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → (((abs‘𝑥)↑2) < (1↑2) ↔ 0 < (1 − (𝑥↑2))))
153142, 144, 1523bitr3d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → ((-1 < 𝑥𝑥 < 1) ↔ 0 < (1 − (𝑥↑2))))
154153biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → ((-1 < 𝑥𝑥 < 1) → 0 < (1 − (𝑥↑2))))
1551543impib 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥𝑥 < 1) → 0 < (1 − (𝑥↑2)))
156135, 155sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 < (1 − (𝑥↑2)))
157131, 156elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ+)
158 ioorp 13461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)+∞) = ℝ+
159157, 158eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ (0(,)+∞))
160 disjel 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((0(,)+∞) ∩ (-∞(,]0)) = ∅ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (0(,)+∞)) → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
161127, 159, 160sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
162119, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐷𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
163 elioc2 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (𝑥↑2)) ∧ (1 − (𝑥↑2)) ≤ 0)))
16451, 36, 163mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (𝑥↑2)) ∧ (1 − (𝑥↑2)) ≤ 0))
165164biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) → ((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 − (𝑥↑2)) ∧ (1 − (𝑥↑2)) ≤ 0))
166165simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
167 resubcl 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ) → (1 − (1 − (𝑥↑2))) ∈ ℝ)
16889, 166, 167sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 − (1 − (𝑥↑2))) ∈ ℝ)
169 nncan 11535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (1 − (𝑥↑2))) = (𝑥↑2))
17016, 169mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥↑2) ∈ ℂ → (1 − (1 − (𝑥↑2))) = (𝑥↑2))
171170eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥↑2) ∈ ℂ → ((1 − (1 − (𝑥↑2))) ∈ ℝ ↔ (𝑥↑2) ∈ ℝ))
172171biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (1 − (𝑥↑2))) ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
173168, 172sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
174166adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
175165simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 0)
176175adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 0)
177 letr 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((1 − (𝑥↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1) → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1))
17836, 89, 177mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ → (((1 − (𝑥↑2)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1) → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1))
179139, 178mpan2i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ → ((1 − (𝑥↑2)) ≤ 0 → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1))
180174, 176, 179sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1)
181 subge0 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (1 − (𝑥↑2))) ↔ (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1))
18289, 174, 181sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (0 ≤ (1 − (1 − (𝑥↑2))) ↔ (1 − (𝑥↑2)) ≤ 1))
183180, 182mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ (1 − (1 − (𝑥↑2))))
184170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (1 − (1 − (𝑥↑2))) = (𝑥↑2))
185183, 184breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 0 ≤ (𝑥↑2))
186173, 185resqrtcld 15452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝑥↑2)) ∈ ℝ)
18717, 186sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (√‘(𝑥↑2)) ∈ ℝ)
188 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (√‘(𝑥↑2)) ∈ ℝ))
189187, 188syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) → 𝑥 ∈ ℝ))
190187renegcld 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → -(√‘(𝑥↑2)) ∈ ℝ)
191 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -(√‘(𝑥↑2)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -(√‘(𝑥↑2)) ∈ ℝ))
192190, 191syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝑥 = -(√‘(𝑥↑2)) → 𝑥 ∈ ℝ))
193 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥↑2) = (𝑥↑2)
194 eqsqrtor 15401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (𝑥↑2) ↔ (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) ∨ 𝑥 = -(√‘(𝑥↑2)))))
19517, 194mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (𝑥↑2) ↔ (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) ∨ 𝑥 = -(√‘(𝑥↑2)))))
196193, 195mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) ∨ 𝑥 = -(√‘(𝑥↑2))))
197196adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → (𝑥 = (√‘(𝑥↑2)) ∨ 𝑥 = -(√‘(𝑥↑2))))
198189, 192, 197mpjaod 860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
199198stoic1a 1768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
20012, 199sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
201162, 200pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → ¬ (1 − (𝑥↑2)) ∈ (-∞(,]0))
202111, 201eldifd 3973 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
203202adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
204 2cnd 12341 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
205 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
206204, 205mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
207206negcld 11604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → -(2 · 𝑥) ∈ ℂ)
208207adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(2 · 𝑥) ∈ ℂ)
20912, 208sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → -(2 · 𝑥) ∈ ℂ)
21059sqrtcld 15472 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (√‘𝑦) ∈ ℂ)
211210adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (√‘𝑦) ∈ ℂ)
212 ovexd 7465 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / (2 · (√‘𝑦))) ∈ V)
21319adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
21436a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
215 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
21611, 215dvmptc 26010 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
21717adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
218 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
219 mulcl 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
220218, 219mpan 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
221220adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
222 2nn 12336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
223 dvexp 26005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
224222, 223ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1))))
225 2m1e1 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 − 1) = 1
226225oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥↑(2 − 1)) = (𝑥↑1)
227 exp1 14104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑1) = 𝑥)
228226, 227eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑(2 − 1)) = 𝑥)
229228oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) = (2 · 𝑥))
230229mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥))
231224, 230eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥))
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥)))
23311, 79, 214, 216, 217, 221, 232dvmptsub 26019 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (𝑥↑2)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − (2 · 𝑥))))
234 df-neg 11492 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 · 𝑥) = (0 − (2 · 𝑥))
235234mpteq2i 5252 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(2 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − (2 · 𝑥)))
236233, 235eqtr4di 2792 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (𝑥↑2)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(2 · 𝑥)))
23711, 213, 208, 236, 81, 84, 82, 103dvmptres 26015 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (1 − (𝑥↑2)))) = (𝑥𝐷 ↦ -(2 · 𝑥)))
238 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
239238dvcnsqrt 26800 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (√‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / (2 · (√‘𝑦))))
240239a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (√‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / (2 · (√‘𝑦)))))
241 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (1 − (𝑥↑2)) → (√‘𝑦) = (√‘(1 − (𝑥↑2))))
242241oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (1 − (𝑥↑2)) → (2 · (√‘𝑦)) = (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
243242oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (1 − (𝑥↑2)) → (1 / (2 · (√‘𝑦))) = (1 / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
24411, 11, 203, 209, 211, 212, 237, 240, 241, 243dvmptco 26024 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · -(2 · 𝑥))))
245 mulneg2 11697 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · -𝑥) = -(2 · 𝑥))
246218, 12, 245sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (2 · -𝑥) = -(2 · 𝑥))
247246oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → ((2 · -𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-(2 · 𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
24812negcld 11604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → -𝑥 ∈ ℂ)
249 eldifn 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
250249, 3eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐷 → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
251 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = -1 → 𝑥 = -1)
252 mnflt 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
25386, 252ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ < -1
254 ubioc1 13436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -1) → -1 ∈ (-∞(,]-1))
25551, 132, 253, 254mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1 ∈ (-∞(,]-1)
256251, 255eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ (-∞(,]-1))
257 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
258 ltpnf 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
25989, 258ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
260 lbico1 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1 < +∞) → 1 ∈ (1[,)+∞))
261133, 121, 259, 260mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ (1[,)+∞)
262257, 261eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
263256, 262orim12i 908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
264263orcoms 872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
265 elun 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
266264, 265sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
267250, 266nsyl 140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
268 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 ∈ ℂ)
26917adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
27019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
271 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0)
272270, 271sqr00d 15476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) = 0)
273268, 269, 272subeq0d 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 = (𝑥↑2))
274146, 273eqtr2id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) = (1↑2))
275274ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥↑2) = (1↑2)))
276 sqeqor 14251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
27716, 276mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
278275, 277sylibd 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
279278necon3bd 2951 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0))
28012, 267, 279sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)
281 2cnne0 12473 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
282 divcan5 11966 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ ((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · -𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
283281, 282mp3an3 1449 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ ((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)) → ((2 · -𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
284248, 112, 280, 283syl12anc 837 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → ((2 · -𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
285218, 12, 219sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐷 → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
286285negcld 11604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → -(2 · 𝑥) ∈ ℂ)
287 mulcl 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ) → (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
288218, 112, 287sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
289 mulne0 11902 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)) → (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
290281, 289mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0) → (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
291112, 280, 290syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ≠ 0)
292286, 288, 291divrec2d 12044 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → (-(2 · 𝑥) / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · -(2 · 𝑥)))
293247, 284, 2923eqtr3rd 2783 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · -(2 · 𝑥)) = (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
294293mpteq2ia 5250 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · -(2 · 𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
295244, 294eqtrdi 2790 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (𝑥𝐷 ↦ (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
29611, 74, 75, 109, 113, 114, 295dvmptadd 26012 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (i + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
297 mulcl 11236 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ) → (i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
29813, 20, 297sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
29912, 298syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ)
300299, 248, 112, 280divdird 12078 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + -𝑥) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
301 ixi 11889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i · i) = -1
302301eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 = (i · i)
303302oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · 𝑥) = ((i · i) · 𝑥)
304 mulm1 11701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
305 mulass 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝑥) = (i · (i · 𝑥)))
30613, 13, 305mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝑥) = (i · (i · 𝑥)))
307303, 304, 3063eqtr3a 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 = (i · (i · 𝑥)))
308307oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + (i · (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((i · (i · 𝑥)) + (i · (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
309 negcl 11505 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
310298, 309addcomd 11460 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → ((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + -𝑥) = (-𝑥 + (i · (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
31113a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
312311, 15, 20adddid 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((i · (i · 𝑥)) + (i · (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
313308, 310, 3123eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → ((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + -𝑥) = (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
31412, 313syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → ((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + -𝑥) = (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
315314oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + -𝑥) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
31672, 112, 280divcan4d 12046 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → ((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = i)
317316oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (((i · (√‘(1 − (𝑥↑2)))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (i + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
318300, 315, 3173eqtr3rd 2783 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (i + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
319318mpteq2ia 5250 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 ↦ (i + (-𝑥 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
320296, 319eqtrdi 2790 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
321 logf1o 26620 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
322 f1of 6848 . . . . . . . . . 10 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
323321, 322mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊤ → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
324 snssi 4812 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (-∞(,]0) → {0} ⊆ (-∞(,]0))
32564, 324ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 {0} ⊆ (-∞(,]0)
326 sscon 4152 . . . . . . . . . 10 ({0} ⊆ (-∞(,]0) → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
327325, 326mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
328323, 327feqresmpt 6977 . . . . . . . 8 (⊤ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)))
329328oveq2d 7446 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))))
330238dvlog 26707 . . . . . . 7 (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
331329, 330eqtr3di 2789 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
332 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑦 = ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) → (log‘𝑦) = (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
333 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝑦 = ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) → (1 / 𝑦) = (1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
33411, 11, 57, 58, 70, 71, 320, 331, 332, 333dvmptco 26024 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
33522, 24reccld 12033 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
336 mulcl 11236 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ ℂ) → (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
33713, 21, 336sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
33812, 337syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) ∈ ℂ)
339335, 338, 112, 280divassd 12075 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
340338, 22, 24divrec2d 12044 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
34172, 22, 24divcan4d 12046 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = i)
342340, 341eqtr3d 2776 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = i)
343342oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · (i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
344339, 343eqtr3d 2776 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
345344mpteq2ia 5250 . . . . 5 (𝑥𝐷 ↦ ((1 / ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) · ((i · ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
346334, 345eqtrdi 2790 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))))) = (𝑥𝐷 ↦ (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
347 negicn 11506 . . . . 5 -i ∈ ℂ
348347a1i 11 . . . 4 (⊤ → -i ∈ ℂ)
34911, 26, 27, 346, 348dvmptcmul 26016 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))) = (𝑥𝐷 ↦ (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
350349mptru 1543 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))) = (𝑥𝐷 ↦ (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
351 divass 11937 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ ((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)) → ((-i · i) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
352347, 13, 351mp3an12 1450 . . . . 5 (((√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0) → ((-i · i) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
353112, 280, 352syl2anc 584 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((-i · i) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
35413, 13mulneg1i 11706 . . . . . 6 (-i · i) = -(i · i)
355301negeqi 11498 . . . . . 6 -(i · i) = --1
356 negneg1e1 12381 . . . . . 6 --1 = 1
357354, 355, 3563eqtri 2766 . . . . 5 (-i · i) = 1
358357oveq1i 7440 . . . 4 ((-i · i) / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))
359353, 358eqtr3di 2789 . . 3 (𝑥𝐷 → (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
360359mpteq2ia 5250 . 2 (𝑥𝐷 ↦ (-i · (i / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
3619, 350, 3603eqtri 2766 1 (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689  cres 5690  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153  ici 11154   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  +crp 13031  (,)cioo 13383  (,]cioc 13384  [,)cico 13385  cexp 14098  cre 15132  csqrt 15268  abscabs 15269  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21381  Clsdccld 23039   D cdv 25912  logclog 26610  arcsincasin 26919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613  df-asin 26922
This theorem is referenced by:  dvacos  37691  dvreasin  37692
  Copyright terms: Public domain W3C validator