Theorem naddass1 43341

Description: Natural addition of ordinal numbers is associative when the third element is 1. (Contributed by RP, 1-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
naddass1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = (𝐴 +no (𝐵 +no 1o)))

Proof of Theorem naddass1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddsuc2 8732	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no suc 𝐵) = suc (𝐴 +no 𝐵))
2		nadd1suc 43340	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 +no 1o) = suc 𝐵)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 +no 1o) = suc 𝐵)
4	3	oveq2d 7441	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no (𝐵 +no 1o)) = (𝐴 +no suc 𝐵))
5		naddcl 8708	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
6		nadd1suc 43340	. . 3 ⊢ ((𝐴 +no 𝐵) ∈ On → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = suc (𝐴 +no 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = suc (𝐴 +no 𝐵))
8	1, 4, 7	3eqtr4rd 2784	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = (𝐴 +no (𝐵 +no 1o)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1535   ∈ wcel 2104  Oncon0 6380  suc csuc 6382  (class class class)co 7425  1_oc1o 8492   +no cnadd 8696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-frecs 8299  df-1o 8499  df-nadd 8697

This theorem is referenced by: (None)