Theorem naddass1 43375

Description: Natural addition of ordinal numbers is associative when the third element is 1. (Contributed by RP, 1-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
naddass1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = (𝐴 +no (𝐵 +no 1o)))

Proof of Theorem naddass1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddsuc2 8667	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no suc 𝐵) = suc (𝐴 +no 𝐵))
2		nadd1suc 43374	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 +no 1o) = suc 𝐵)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 +no 1o) = suc 𝐵)
4	3	oveq2d 7405	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no (𝐵 +no 1o)) = (𝐴 +no suc 𝐵))
5		naddcl 8643	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
6		nadd1suc 43374	. . 3 ⊢ ((𝐴 +no 𝐵) ∈ On → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = suc (𝐴 +no 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = suc (𝐴 +no 𝐵))
8	1, 4, 7	3eqtr4rd 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = (𝐴 +no (𝐵 +no 1o)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Oncon0 6334  suc csuc 6336  (class class class)co 7389  1_oc1o 8429   +no cnadd 8631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-1o 8436  df-nadd 8632

This theorem is referenced by: (None)