Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  naddass1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naddass1 43384
Description: Natural addition of ordinal numbers is associative when the third element is 1. (Contributed by RP, 1-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
naddass1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = (𝐴 +no (𝐵 +no 1o)))

Proof of Theorem naddass1
StepHypRef Expression
1 naddsuc2 8735 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no suc 𝐵) = suc (𝐴 +no 𝐵))
2 nadd1suc 43383 . . . 4 (𝐵 ∈ On → (𝐵 +no 1o) = suc 𝐵)
32adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 +no 1o) = suc 𝐵)
43oveq2d 7445 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no (𝐵 +no 1o)) = (𝐴 +no suc 𝐵))
5 naddcl 8711 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐵) ∈ On)
6 nadd1suc 43383 . . 3 ((𝐴 +no 𝐵) ∈ On → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = suc (𝐴 +no 𝐵))
75, 6syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = suc (𝐴 +no 𝐵))
81, 4, 73eqtr4rd 2787 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +no 𝐵) +no 1o) = (𝐴 +no (𝐵 +no 1o)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Oncon0 6382  suc csuc 6384  (class class class)co 7429  1oc1o 8495   +no cnadd 8699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-1o 8502  df-nadd 8700
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator