Theorem naddlid 8685

Description: Ordinal zero is the additive identity for natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
naddlid	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ +no 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem naddlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6417	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		naddcom 8683	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 +no ∅) = (∅ +no 𝐴))
3	1, 2	mpan2 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = (∅ +no 𝐴))
4		naddrid 8684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)
5	3, 4	eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ +no 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∅c0 4321  Oncon0 6363  (class class class)co 7411   +no cnadd 8666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-nadd 8667

This theorem is referenced by: (None)