Theorem nmulss1 36781

Description: Natural multiplication preserves less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nmulss1	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ·no 𝐴) ⊆ (𝐶 ·no 𝐵))

Proof of Theorem nmulss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1212	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ On)
2		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
3		0elon 6417	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∅ ∈ On)
5		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
6		0ss 4353	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∅ ⊆ 𝐶)
8		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		nmuladdss 36780	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ (∅ ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) ⊆ ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)))
10	1, 2, 4, 5, 7, 8, 9	syl222anc 1413	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) ⊆ ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)))
11		nmull0 36763	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ·no 𝐵) = ∅)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∅ ·no 𝐵) = ∅)
13	12	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)))
14	1, 5	nmulcld 36760	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ On)
15		naddlid 8676	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·no 𝐴) ∈ On → (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
17	13, 16	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ·no 𝐴) = ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)))
18		nmull0 36763	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ·no 𝐴) = ∅)
19	5, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∅ ·no 𝐴) = ∅)
20	19	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)) = ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅))
21	1, 2	nmulcld 36760	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ·no 𝐵) ∈ On)
22		naddrid 8675	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·no 𝐵) ∈ On → ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅) = (𝐶 ·no 𝐵))
23	21, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅) = (𝐶 ·no 𝐵))
24	20, 23	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ·no 𝐵) = ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)))
25	10, 17, 24	3sstr4d 3989	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐶 ·no 𝐴) ⊆ (𝐶 ·no 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  Oncon0 6361  (class class class)co 7416   +no cnadd 8656   ·_no cnmul 36754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-nadd 8657  df-nmul 36755

This theorem is used by: (None)