Theorem nmulel1 37006

Description: Natural multiplication by a non-zero number preserves less-than. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nmulel1	⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ (𝐶 ·no 𝐵))

Proof of Theorem nmulel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐶 ∈ On)
2		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ On)
3		df-ne 2956	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐶 = ∅)
4		on0eqel 6488	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ On → (𝐶 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐶))
5	4	orcanai 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ ¬ 𝐶 = ∅) → ∅ ∈ 𝐶)
6	3, 5	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐶)
7	6	ad2ant2l 759	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ∅ ∈ 𝐶)
8		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9		nmuladdel 37003	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (∅ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) ∈ ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)))
10	1, 2, 7, 8, 9	syl22anc 852	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) ∈ ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)))
11		nmull0 36987	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ·no 𝐵) = ∅)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ ·no 𝐵) = ∅)
13	12	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)))
14		onelon 6387	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
15	14	ad2ant2r 760	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ On)
16	1, 15	nmulcld 36984	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ On)
17		naddlid 8694	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·no 𝐴) ∈ On → (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
19	13, 18	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
20		nmull0 36987	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ·no 𝐴) = ∅)
21	15, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ ·no 𝐴) = ∅)
22	21	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)) = ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅))
23	1, 2	nmulcld 36984	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐵) ∈ On)
24		naddrid 8693	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·no 𝐵) ∈ On → ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅) = (𝐶 ·no 𝐵))
25	23, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅) = (𝐶 ·no 𝐵))
26	22, 25	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐵))
27	10, 19, 26	3eltr3d 2874	1 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ (𝐶 ·no 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  Oncon0 6362  (class class class)co 7420   +no cnadd 8674   ·_no cnmul 36978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-nadd 8675  df-nmul 36979

This theorem is used by: (None)