Theorem nmulel1 37142

Description: Natural multiplication by a non-zero number preserves less-than. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nmulel1	⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ (𝐶 ·no 𝐵))

Proof of Theorem nmulel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐶 ∈ On)
2		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ On)
3		df-ne 2960	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐶 = ∅)
4		on0eqel 6506	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ On → (𝐶 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐶))
5	4	orcanai 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ ¬ 𝐶 = ∅) → ∅ ∈ 𝐶)
6	3, 5	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐶)
7	6	ad2ant2l 759	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ∅ ∈ 𝐶)
8		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9		nmuladdel 37139	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (∅ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) ∈ ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)))
10	1, 2, 7, 8, 9	syl22anc 852	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) ∈ ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)))
11		nmull0 37123	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ·no 𝐵) = ∅)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ ·no 𝐵) = ∅)
13	12	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)))
14		onelon 6405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
15	14	ad2ant2r 760	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ On)
16	1, 15	nmulcld 37120	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ On)
17		naddlid 8722	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·no 𝐴) ∈ On → (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
19	13, 18	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
20		nmull0 37123	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ·no 𝐴) = ∅)
21	15, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ ·no 𝐴) = ∅)
22	21	oveq2d 7459	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)) = ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅))
23	1, 2	nmulcld 37120	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐵) ∈ On)
24		naddrid 8721	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·no 𝐵) ∈ On → ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅) = (𝐶 ·no 𝐵))
25	23, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅) = (𝐶 ·no 𝐵))
26	22, 25	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐵))
27	10, 19, 26	3eltr3d 2878	1 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ (𝐶 ·no 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  Oncon0 6380  (class class class)co 7443   +no cnadd 8702   ·_no cnmul 37114

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-nadd 8703  df-nmul 37115

This theorem is used by: (None)