Theorem nmulel1 36658

Description: Natural multiplication by a non-zero number preserves less-than. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nmulel1	⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ (𝐶 ·no 𝐵))

Proof of Theorem nmulel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐶 ∈ On)
2		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ On)
3		df-ne 2957	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐶 = ∅)
4		on0eqel 6486	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ On → (𝐶 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐶))
5	4	orcanai 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ ¬ 𝐶 = ∅) → ∅ ∈ 𝐶)
6	3, 5	sylan2b 605	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐶)
7	6	ad2ant2l 758	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ∅ ∈ 𝐶)
8		simprl 782	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9		nmuladdel 36655	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (∅ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) ∈ ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)))
10	1, 2, 7, 8, 9	syl22anc 851	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) ∈ ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)))
11		nmull0 36654	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ·no 𝐵) = ∅)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ ·no 𝐵) = ∅)
13	12	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)))
14		onelon 6385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
15	14	ad2ant2r 759	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ On)
16	1, 15	nmulcld 36651	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ On)
17		naddlid 8670	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·no 𝐴) ∈ On → (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
19	13, 18	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
20		nmull0 36654	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ·no 𝐴) = ∅)
21	15, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ ·no 𝐴) = ∅)
22	21	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)) = ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅))
23	1, 2	nmulcld 36651	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐵) ∈ On)
24		naddrid 8669	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·no 𝐵) ∈ On → ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅) = (𝐶 ·no 𝐵))
25	23, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅) = (𝐶 ·no 𝐵))
26	22, 25	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐵))
27	10, 19, 26	3eltr3d 2875	1 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ (𝐶 ·no 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∅c0 4285  Oncon0 6360  (class class class)co 7410   +no cnadd 8650   ·_no cnmul 36645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-nadd 8651  df-nmul 36646

This theorem is referenced by: (None)