Theorem nmulel1 36715

Description: Natural multiplication by a non-zero number preserves less-than. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nmulel1	⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ (𝐶 ·no 𝐵))

Proof of Theorem nmulel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐶 ∈ On)
2		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ On)
3		df-ne 2958	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐶 = ∅)
4		on0eqel 6486	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ On → (𝐶 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐶))
5	4	orcanai 1017	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ ¬ 𝐶 = ∅) → ∅ ∈ 𝐶)
6	3, 5	sylan2b 605	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐶)
7	6	ad2ant2l 758	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ∅ ∈ 𝐶)
8		simprl 782	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
9		nmuladdel 36712	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (∅ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) ∈ ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)))
10	1, 2, 7, 8, 9	syl22anc 851	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) ∈ ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)))
11		nmull0 36696	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ·no 𝐵) = ∅)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ ·no 𝐵) = ∅)
13	12	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)))
14		onelon 6385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
15	14	ad2ant2r 759	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ On)
16	1, 15	nmulcld 36693	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ On)
17		naddlid 8669	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·no 𝐴) ∈ On → (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
19	13, 18	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((∅ ·no 𝐵) +no (𝐶 ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐴))
20		nmull0 36696	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ·no 𝐴) = ∅)
21	15, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (∅ ·no 𝐴) = ∅)
22	21	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)) = ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅))
23	1, 2	nmulcld 36693	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐵) ∈ On)
24		naddrid 8668	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ·no 𝐵) ∈ On → ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅) = (𝐶 ·no 𝐵))
25	23, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no ∅) = (𝐶 ·no 𝐵))
26	22, 25	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → ((𝐶 ·no 𝐵) +no (∅ ·no 𝐴)) = (𝐶 ·no 𝐵))
27	10, 19, 26	3eltr3d 2876	1 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ ∅)) → (𝐶 ·no 𝐴) ∈ (𝐶 ·no 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285  Oncon0 6360  (class class class)co 7412   +no cnadd 8649   ·_no cnmul 36687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-nadd 8650  df-nmul 36688

This theorem is used by: (None)