Theorem naddword1 8680

Description: Weak-ordering principle for natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
naddword1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +no 𝐵))

Proof of Theorem naddword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddrid 8672	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)
3		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
4		0elon 6413	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
5		naddss2 8679	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +no ∅) ⊆ (𝐴 +no 𝐵)))
6	4, 5	mp3an1 1477	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +no ∅) ⊆ (𝐴 +no 𝐵)))
7	6	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +no ∅) ⊆ (𝐴 +no 𝐵)))
8	3, 7	mpbii 236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +no ∅) ⊆ (𝐴 +no 𝐵))
9	2, 8	eqsstrrd 3966	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +no 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  Oncon0 6357  (class class class)co 7413   +no cnadd 8653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-nadd 8654

This theorem is used by:  naddword2  8681  addsproplem2  28235  nmulprop  36770