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Theorem cdleme22cN 37518
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 5th line on p. 115. Show that t v =/= p q and s p q implies ¬ v p q. (Contributed by NM, 3-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l = (le‘𝐾)
cdleme22.j = (join‘𝐾)
cdleme22.m = (meet‘𝐾)
cdleme22.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme22cN ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem cdleme22cN
StepHypRef Expression
1 simp11l 1281 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 36540 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp12l 1283 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
4 simp13 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
5 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 cdleme22.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
7 cdleme22.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
85, 6, 7hlatjcl 36543 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
91, 3, 4, 8syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
10 simp11r 1282 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
11 cdleme22.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
125, 11lhpbase 37174 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1310, 12syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
14 cdleme22.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
15 cdleme22.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
165, 14, 15latmle2 17665 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
172, 9, 13, 16syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
18 simp21r 1288 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑆 𝑊)
19 nbrne2 5059 . . 3 ((((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆)
2017, 18, 19syl2anc 587 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆)
21 simp32l 1295 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 (𝑇 𝑉))
2221adantr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑇 𝑉))
231adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
2410adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑊𝐻)
25 simpl12 1246 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
26 simpl13 1247 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑄𝐴)
27 simp31l 1293 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
2827adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝑄)
29 simp23l 1291 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑉𝐴)
3029adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉𝐴)
31 simp23r 1292 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑉 𝑊)
3231adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 𝑊)
33 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 (𝑃 𝑄))
34 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 𝑄) 𝑊) = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
3514, 6, 15, 7, 11, 34cdleme22aa 37515 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3623, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 33, 35syl233anc 1396 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3736oveq2d 7146 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑇 𝑉) = (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
3822, 37breqtrd 5065 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
39 simp32r 1296 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 (𝑃 𝑄))
4039adantr 484 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑃 𝑄))
41 simp21l 1287 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
425, 7atbase 36465 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
44 simp22 1204 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑇𝐴)
45 simp12r 1284 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑃 𝑊)
4614, 6, 15, 7, 11lhpat 37219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
471, 10, 3, 45, 4, 27, 46syl222anc 1383 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
485, 6, 7hlatjcl 36543 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
491, 44, 47, 48syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
505, 14, 15latlem12 17666 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
512, 43, 49, 9, 50syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
5251adantr 484 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
5338, 40, 52mpbi2and 711 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
54 simp31r 1294 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝑇)
5541, 44, 543jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇))
56 simp33 1208 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))
5756, 21, 393jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)))
5814, 6, 15, 7, 11cdleme22b 37517 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴 ∧ ((𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)))) → ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))
591, 55, 3, 4, 27, 29, 57, 58syl232anc 1394 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))
60 hlatl 36536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
611, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ AtLat)
62 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
635, 14, 15, 62, 7atnle 36493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
6461, 44, 9, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
6559, 64mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾))
6665oveq1d 7145 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
675, 7atbase 36465 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
6844, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
695, 14, 15latmle1 17664 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄))
702, 9, 13, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄))
715, 14, 6, 15, 7atmod4i1 37042 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄)) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
721, 47, 68, 9, 70, 71syl131anc 1380 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
73 hlol 36537 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
741, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ OL)
755, 15latmcl 17640 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
762, 9, 13, 75syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
775, 6, 62olj02 36402 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
7874, 76, 77syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
7966, 72, 783eqtr3d 2864 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8079adantr 484 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8153, 80breqtrd 5065 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8214, 7atcmp 36487 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8361, 41, 47, 82syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8483adantr 484 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8581, 84mpbid 235 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8685eqcomd 2827 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) = 𝑆)
8786ex 416 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑉 (𝑃 𝑄) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) = 𝑆))
8887necon3ad 3020 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆 → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄)))
8920, 88mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16461  lecple 16550  joincjn 17532  meetcmee 17533  0.cp0 17625  Latclat 17633  OLcol 36350  Atomscatm 36439  AtLatcal 36440  HLchlt 36526  LHypclh 37160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-p1 17628  df-lat 17634  df-clat 17696  df-oposet 36352  df-ol 36354  df-oml 36355  df-covers 36442  df-ats 36443  df-atl 36474  df-cvlat 36498  df-hlat 36527  df-llines 36674  df-psubsp 36679  df-pmap 36680  df-padd 36972  df-lhyp 37164
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