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Theorem cdleme22cN 38364
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 5th line on p. 115. Show that t v =/= p q and s p q implies ¬ v p q. (Contributed by NM, 3-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l = (le‘𝐾)
cdleme22.j = (join‘𝐾)
cdleme22.m = (meet‘𝐾)
cdleme22.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme22cN ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem cdleme22cN
StepHypRef Expression
1 simp11l 1283 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37386 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp12l 1285 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
4 simp13 1204 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
5 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 cdleme22.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
7 cdleme22.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
85, 6, 7hlatjcl 37389 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
91, 3, 4, 8syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
10 simp11r 1284 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
11 cdleme22.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
125, 11lhpbase 38020 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1310, 12syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
14 cdleme22.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
15 cdleme22.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
165, 14, 15latmle2 18193 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
172, 9, 13, 16syl3anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
18 simp21r 1290 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑆 𝑊)
19 nbrne2 5093 . . 3 ((((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆)
2017, 18, 19syl2anc 584 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆)
21 simp32l 1297 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 (𝑇 𝑉))
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑇 𝑉))
231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
2410adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑊𝐻)
25 simpl12 1248 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
26 simpl13 1249 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑄𝐴)
27 simp31l 1295 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝑄)
29 simp23l 1293 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑉𝐴)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉𝐴)
31 simp23r 1294 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑉 𝑊)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 𝑊)
33 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 (𝑃 𝑄))
34 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 𝑄) 𝑊) = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
3514, 6, 15, 7, 11, 34cdleme22aa 38361 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊𝑉 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3623, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 33, 35syl233anc 1398 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3736oveq2d 7283 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑇 𝑉) = (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
3822, 37breqtrd 5099 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
39 simp32r 1298 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 (𝑃 𝑄))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 (𝑃 𝑄))
41 simp21l 1289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
425, 7atbase 37311 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
44 simp22 1206 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑇𝐴)
45 simp12r 1286 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑃 𝑊)
4614, 6, 15, 7, 11lhpat 38065 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
471, 10, 3, 45, 4, 27, 46syl222anc 1385 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴)
485, 6, 7hlatjcl 37389 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
491, 44, 47, 48syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
505, 14, 15latlem12 18194 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
512, 43, 49, 9, 50syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
5251adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑆 (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄))))
5338, 40, 52mpbi2and 709 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
54 simp31r 1296 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝑇)
5541, 44, 543jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇))
56 simp33 1210 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))
5756, 21, 393jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)))
5814, 6, 15, 7, 11cdleme22b 38363 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑉𝐴 ∧ ((𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)))) → ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))
591, 55, 3, 4, 27, 29, 57, 58syl232anc 1396 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))
60 hlatl 37382 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
611, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ AtLat)
62 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
635, 14, 15, 62, 7atnle 37339 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
6461, 44, 9, 63syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾)))
6559, 64mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑇 (𝑃 𝑄)) = (0.‘𝐾))
6665oveq1d 7282 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
675, 7atbase 37311 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
6844, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
695, 14, 15latmle1 18192 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄))
702, 9, 13, 69syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄))
715, 14, 6, 15, 7atmod4i1 37888 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) (𝑃 𝑄)) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
721, 47, 68, 9, 70, 71syl131anc 1382 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 (𝑃 𝑄)) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)))
73 hlol 37383 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
741, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ OL)
755, 15latmcl 18168 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
762, 9, 13, 75syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
775, 6, 62olj02 37248 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
7874, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((0.‘𝐾) ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
7966, 72, 783eqtr3d 2786 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8079adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) (𝑃 𝑄)) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8153, 80breqtrd 5099 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8214, 7atcmp 37333 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑆𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8361, 41, 47, 82syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8483adantr 481 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ↔ 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
8581, 84mpbid 231 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → 𝑆 = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8685eqcomd 2744 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑉 (𝑃 𝑄)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) = 𝑆)
8786ex 413 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑉 (𝑃 𝑄) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) = 𝑆))
8887necon3ad 2956 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → (((𝑃 𝑄) 𝑊) ≠ 𝑆 → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄)))
8920, 88mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (𝑆 (𝑇 𝑉) ∧ 𝑆 (𝑃 𝑄)) ∧ (𝑇 𝑉) ≠ (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5073  cfv 6426  (class class class)co 7267  Basecbs 16922  lecple 16979  joincjn 18039  meetcmee 18040  0.cp0 18151  Latclat 18159  OLcol 37196  Atomscatm 37285  AtLatcal 37286  HLchlt 37372  LHypclh 38006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-proset 18023  df-poset 18041  df-plt 18058  df-lub 18074  df-glb 18075  df-join 18076  df-meet 18077  df-p0 18153  df-p1 18154  df-lat 18160  df-clat 18227  df-oposet 37198  df-ol 37200  df-oml 37201  df-covers 37288  df-ats 37289  df-atl 37320  df-cvlat 37344  df-hlat 37373  df-llines 37520  df-psubsp 37525  df-pmap 37526  df-padd 37818  df-lhyp 38010
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