Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp33 1208 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
2 | | simp11l 1281 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
3 | | simp2ll 1237 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
4 | | simp2rl 1239 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
5 | | simp11 1200 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
6 | | simp12 1201 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
7 | | simp13 1202 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
8 | | simp31 1206 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
9 | | cdleme4.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdleme4.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdleme4.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
12 | | cdleme4.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | cdleme4.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdleme4.u |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
15 | 9, 10, 11, 12, 13, 14 | lhpat2 39429 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
16 | 5, 6, 7, 8, 15 | syl112anc 1371 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
17 | 2 | hllatd 38747 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
18 | | simp12l 1283 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
19 | | eqid 2726 |
. . . . . . . . 9
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
20 | 19, 10, 12 | hlatjcl 38750 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | 2, 18, 7, 20 | syl3anc 1368 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | | simp11r 1282 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
23 | 19, 13 | lhpbase 39382 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 19, 9, 11 | latmle2 18430 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
26 | 17, 21, 24, 25 | syl3anc 1368 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
27 | 14, 26 | eqbrtrid 5176 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β€ π) |
28 | | simp2lr 1238 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ π) |
29 | | nbrne2 5161 |
. . . . . 6
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π
β€ π) β π β π
) |
30 | 29 | necomd 2990 |
. . . . 5
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π
β€ π) β π
β π) |
31 | 27, 28, 30 | syl2anc 583 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β π) |
32 | 9, 10, 12 | hlatexch1 38779 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π
β π) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
33 | 2, 3, 4, 16, 31, 32 | syl131anc 1380 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
34 | | simp2l 1196 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
35 | | simp32 1207 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
36 | 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdleme4 39622 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) = (π
β¨ π)) |
37 | 5, 18, 7, 34, 35, 36 | syl131anc 1380 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π
β¨ π)) |
38 | 10, 12 | hlatjcom 38751 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
39 | 2, 3, 16, 38 | syl3anc 1368 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
40 | 37, 39 | eqtrd 2766 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π
)) |
41 | 40 | breq2d 5153 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
42 | 33, 41 | sylibrd 259 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
43 | 1, 42 | mtod 197 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |