Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme0ex2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme0ex2N 39399
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Note that (𝑃 ∨ 𝑒) = (𝑄 ∨ 𝑒) is a shorter way to express 𝑒 β‰  𝑃 ∧ 𝑒 β‰  𝑄 ∧ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 9-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme0.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme0.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleme0ex2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 ((𝑃 ∨ 𝑒) = (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐴   𝑒, ∨   𝑒, ≀   𝑒,𝑃   𝑒,𝑄   𝑒,π‘ˆ   𝑒,π‘Š   𝑒,𝐻   𝑒,𝐾
Allowed substitution hint:   ∧ (𝑒)

Proof of Theorem cdleme0ex2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simp2rl 1241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4 simp3 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
5 cdleme0.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdleme0.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cdleme0.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
8 cdleme0.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdleme0.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdleme0.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
115, 6, 7, 8, 9, 10cdleme0ex1N 39398 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š))
121, 2, 3, 4, 11syl121anc 1374 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š))
13 simp11l 1283 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 hlcvl 38533 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
16 simp2ll 1239 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
17163ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
1833ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
19 simp2 1136 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
20 simp13 1204 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
218, 5, 6cvlsupr2 38517 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑒) = (𝑄 ∨ 𝑒) ↔ (𝑒 β‰  𝑃 ∧ 𝑒 β‰  𝑄 ∧ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))))
2215, 17, 18, 19, 20, 21syl131anc 1382 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑒) = (𝑄 ∨ 𝑒) ↔ (𝑒 β‰  𝑃 ∧ 𝑒 β‰  𝑄 ∧ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))))
23 df-3an 1088 . . . . . . 7 ((𝑒 β‰  𝑃 ∧ 𝑒 β‰  𝑄 ∧ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ ((𝑒 β‰  𝑃 ∧ 𝑒 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
24 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝑒 ≀ π‘Š)
25 simp2lr 1240 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
26253ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
27 nbrne2 5169 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) β†’ 𝑒 β‰  𝑃)
2824, 26, 27syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝑒 β‰  𝑃)
29 simp2rr 1242 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)
30293ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)
31 nbrne2 5169 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑒 β‰  𝑄)
3224, 30, 31syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ 𝑒 β‰  𝑄)
3328, 32jca 511 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (𝑒 β‰  𝑃 ∧ 𝑒 β‰  𝑄))
3433biantrurd 532 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ((𝑒 β‰  𝑃 ∧ 𝑒 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))))
3523, 34bitr4id 289 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ ((𝑒 β‰  𝑃 ∧ 𝑒 β‰  𝑄 ∧ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
3622, 35bitrd 278 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑒) = (𝑄 ∨ 𝑒) ↔ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
37363expia 1120 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ (𝑒 ≀ π‘Š β†’ ((𝑃 ∨ 𝑒) = (𝑄 ∨ 𝑒) ↔ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))))
3837pm5.32rd 577 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑒) = (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) ↔ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š)))
3938rexbidva 3175 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 ((𝑃 ∨ 𝑒) = (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š)))
4012, 39mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 ((𝑃 ∨ 𝑒) = (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ 𝑒 ≀ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  Atomscatm 38437  CvLatclc 38439  HLchlt 38524  LHypclh 39159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-lhyp 39163
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator