Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme0ex2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme0ex2N 38898
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Note that (𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) is a shorter way to express 𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄). (Contributed by NM, 9-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme0.l = (le‘𝐾)
cdleme0.j = (join‘𝐾)
cdleme0.m = (meet‘𝐾)
cdleme0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme0.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme0ex2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,   𝑢,   𝑢,𝑃   𝑢,𝑄   𝑢,𝑈   𝑢,𝑊   𝑢,𝐻   𝑢,𝐾
Allowed substitution hint:   (𝑢)

Proof of Theorem cdleme0ex2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp2rl 1242 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄𝐴)
4 simp3 1138 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝑄)
5 cdleme0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 cdleme0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
7 cdleme0.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
8 cdleme0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdleme0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdleme0.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
115, 6, 7, 8, 9, 10cdleme0ex1N 38897 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊))
121, 2, 3, 4, 11syl121anc 1375 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊))
13 simp11l 1284 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
14 hlcvl 38032 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝐾 ∈ CvLat)
16 simp2ll 1240 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝐴)
17163ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑃𝐴)
1833ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑄𝐴)
19 simp2 1137 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢𝐴)
20 simp13 1205 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑃𝑄)
218, 5, 6cvlsupr2 38016 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑢𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ (𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄))))
2215, 17, 18, 19, 20, 21syl131anc 1383 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ (𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄))))
23 df-3an 1089 . . . . . . 7 ((𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄)) ↔ ((𝑢𝑃𝑢𝑄) ∧ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
24 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢 𝑊)
25 simp2lr 1241 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑃 𝑊)
26253ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ¬ 𝑃 𝑊)
27 nbrne2 5161 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑢𝑃)
2824, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢𝑃)
29 simp2rr 1243 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑄 𝑊)
30293ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ¬ 𝑄 𝑊)
31 nbrne2 5161 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 𝑊 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) → 𝑢𝑄)
3224, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → 𝑢𝑄)
3328, 32jca 512 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → (𝑢𝑃𝑢𝑄))
3433biantrurd 533 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → (𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ ((𝑢𝑃𝑢𝑄) ∧ 𝑢 (𝑃 𝑄))))
3523, 34bitr4id 289 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ((𝑢𝑃𝑢𝑄𝑢 (𝑃 𝑄)) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
3622, 35bitrd 278 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴𝑢 𝑊) → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
37363expia 1121 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴) → (𝑢 𝑊 → ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄))))
3837pm5.32rd 578 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑢𝐴) → (((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊) ↔ (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊)))
3938rexbidva 3175 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (∃𝑢𝐴 ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊) ↔ ∃𝑢𝐴 (𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑢 𝑊)))
4012, 39mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑢𝐴 ((𝑃 𝑢) = (𝑄 𝑢) ∧ 𝑢 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wrex 3069   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  lecple 17186  joincjn 18246  meetcmee 18247  Atomscatm 37936  CvLatclc 37938  HLchlt 38023  LHypclh 38658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37849  df-ol 37851  df-oml 37852  df-covers 37939  df-ats 37940  df-atl 37971  df-cvlat 37995  df-hlat 38024  df-lhyp 38662
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator