Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1135 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp2l 1198 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp2rl 1241 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β π β π΄) |
4 | | simp3 1137 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β π β π) |
5 | | cdleme0.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdleme0.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | cdleme0.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
8 | | cdleme0.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | | cdleme0.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | | cdleme0.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
11 | 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdleme0ex1N 39398 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β βπ’ β π΄ (π’ β€ (π β¨ π) β§ π’ β€ π)) |
12 | 1, 2, 3, 4, 11 | syl121anc 1374 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β βπ’ β π΄ (π’ β€ (π β¨ π) β§ π’ β€ π)) |
13 | | simp11l 1283 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β πΎ β HL) |
14 | | hlcvl 38533 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ β HL β πΎ β CvLat) |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β πΎ β CvLat) |
16 | | simp2ll 1239 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β π β π΄) |
17 | 16 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β π β π΄) |
18 | 3 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β π β π΄) |
19 | | simp2 1136 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β π’ β π΄) |
20 | | simp13 1204 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β π β π) |
21 | 8, 5, 6 | cvlsupr2 38517 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π’ β π΄) β§ π β π) β ((π β¨ π’) = (π β¨ π’) β (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β€ (π β¨ π)))) |
22 | 15, 17, 18, 19, 20, 21 | syl131anc 1382 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β ((π β¨ π’) = (π β¨ π’) β (π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β€ (π β¨ π)))) |
23 | | df-3an 1088 |
. . . . . . 7
β’ ((π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β€ (π β¨ π)) β ((π’ β π β§ π’ β π) β§ π’ β€ (π β¨ π))) |
24 | | simp3 1137 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β π’ β€ π) |
25 | | simp2lr 1240 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β Β¬ π β€ π) |
26 | 25 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β Β¬ π β€ π) |
27 | | nbrne2 5169 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π’ β€ π β§ Β¬ π β€ π) β π’ β π) |
28 | 24, 26, 27 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β π’ β π) |
29 | | simp2rr 1242 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β Β¬ π β€ π) |
30 | 29 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β Β¬ π β€ π) |
31 | | nbrne2 5169 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π’ β€ π β§ Β¬ π β€ π) β π’ β π) |
32 | 24, 30, 31 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β π’ β π) |
33 | 28, 32 | jca 511 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β (π’ β π β§ π’ β π)) |
34 | 33 | biantrurd 532 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β (π’ β€ (π β¨ π) β ((π’ β π β§ π’ β π) β§ π’ β€ (π β¨ π)))) |
35 | 23, 34 | bitr4id 289 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β ((π’ β π β§ π’ β π β§ π’ β€ (π β¨ π)) β π’ β€ (π β¨ π))) |
36 | 22, 35 | bitrd 278 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄ β§ π’ β€ π) β ((π β¨ π’) = (π β¨ π’) β π’ β€ (π β¨ π))) |
37 | 36 | 3expia 1120 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄) β (π’ β€ π β ((π β¨ π’) = (π β¨ π’) β π’ β€ (π β¨ π)))) |
38 | 37 | pm5.32rd 577 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β§ π’ β π΄) β (((π β¨ π’) = (π β¨ π’) β§ π’ β€ π) β (π’ β€ (π β¨ π) β§ π’ β€ π))) |
39 | 38 | rexbidva 3175 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β (βπ’ β π΄ ((π β¨ π’) = (π β¨ π’) β§ π’ β€ π) β βπ’ β π΄ (π’ β€ (π β¨ π) β§ π’ β€ π))) |
40 | 12, 39 | mpbird 256 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β βπ’ β π΄ ((π β¨ π’) = (π β¨ π’) β§ π’ β€ π)) |