Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemc5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemc5 38661
Description: Lemma for cdlemc 38663. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemc3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemc3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemc3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemc3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemc3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemc3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemc3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemc5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))))

Proof of Theorem cdlemc5
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp23l 1295 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3 simp1 1137 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp21 1207 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 cdlemc3.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemc3.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemc3.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemc3.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8ltrnat 38606 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
103, 4, 2, 9syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
11 cdlemc3.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
125, 11, 6hlatlej2 37841 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
131, 2, 10, 12syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
14 simp23 1209 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
15 cdlemc3.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
165, 11, 6, 7, 8, 15trljat1 38632 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
173, 4, 14, 16syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
1813, 17breqtrrd 5134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
19 simp22 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
20 cdlemc3.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
215, 11, 20, 6, 7, 8cdlemc2 38658 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))
223, 4, 19, 14, 21syl112anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))
231hllatd 37829 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2524, 6atbase 37754 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
262, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2724, 7, 8ltrncl 38591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
283, 4, 26, 27syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2924, 7, 8, 15trlcl 38630 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
303, 4, 29syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3124, 11latjcl 18329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3223, 26, 30, 31syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
33 simp22l 1293 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3424, 6atbase 37754 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3624, 7, 8ltrncl 38591 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
373, 4, 35, 36syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3824, 11, 6hlatjcl 37832 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
391, 33, 2, 38syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
40 simp1r 1199 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
4124, 7lhpbase 38464 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4324, 20latmcl 18330 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4423, 39, 42, 43syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4524, 11latjcl 18329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4623, 37, 44, 45syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4724, 5, 20latlem12 18356 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ↔ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))))
4823, 28, 32, 46, 47syl13anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ↔ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))))
4918, 22, 48mpbi2and 711 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))))
50 hlatl 37825 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
511, 50syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
52 simp3r 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
535, 6, 7, 8, 15trlat 38635 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
543, 19, 4, 52, 53syl112anc 1375 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
555, 7, 8, 15trlle 38650 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
563, 4, 55syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
57 simp23r 1296 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)
58 nbrne2 5126 . . . . . . 7 (((π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑄)
5958necomd 3000 . . . . . 6 (((π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
6056, 57, 59syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑄 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
61 eqid 2737 . . . . . 6 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
6211, 6, 61llni2 37978 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 β‰  (π‘…β€˜πΉ)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
631, 2, 54, 60, 62syl31anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
645, 6, 7, 8ltrnat 38606 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
653, 4, 33, 64syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
665, 11, 6hlatlej1 37840 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
671, 33, 65, 66syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
68 simp3l 1202 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
69 nbrne2 5126 . . . . . . 7 ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
7067, 68, 69syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
715, 11, 20, 6, 7lhpat 38509 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
723, 19, 2, 70, 71syl112anc 1375 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
7324, 5, 20latmle2 18355 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
7423, 39, 42, 73syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
755, 6, 7, 8ltrnel 38605 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
7675simprd 497 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)
773, 4, 19, 76syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)
78 nbrne2 5126 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
7978necomd 3000 . . . . . 6 ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))
8074, 77, 79syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))
8111, 6, 61llni2 37978 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
821, 65, 72, 80, 81syl31anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
835, 11, 20, 6, 7, 8, 15cdlemc4 38660 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))
84833adant3r 1182 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))
8524, 20latmcl 18330 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8623, 32, 46, 85syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
87 eqid 2737 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
8824, 5, 87, 6atlen0 37775 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) β‰  (0.β€˜πΎ))
8951, 86, 10, 49, 88syl31anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) β‰  (0.β€˜πΎ))
9020, 87, 6, 612llnmat 37990 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∧ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) β‰  (0.β€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ 𝐴)
911, 63, 82, 84, 89, 90syl32anc 1379 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ 𝐴)
925, 6atcmp 37776 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ↔ (πΉβ€˜π‘„) = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))))
9351, 10, 91, 92syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ↔ (πΉβ€˜π‘„) = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))))
9449, 93mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  meetcmee 18202  0.cp0 18313  Latclat 18321  Atomscatm 37728  AtLatcal 37729  HLchlt 37815  LLinesclln 37957  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  cdlemc  38663
  Copyright terms: Public domain W3C validator