Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemc5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemc5 39578
Description: Lemma for cdlemc 39580. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemc3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemc3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemc3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemc3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemc3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemc3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemc3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemc5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))))
Proof of Theorem cdlemc5
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp23l 1291 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3 simp1 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp21 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 cdlemc3.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemc3.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemc3.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemc3.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8ltrnat 39523 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
103, 4, 2, 9syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
11 cdlemc3.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
125, 11, 6hlatlej2 38758 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
131, 2, 10, 12syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
14 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
15 cdlemc3.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
165, 11, 6, 7, 8, 15trljat1 39549 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
173, 4, 14, 16syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
1813, 17breqtrrd 5169 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
19 simp22 1204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
20 cdlemc3.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
215, 11, 20, 6, 7, 8cdlemc2 39575 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))
223, 4, 19, 14, 21syl112anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))
231hllatd 38746 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
24 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2524, 6atbase 38671 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
262, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2724, 7, 8ltrncl 39508 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
283, 4, 26, 27syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2924, 7, 8, 15trlcl 39547 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
303, 4, 29syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3124, 11latjcl 18401 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3223, 26, 30, 31syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
33 simp22l 1289 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3424, 6atbase 38671 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3624, 7, 8ltrncl 39508 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
373, 4, 35, 36syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3824, 11, 6hlatjcl 38749 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
391, 33, 2, 38syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
40 simp1r 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
4124, 7lhpbase 39381 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4324, 20latmcl 18402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4423, 39, 42, 43syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4524, 11latjcl 18401 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4623, 37, 44, 45syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4724, 5, 20latlem12 18428 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ↔ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))))
4823, 28, 32, 46, 47syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ↔ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))))
4918, 22, 48mpbi2and 709 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))))
50 hlatl 38742 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
511, 50syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
52 simp3r 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
535, 6, 7, 8, 15trlat 39552 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
543, 19, 4, 52, 53syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
555, 7, 8, 15trlle 39567 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
563, 4, 55syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
57 simp23r 1292 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)
58 nbrne2 5161 . . . . . . 7 (((π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑄)
5958necomd 2990 . . . . . 6 (((π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
6056, 57, 59syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑄 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
61 eqid 2726 . . . . . 6 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
6211, 6, 61llni2 38895 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 β‰  (π‘…β€˜πΉ)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
631, 2, 54, 60, 62syl31anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
645, 6, 7, 8ltrnat 39523 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
653, 4, 33, 64syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
665, 11, 6hlatlej1 38757 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
671, 33, 65, 66syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
68 simp3l 1198 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
69 nbrne2 5161 . . . . . . 7 ((𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
7067, 68, 69syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
715, 11, 20, 6, 7lhpat 39426 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
723, 19, 2, 70, 71syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴)
7324, 5, 20latmle2 18427 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
7423, 39, 42, 73syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
755, 6, 7, 8ltrnel 39522 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
7675simprd 495 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)
773, 4, 19, 76syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)
78 nbrne2 5161 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
7978necomd 2990 . . . . . 6 ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))
8074, 77, 79syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))
8111, 6, 61llni2 38895 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
821, 65, 72, 80, 81syl31anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
835, 11, 20, 6, 7, 8, 15cdlemc4 39577 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))
84833adant3r 1178 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))
8524, 20latmcl 18402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8623, 32, 46, 85syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
87 eqid 2726 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
8824, 5, 87, 6atlen0 38692 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) β‰  (0.β€˜πΎ))
8951, 86, 10, 49, 88syl31anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) β‰  (0.β€˜πΎ))
9020, 87, 6, 612llnmat 38907 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∈ (LLinesβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β‰  ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) ∧ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) β‰  (0.β€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ 𝐴)
911, 63, 82, 84, 89, 90syl32anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ 𝐴)
925, 6atcmp 38693 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ↔ (πΉβ€˜π‘„) = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))))
9351, 10, 91, 92syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ≀ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) ↔ (πΉβ€˜π‘„) = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)))))
9449, 93mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  meetcmee 18274  0.cp0 18385  Latclat 18393  Atomscatm 38645  AtLatcal 38646  HLchlt 38732  LLinesclln 38874  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484  trLctrl 39541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8821  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542
This theorem is referenced by:  cdlemc  39580
  Copyright terms: Public domain W3C validator