Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β πΎ β HL) |
2 | | simp23l 1295 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β π β π΄) |
3 | | simp1 1137 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β πΉ β π) |
5 | | cdlemc3.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemc3.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | cdlemc3.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemc3.t |
. . . . . . 7
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | 5, 6, 7, 8 | ltrnat 38606 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π΄) β (πΉβπ) β π΄) |
10 | 3, 4, 2, 9 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β π΄) |
11 | | cdlemc3.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | 5, 11, 6 | hlatlej2 37841 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄) β (πΉβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
13 | 1, 2, 10, 12 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
14 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
15 | | cdlemc3.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
16 | 5, 11, 6, 7, 8, 15 | trljat1 38632 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
17 | 3, 4, 14, 16 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (πΉβπ))) |
18 | 13, 17 | breqtrrd 5134 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |
19 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
20 | | cdlemc3.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
21 | 5, 11, 20, 6, 7, 8 | cdlemc2 38658 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
22 | 3, 4, 19, 14, 21 | syl112anc 1375 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
23 | 1 | hllatd 37829 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β πΎ β Lat) |
24 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
25 | 24, 6 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 2, 25 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β π β (BaseβπΎ)) |
27 | 24, 7, 8 | ltrncl 38591 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β (BaseβπΎ)) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
28 | 3, 4, 26, 27 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
29 | 24, 7, 8, 15 | trlcl 38630 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
30 | 3, 4, 29 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
31 | 24, 11 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (BaseβπΎ)) |
32 | 23, 26, 30, 31 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (BaseβπΎ)) |
33 | | simp22l 1293 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β π β π΄) |
34 | 24, 6 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
35 | 33, 34 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β π β (BaseβπΎ)) |
36 | 24, 7, 8 | ltrncl 38591 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β (BaseβπΎ)) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
37 | 3, 4, 35, 36 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
38 | 24, 11, 6 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
39 | 1, 33, 2, 38 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
40 | | simp1r 1199 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β π β π») |
41 | 24, 7 | lhpbase 38464 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
42 | 40, 41 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β π β (BaseβπΎ)) |
43 | 24, 20 | latmcl 18330 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
44 | 23, 39, 42, 43 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
45 | 24, 11 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΉβπ) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) β ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
46 | 23, 37, 44, 45 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
47 | 24, 5, 20 | latlem12 18356 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ ((πΉβπ) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ (π
βπΉ)) β (BaseβπΎ) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ))) β (((πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β§ (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β (πΉβπ) β€ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))))) |
48 | 23, 28, 32, 46, 47 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (((πΉβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β§ (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β (πΉβπ) β€ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))))) |
49 | 18, 22, 48 | mpbi2and 711 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β€ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
50 | | hlatl 37825 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
51 | 1, 50 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β πΎ β AtLat) |
52 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β π) |
53 | 5, 6, 7, 8, 15 | trlat 38635 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
54 | 3, 19, 4, 52, 53 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
55 | 5, 7, 8, 15 | trlle 38650 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β€ π) |
56 | 3, 4, 55 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β€ π) |
57 | | simp23r 1296 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β Β¬ π β€ π) |
58 | | nbrne2 5126 |
. . . . . . 7
β’ (((π
βπΉ) β€ π β§ Β¬ π β€ π) β (π
βπΉ) β π) |
59 | 58 | necomd 3000 |
. . . . . 6
β’ (((π
βπΉ) β€ π β§ Β¬ π β€ π) β π β (π
βπΉ)) |
60 | 56, 57, 59 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β π β (π
βπΉ)) |
61 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(LLinesβπΎ) =
(LLinesβπΎ) |
62 | 11, 6, 61 | llni2 37978 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (π
βπΉ) β π΄) β§ π β (π
βπΉ)) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (LLinesβπΎ)) |
63 | 1, 2, 54, 60, 62 | syl31anc 1374 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (LLinesβπΎ)) |
64 | 5, 6, 7, 8 | ltrnat 38606 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π΄) β (πΉβπ) β π΄) |
65 | 3, 4, 33, 64 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β π΄) |
66 | 5, 11, 6 | hlatlej1 37840 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πΉβπ) β π΄) β π β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
67 | 1, 33, 65, 66 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β π β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
68 | | simp3l 1202 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ))) |
69 | | nbrne2 5126 |
. . . . . . 7
β’ ((π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ))) β π β π) |
70 | 67, 68, 69 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β π β π) |
71 | 5, 11, 20, 6, 7 | lhpat 38509 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |
72 | 3, 19, 2, 70, 71 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β ((π β¨ π) β§ π) β π΄) |
73 | 24, 5, 20 | latmle2 18355 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
74 | 23, 39, 42, 73 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
75 | 5, 6, 7, 8 | ltrnel 38605 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
76 | 75 | simprd 497 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β Β¬ (πΉβπ) β€ π) |
77 | 3, 4, 19, 76 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β Β¬ (πΉβπ) β€ π) |
78 | | nbrne2 5126 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β¨ π) β§ π) β€ π β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π) β ((π β¨ π) β§ π) β (πΉβπ)) |
79 | 78 | necomd 3000 |
. . . . . 6
β’ ((((π β¨ π) β§ π) β€ π β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π) β (πΉβπ) β ((π β¨ π) β§ π)) |
80 | 74, 77, 79 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β ((π β¨ π) β§ π)) |
81 | 11, 6, 61 | llni2 37978 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ (πΉβπ) β π΄ β§ ((π β¨ π) β§ π) β π΄) β§ (πΉβπ) β ((π β¨ π) β§ π)) β ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (LLinesβπΎ)) |
82 | 1, 65, 72, 80, 81 | syl31anc 1374 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (LLinesβπΎ)) |
83 | 5, 11, 20, 6, 7, 8,
15 | cdlemc4 38660 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ))) β (π β¨ (π
βπΉ)) β ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
84 | 83 | 3adant3r 1182 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β¨ (π
βπΉ)) β ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
85 | 24, 20 | latmcl 18330 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ (π
βπΉ)) β (BaseβπΎ) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β (BaseβπΎ)) |
86 | 23, 32, 46, 85 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β (BaseβπΎ)) |
87 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
88 | 24, 5, 87, 6 | atlen0 37775 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β AtLat β§ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β (BaseβπΎ) β§ (πΉβπ) β π΄) β§ (πΉβπ) β€ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) β ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β (0.βπΎ)) |
89 | 51, 86, 10, 49, 88 | syl31anc 1374 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β (0.βπΎ)) |
90 | 20, 87, 6, 61 | 2llnmat 37990 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β¨ (π
βπΉ)) β (LLinesβπΎ) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (LLinesβπΎ)) β§ ((π β¨ (π
βπΉ)) β ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β§ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β (0.βπΎ))) β ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β π΄) |
91 | 1, 63, 82, 84, 89, 90 | syl32anc 1379 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β π΄) |
92 | 5, 6 | atcmp 37776 |
. . 3
β’ ((πΎ β AtLat β§ (πΉβπ) β π΄ β§ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β π΄) β ((πΉβπ) β€ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β (πΉβπ) = ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))))) |
93 | 51, 10, 91, 92 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β ((πΉβπ) β€ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β (πΉβπ) = ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π))))) |
94 | 49, 93 | mpbid 231 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ (πΉβπ)) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) = ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |