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Theorem cdleme22f2 36235
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. cdleme22f 36234 with s and t swapped (this case is not mentioned by them). If s t v, then f(s) fs(t) v. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme22.l = (le‘𝐾)
cdleme22.j = (join‘𝐾)
cdleme22.m = (meet‘𝐾)
cdleme22.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme22.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme22f2.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme22f2.f 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme22f2.n 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑇 𝑆) 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
cdleme22f2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝐹 (𝑁 𝑉))

Proof of Theorem cdleme22f2
StepHypRef Expression
1 simp11 1260 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1256 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp2r 1257 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
41, 2, 33jca 1158 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
5 simp12 1261 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊))
6 simp31l 1395 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑆𝐴)
7 simp33 1268 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
8 simp32l 1397 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑆𝑇)
98necomd 2992 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑇𝑆)
10 simp32r 1398 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑆 (𝑇 𝑉))
11 simp11l 1383 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
12 hlcvl 35247 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝐾 ∈ CvLat)
14 simp12l 1385 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑇𝐴)
15 simp33l 1399 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑉𝐴)
16 simp33r 1400 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑉 𝑊)
17 simp31r 1396 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → ¬ 𝑆 𝑊)
18 nbrne2 4829 . . . . . . 7 ((𝑉 𝑊 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) → 𝑉𝑆)
1918necomd 2992 . . . . . 6 ((𝑉 𝑊 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) → 𝑆𝑉)
2016, 17, 19syl2anc 579 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑆𝑉)
21 cdleme22.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
22 cdleme22.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
23 cdleme22.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2421, 22, 23cvlatexch2 35225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑉𝐴) ∧ 𝑆𝑉) → (𝑆 (𝑇 𝑉) → 𝑇 (𝑆 𝑉)))
2513, 6, 14, 15, 20, 24syl131anc 1502 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → (𝑆 (𝑇 𝑉) → 𝑇 (𝑆 𝑉)))
2610, 25mpd 15 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑇 (𝑆 𝑉))
27 cdleme22.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
28 cdleme22.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
29 cdleme22f2.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
30 cdleme22f2.f . . . 4 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
31 cdleme22f2.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑇 𝑆) 𝑊)))
3221, 22, 27, 23, 28, 29, 30, 31cdleme22f 36234 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ 𝑆𝐴 ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ (𝑇𝑆𝑇 (𝑆 𝑉))) → 𝑁 (𝐹 𝑉))
334, 5, 6, 7, 9, 26, 32syl132anc 1507 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑁 (𝐹 𝑉))
34 simp31 1266 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
35 simp133 1409 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑃𝑄)
36 simp132 1408 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑇 (𝑃 𝑄))
37 simp131 1407 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
3821, 22, 27, 23, 28, 29, 30, 31cdleme7ga 36136 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑁𝐴)
394, 5, 34, 35, 36, 37, 38syl123anc 1506 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑁𝐴)
4021, 22, 27, 23, 28, 29, 30cdleme3fa 36124 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐹𝐴)
411, 2, 3, 34, 35, 37, 40syl132anc 1507 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝐹𝐴)
4221, 22, 27, 23, 28, 29, 30, 31cdleme7 36137 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑁 𝑊)
434, 5, 34, 35, 36, 37, 42syl123anc 1506 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → ¬ 𝑁 𝑊)
44 nbrne2 4829 . . . . 5 ((𝑉 𝑊 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) → 𝑉𝑁)
4544necomd 2992 . . . 4 ((𝑉 𝑊 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) → 𝑁𝑉)
4616, 43, 45syl2anc 579 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝑁𝑉)
4721, 22, 23cvlatexch2 35225 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑁𝐴𝐹𝐴𝑉𝐴) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 (𝐹 𝑉) → 𝐹 (𝑁 𝑉)))
4813, 39, 41, 15, 46, 47syl131anc 1502 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → (𝑁 (𝐹 𝑉) → 𝐹 (𝑁 𝑉)))
4933, 48mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑆𝑇𝑆 (𝑇 𝑉)) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊))) → 𝐹 (𝑁 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  lecple 16223  joincjn 17212  meetcmee 17213  Atomscatm 35151  CvLatclc 35153  HLchlt 35238  LHypclh 35872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-proset 17196  df-poset 17214  df-plt 17226  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-p0 17307  df-p1 17308  df-lat 17314  df-clat 17376  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-lines 35389  df-psubsp 35391  df-pmap 35392  df-padd 35684  df-lhyp 35876
This theorem is referenced by:  cdleme26f2ALTN  36252  cdleme26f2  36253
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