Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg33c0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg33c0 36851
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg33c0 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊𝑧 (𝑃 𝑣)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   ,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟   𝐹,𝑟   𝑧,𝐴   𝑧,𝐹,𝑟   𝐻,𝑟,𝑧   𝑧,   𝐾,𝑟,𝑧   𝑧,   𝑁,𝑟,𝑧   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,𝑇   𝑧,𝑊   𝑧,𝑣,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑃(𝑣)   𝑄(𝑣)   𝑅(𝑣,𝑟)   𝑇(𝑣,𝑟)   𝐹(𝑣)   𝐻(𝑣)   (𝑣)   𝐾(𝑣)   (𝑣)   (𝑧,𝑣,𝑟)   𝑁(𝑣)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem cdlemg33c0
StepHypRef Expression
1 simp11l 1340 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp11r 1341 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑊𝐻)
3 simp12 1218 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4 simp13 1219 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
5 simp31 1223 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝑄)
6 simp2ll 1278 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑣𝐴)
7 simp2lr 1279 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑣 𝑊)
8 simp12r 1343 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ¬ 𝑃 𝑊)
9 nbrne2 4906 . . . . . 6 ((𝑣 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑣𝑃)
109necomd 3023 . . . . 5 ((𝑣 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑃𝑣)
117, 8, 10syl2anc 579 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝑣)
126, 11jca 507 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑣𝐴𝑃𝑣))
13 simp33 1225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))
14 cdlemg12.l . . . 4 = (le‘𝐾)
15 cdlemg12.j . . . 4 = (join‘𝐾)
16 cdlemg12.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
17 cdlemg12.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
1814, 15, 16, 174atex3 36230 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑣𝐴𝑃𝑣) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑃𝑧𝑣𝑧 (𝑃 𝑣))))
191, 2, 3, 4, 3, 5, 12, 13, 18syl233anc 1467 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑃𝑧𝑣𝑧 (𝑃 𝑣))))
20 simp3 1129 . . . 4 ((𝑧𝑃𝑧𝑣𝑧 (𝑃 𝑣)) → 𝑧 (𝑃 𝑣))
2120anim2i 610 . . 3 ((¬ 𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑃𝑧𝑣𝑧 (𝑃 𝑣))) → (¬ 𝑧 𝑊𝑧 (𝑃 𝑣)))
2221reximi 3191 . 2 (∃𝑧𝐴𝑧 𝑊 ∧ (𝑧𝑃𝑧𝑣𝑧 (𝑃 𝑣))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊𝑧 (𝑃 𝑣)))
2319, 22syl 17 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ∃𝑧𝐴𝑧 𝑊𝑧 (𝑃 𝑣)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wrex 3090   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  lecple 16345  joincjn 17330  meetcmee 17331  Atomscatm 35412  HLchlt 35499  LHypclh 36133  LTrncltrn 36250  trLctrl 36307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35325  df-ol 35327  df-oml 35328  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500  df-llines 35647  df-lplanes 35648  df-lhyp 36137
This theorem is referenced by:  cdlemg33e  36859
  Copyright terms: Public domain W3C validator