Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1134 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
2 | | simp21 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β π β π) |
3 | | simp22 1205 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
4 | | simp31 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β π
β€ (π β¨ π)) |
5 | | cdleme41.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
6 | | cdleme41.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | cdleme41.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdleme41.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
9 | | cdleme41.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
10 | | cdleme41.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
11 | | cdleme41.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
12 | | cdleme41.d |
. . . 4
β’ π· = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π ) β§ π))) |
13 | | cdleme41.e |
. . . 4
β’ πΈ = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
14 | | cdleme41.g |
. . . 4
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
15 | | cdleme41.i |
. . . 4
β’ πΌ = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΊ)) |
16 | | cdleme41.n |
. . . 4
β’ π = if(π β€ (π β¨ π), πΌ, π·) |
17 | | eqid 2727 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π
β¨ π‘) β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π
β¨ π‘) β§ π))) |
18 | | eqid 2727 |
. . . 4
β’
(β©π¦
β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π
β¨ π‘) β§ π))))) = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = ((π β¨ π) β§ (πΈ β¨ ((π
β¨ π‘) β§ π))))) |
19 | 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 | cdleme41sn3a 39843 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π
β€ (π β¨ π)) β β¦π
/ π β¦π β€ (π β¨ π)) |
20 | 1, 2, 3, 4, 19 | syl121anc 1373 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β β¦π
/ π β¦π β€ (π β¨ π)) |
21 | | simp23 1206 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
22 | | simp32 1208 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
23 | 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 16 | cdleme35sn3a 39869 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β Β¬ β¦π / π β¦π β€ (π β¨ π)) |
24 | 1, 2, 21, 22, 23 | syl121anc 1373 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β Β¬ β¦π / π β¦π β€ (π β¨ π)) |
25 | | nbrne2 5162 |
. 2
β’
((β¦π
/
π β¦π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ β¦π / π β¦π β€ (π β¨ π)) β β¦π
/ π β¦π β β¦π / π β¦π) |
26 | 20, 24, 25 | syl2anc 583 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β π)) β β¦π
/ π β¦π β β¦π / π β¦π) |