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Theorem cdlemeg46req 38992
Description: TODO FIX COMMENT r = (v1 g(s)) p. 116 3rd line. (Contributed by NM, 3-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef46g.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemef46g.l = (le‘𝐾)
cdlemef46g.j = (join‘𝐾)
cdlemef46g.m = (meet‘𝐾)
cdlemef46g.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemef46g.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemef46g.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdlemef46g.d 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
cdlemefs46g.e 𝐸 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
cdlemef46g.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑃 𝑄), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
cdlemef46.v 𝑉 = ((𝑄 𝑃) 𝑊)
cdlemef46.n 𝑁 = ((𝑣 𝑉) (𝑃 ((𝑄 𝑣) 𝑊)))
cdlemefs46.o 𝑂 = ((𝑄 𝑃) (𝑁 ((𝑢 𝑣) 𝑊)))
cdlemef46.g 𝐺 = (𝑎𝐵 ↦ if((𝑄𝑃 ∧ ¬ 𝑎 𝑊), (𝑐𝐵𝑢𝐴 ((¬ 𝑢 𝑊 ∧ (𝑢 (𝑎 𝑊)) = 𝑎) → 𝑐 = (if(𝑢 (𝑄 𝑃), (𝑏𝐵𝑣𝐴 ((¬ 𝑣 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑃)) → 𝑏 = 𝑂)), 𝑢 / 𝑣𝑁) (𝑎 𝑊)))), 𝑎))
cdlemeg46.y 𝑌 = ((𝑅 (𝐺𝑆)) 𝑊)
cdlemeg46.x 𝑋 = (((𝐹𝑅) 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemeg46req ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 = ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝐴   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑣,𝐷   𝐺,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐻,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐   𝑂,𝑎,𝑏,𝑐   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑄,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑆,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,𝑁   𝑥,𝑂,𝑦,𝑧   𝑣,𝑡   𝑢,𝑉   𝑥,𝑣,𝑦,𝑧,𝑉   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑡,𝑁   𝑈,𝑎,𝑏,𝑐,𝑣   𝑡,𝑉   𝑠,𝑎,𝑡,𝑏,𝑐   𝑌,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑢,𝑡)   𝑈(𝑢)   𝐸(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑣,𝑢,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑁(𝑣,𝑠)   𝑂(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝑉(𝑠)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑌(𝑦,𝑣,𝑢,𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem cdlemeg46req
StepHypRef Expression
1 simp11l 1284 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12l 1286 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
3 simp13l 1288 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
4 simp21 1206 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
5 cdlemef46g.j . . . 4 = (join‘𝐾)
6 cdlemef46g.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 eqid 2736 . . . 4 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
85, 6, 7llni2 37975 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
91, 2, 3, 4, 8syl31anc 1373 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
10 simp1 1136 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
11 simp23 1208 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
12 cdlemef46g.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 cdlemef46g.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
14 cdlemef46g.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
15 cdlemef46g.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 cdlemef46g.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
17 cdlemef46g.d . . . . . 6 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
18 cdlemefs46g.e . . . . . 6 𝐸 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
19 cdlemef46g.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑃 𝑄), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
20 cdlemef46.v . . . . . 6 𝑉 = ((𝑄 𝑃) 𝑊)
21 cdlemef46.n . . . . . 6 𝑁 = ((𝑣 𝑉) (𝑃 ((𝑄 𝑣) 𝑊)))
22 cdlemefs46.o . . . . . 6 𝑂 = ((𝑄 𝑃) (𝑁 ((𝑢 𝑣) 𝑊)))
23 cdlemef46.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑎𝐵 ↦ if((𝑄𝑃 ∧ ¬ 𝑎 𝑊), (𝑐𝐵𝑢𝐴 ((¬ 𝑢 𝑊 ∧ (𝑢 (𝑎 𝑊)) = 𝑎) → 𝑐 = (if(𝑢 (𝑄 𝑃), (𝑏𝐵𝑣𝐴 ((¬ 𝑣 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑃)) → 𝑏 = 𝑂)), 𝑢 / 𝑣𝑁) (𝑎 𝑊)))), 𝑎))
2412, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23cdlemeg46fvaw 38979 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝐺𝑆) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊))
2510, 11, 4, 24syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑆) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊))
2625simpld 495 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐴)
27 simp11 1203 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 simp22 1207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
2912, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19cdleme46fvaw 38964 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ((𝐹𝑅) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑅) 𝑊))
3010, 28, 29syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐹𝑅) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑅) 𝑊))
31 simp23l 1294 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
32 simp3l 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 (𝑃 𝑄))
3312, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19cdleme46fsvlpq 38968 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → (𝐹𝑅) (𝑃 𝑄))
3410, 4, 28, 32, 33syl121anc 1375 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐹𝑅) (𝑃 𝑄))
35 simp3r 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
36 nbrne2 5125 . . . . 5 (((𝐹𝑅) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝐹𝑅) ≠ 𝑆)
3734, 35, 36syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐹𝑅) ≠ 𝑆)
38 cdlemeg46.x . . . . 5 𝑋 = (((𝐹𝑅) 𝑆) 𝑊)
3913, 5, 14, 6, 15, 38lhpat2 38508 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑅) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑅) 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝐹𝑅) ≠ 𝑆)) → 𝑋𝐴)
4027, 30, 31, 37, 39syl112anc 1374 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑋𝐴)
411hllatd 37826 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
4230simpld 495 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐹𝑅) ∈ 𝐴)
4312, 5, 6hlatjcl 37829 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑅) ∈ 𝐴𝑆𝐴) → ((𝐹𝑅) 𝑆) ∈ 𝐵)
441, 42, 31, 43syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐹𝑅) 𝑆) ∈ 𝐵)
45 simp11r 1285 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
4612, 15lhpbase 38461 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐵)
4812, 13, 14latmle2 18354 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐹𝑅) 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → (((𝐹𝑅) 𝑆) 𝑊) 𝑊)
4941, 44, 47, 48syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (((𝐹𝑅) 𝑆) 𝑊) 𝑊)
5038, 49eqbrtrid 5140 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑋 𝑊)
5125simprd 496 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
52 nbrne2 5125 . . . . 5 ((𝑋 𝑊 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑋 ≠ (𝐺𝑆))
5350, 51, 52syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑋 ≠ (𝐺𝑆))
5453necomd 2999 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐺𝑆) ≠ 𝑋)
555, 6, 7llni2 37975 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝐺𝑆) ≠ 𝑋) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ (LLines‘𝐾))
561, 26, 40, 54, 55syl31anc 1373 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ (LLines‘𝐾))
57 simp22l 1292 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅𝐴)
5813, 5, 6hlatlej1 37837 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐴𝑋𝐴) → (𝐺𝑆) ((𝐺𝑆) 𝑋))
591, 26, 40, 58syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐺𝑆) ((𝐺𝑆) 𝑋))
6012, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23cdlemeg46nlpq 38980 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ¬ (𝐺𝑆) (𝑃 𝑄))
6110, 4, 11, 35, 60syl121anc 1375 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ (𝐺𝑆) (𝑃 𝑄))
62 nbrne1 5124 . . . 4 (((𝐺𝑆) ((𝐺𝑆) 𝑋) ∧ ¬ (𝐺𝑆) (𝑃 𝑄)) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ≠ (𝑃 𝑄))
6359, 61, 62syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ≠ (𝑃 𝑄))
6463necomd 2999 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ≠ ((𝐺𝑆) 𝑋))
65 cdlemeg46.y . . . 4 𝑌 = ((𝑅 (𝐺𝑆)) 𝑊)
6612, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 65, 38cdlemeg46rgv 38991 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 ((𝐺𝑆) 𝑋))
6712, 6atbase 37751 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅𝐵)
6857, 67syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅𝐵)
6912, 5, 6hlatjcl 37829 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
701, 2, 3, 69syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
7112, 5, 6hlatjcl 37829 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐴𝑋𝐴) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ 𝐵)
721, 26, 40, 71syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ 𝐵)
7312, 13, 14latlem12 18355 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 ((𝐺𝑆) 𝑋)) ↔ 𝑅 ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋))))
7441, 68, 70, 72, 73syl13anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 ((𝐺𝑆) 𝑋)) ↔ 𝑅 ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋))))
7532, 66, 74mpbi2and 710 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋)))
7613, 14, 6, 72llnmeqat 38034 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃 𝑄) ≠ ((𝐺𝑆) 𝑋) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋)))) → 𝑅 = ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋)))
771, 9, 56, 57, 64, 75, 76syl132anc 1388 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 = ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  csb 3855  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  crio 7312  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LLinesclln 37954  LHypclh 38447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-undef 8204  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451
This theorem is referenced by:  cdlemeg46gfr  38994
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