Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2at0nle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp2at0nle 39563
Description: Inequality for 2 different atoms (or an atom and zero) under co-atom π‘Š. (Contributed by NM, 28-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2at0nle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhp2at0nle.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhp2at0nle.z 0 = (0.β€˜πΎ)
lhp2at0nle.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhp2at0nle.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhp2at0nle ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))

Proof of Theorem lhp2at0nle
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉))
2 simpr 483 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
3 simpl2r 1224 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
4 simpl3 1190 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
5 lhp2at0nle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 lhp2at0nle.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 lhp2at0nle.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 lhp2at0nle.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8lhp2atnle 39561 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
101, 2, 3, 4, 9syl121anc 1372 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
11 simp3r 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
12 simp12r 1284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
13 nbrne2 5163 . . . . . . 7 ((𝑉 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) β†’ 𝑉 β‰  𝑃)
1411, 12, 13syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 β‰  𝑃)
1514neneqd 2935 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑉 = 𝑃)
16 simp11l 1281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
17 hlatl 38887 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
19 simp3l 1198 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
20 simp12l 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
215, 7atcmp 38838 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ≀ 𝑃 ↔ 𝑉 = 𝑃))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑉 ≀ 𝑃 ↔ 𝑉 = 𝑃))
2315, 22mtbird 324 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ 𝑃)
2423adantr 479 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ = 0 ) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ 𝑃)
25 oveq2 7423 . . . . 5 (π‘ˆ = 0 β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑃 ∨ 0 ))
26 hlol 38888 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
2716, 26syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
28 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2928, 7atbase 38816 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3020, 29syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
31 lhp2at0nle.z . . . . . . 7 0 = (0.β€˜πΎ)
3228, 6, 31olj01 38752 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ 0 ) = 𝑃)
3327, 30, 32syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 0 ) = 𝑃)
3425, 33sylan9eqr 2787 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ = 0 ) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = 𝑃)
3534breq2d 5155 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ = 0 ) β†’ (𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ↔ 𝑉 ≀ 𝑃))
3624, 35mtbird 324 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ = 0 ) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
37 simp2l 1196 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ))
3810, 36, 37mpjaodan 956 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  lecple 17237  joincjn 18300  0.cp0 18412  OLcol 38701  Atomscatm 38790  AtLatcal 38791  HLchlt 38877  LHypclh 39512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516
This theorem is referenced by:  lhp2at0ne  39564  cdlemkfid1N  40449
  Copyright terms: Public domain W3C validator