Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2at0nle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp2at0nle 39419
Description: Inequality for 2 different atoms (or an atom and zero) under co-atom π‘Š. (Contributed by NM, 28-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2at0nle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhp2at0nle.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhp2at0nle.z 0 = (0.β€˜πΎ)
lhp2at0nle.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhp2at0nle.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhp2at0nle ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))

Proof of Theorem lhp2at0nle
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉))
2 simpr 484 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
3 simpl2r 1224 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
4 simpl3 1190 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
5 lhp2at0nle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 lhp2at0nle.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 lhp2at0nle.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 lhp2at0nle.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8lhp2atnle 39417 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
101, 2, 3, 4, 9syl121anc 1372 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
11 simp3r 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
12 simp12r 1284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
13 nbrne2 5161 . . . . . . 7 ((𝑉 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) β†’ 𝑉 β‰  𝑃)
1411, 12, 13syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 β‰  𝑃)
1514neneqd 2939 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑉 = 𝑃)
16 simp11l 1281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
17 hlatl 38743 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
19 simp3l 1198 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
20 simp12l 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
215, 7atcmp 38694 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ≀ 𝑃 ↔ 𝑉 = 𝑃))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑉 ≀ 𝑃 ↔ 𝑉 = 𝑃))
2315, 22mtbird 325 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ 𝑃)
2423adantr 480 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ = 0 ) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ 𝑃)
25 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘ˆ = 0 β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = (𝑃 ∨ 0 ))
26 hlol 38744 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
2716, 26syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
28 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2928, 7atbase 38672 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3020, 29syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
31 lhp2at0nle.z . . . . . . 7 0 = (0.β€˜πΎ)
3228, 6, 31olj01 38608 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ 0 ) = 𝑃)
3327, 30, 32syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 0 ) = 𝑃)
3425, 33sylan9eqr 2788 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ = 0 ) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) = 𝑃)
3534breq2d 5153 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ = 0 ) β†’ (𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ↔ 𝑉 ≀ 𝑃))
3624, 35mtbird 325 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ˆ = 0 ) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
37 simp2l 1196 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ))
3810, 36, 37mpjaodan 955 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉) ∧ ((π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = 0 ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑉 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  0.cp0 18388  OLcol 38557  Atomscatm 38646  AtLatcal 38647  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  lhp2at0ne  39420  cdlemkfid1N  40305
  Copyright terms: Public domain W3C validator