Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme19.d |
. . . 4
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
2 | | simp1l 1198 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
3 | 2 | hllatd 37872 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
4 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
5 | | simp23l 1295 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
6 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | cdleme19.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdleme19.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | 2, 4, 5, 9 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp1r 1199 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
12 | | cdleme19.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
13 | 6, 12 | lhpbase 38507 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
14 | 11, 13 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
15 | | cdleme19.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | cdleme19.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
17 | 6, 15, 16 | latmle2 18359 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ π) β€ π) |
18 | 3, 10, 14, 17 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ π) β€ π) |
19 | 1, 18 | eqbrtrid 5141 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π· β€ π) |
20 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
21 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
22 | 20, 21 | jca 513 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) |
23 | | cdleme19.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
24 | | cdleme19.f |
. . . . 5
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
25 | 15, 7, 16, 8, 12, 23, 24 | cdleme3 38746 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΉ β€ π) |
26 | 22, 25 | syld3an3 1410 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΉ β€ π) |
27 | | nbrne2 5126 |
. . 3
β’ ((π· β€ π β§ Β¬ πΉ β€ π) β π· β πΉ) |
28 | 19, 26, 27 | syl2anc 585 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π· β πΉ) |
29 | 28 | necomd 2996 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π·) |