Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl33 1257 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β π
β€ (π β¨ π)) |
2 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β π
β€ π) |
3 | | simpl11 1249 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β πΎ β HL) |
4 | 3 | hllatd 37872 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β πΎ β Lat) |
5 | | simpl2l 1227 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β π
β π΄) |
6 | | atbtwn.b |
. . . . . . . . . 10
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
7 | | atbtwn.a |
. . . . . . . . . 10
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 6, 7 | atbase 37797 |
. . . . . . . . 9
β’ (π
β π΄ β π
β π΅) |
9 | 5, 8 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β π
β π΅) |
10 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β (πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄)) |
11 | | atbtwn.j |
. . . . . . . . . 10
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | 6, 11, 7 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β π΅) |
13 | 10, 12 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β (π β¨ π) β π΅) |
14 | | simpl2r 1228 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β π β π΅) |
15 | | atbtwn.l |
. . . . . . . . 9
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
β’
(meetβπΎ) =
(meetβπΎ) |
17 | 6, 15, 16 | latlem12 18360 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅ β§ π β π΅)) β ((π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ π) β π
β€ ((π β¨ π)(meetβπΎ)π))) |
18 | 4, 9, 13, 14, 17 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β ((π
β€ (π β¨ π) β§ π
β€ π) β π
β€ ((π β¨ π)(meetβπΎ)π))) |
19 | 1, 2, 18 | mpbi2and 711 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β π
β€ ((π β¨ π)(meetβπΎ)π)) |
20 | | simpl12 1250 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β π β π΄) |
21 | | simpl13 1251 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β π β π΄) |
22 | | simpl31 1255 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β π β€ π) |
23 | | simpl32 1256 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β Β¬ π β€ π) |
24 | 6, 15, 11, 16, 7 | 2atjm 37954 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β¨ π)(meetβπΎ)π) = π) |
25 | 3, 20, 21, 14, 22, 23, 24 | syl132anc 1389 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β ((π β¨ π)(meetβπΎ)π) = π) |
26 | 19, 25 | breqtrd 5132 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β π
β€ π) |
27 | | hlatl 37868 |
. . . . . . 7
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
28 | 3, 27 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β πΎ β AtLat) |
29 | 15, 7 | atcmp 37819 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β AtLat β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β€ π β π
= π)) |
30 | 28, 5, 20, 29 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β (π
β€ π β π
= π)) |
31 | 26, 30 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π
β€ π) β π
= π) |
32 | 31 | ex 414 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β€ π β π
= π)) |
33 | 32 | necon3ad 2953 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β π β Β¬ π
β€ π)) |
34 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β€ π) |
35 | | nbrne2 5126 |
. . . . 5
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π
β€ π) β π β π
) |
36 | 35 | necomd 2996 |
. . . 4
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π
β€ π) β π
β π) |
37 | 36 | ex 414 |
. . 3
β’ (π β€ π β (Β¬ π
β€ π β π
β π)) |
38 | 34, 37 | syl 17 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β (Β¬ π
β€ π β π
β π)) |
39 | 33, 38 | impbid 211 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β π β Β¬ π
β€ π)) |