Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atbtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atbtwn 37955
Description: Property of a 3rd atom 𝑅 on a line 𝑃 ∨ 𝑄 intersecting element 𝑋 at 𝑃. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atbtwn.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atbtwn.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atbtwn.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atbtwn.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atbtwn (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 β‰  𝑃 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ 𝑋))

Proof of Theorem atbtwn
StepHypRef Expression
1 simpl33 1257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
2 simpr 486 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ≀ 𝑋)
3 simpl11 1249 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 37872 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simpl2l 1227 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
6 atbtwn.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 atbtwn.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 37797 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
95, 8syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
10 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
11 atbtwn.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
126, 11, 7hlatjcl 37875 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
1310, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
14 simpl2r 1228 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
15 atbtwn.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
16 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
176, 15, 16latlem12 18360 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) ↔ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄)(meetβ€˜πΎ)𝑋)))
184, 9, 13, 14, 17syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) ↔ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄)(meetβ€˜πΎ)𝑋)))
191, 2, 18mpbi2and 711 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄)(meetβ€˜πΎ)𝑋))
20 simpl12 1250 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
21 simpl13 1251 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
22 simpl31 1255 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
23 simpl32 1256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)
246, 15, 11, 16, 72atjm 37954 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄)(meetβ€˜πΎ)𝑋) = 𝑃)
253, 20, 21, 14, 22, 23, 24syl132anc 1389 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄)(meetβ€˜πΎ)𝑋) = 𝑃)
2619, 25breqtrd 5132 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ≀ 𝑃)
27 hlatl 37868 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
283, 27syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2915, 7atcmp 37819 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ≀ 𝑃 ↔ 𝑅 = 𝑃))
3028, 5, 20, 29syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ (𝑅 ≀ 𝑃 ↔ 𝑅 = 𝑃))
3126, 30mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 = 𝑃)
3231ex 414 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ≀ 𝑋 β†’ 𝑅 = 𝑃))
3332necon3ad 2953 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 β‰  𝑃 β†’ Β¬ 𝑅 ≀ 𝑋))
34 simp31 1210 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
35 nbrne2 5126 . . . . 5 ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 β‰  𝑅)
3635necomd 2996 . . . 4 ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 β‰  𝑃)
3736ex 414 . . 3 (𝑃 ≀ 𝑋 β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ 𝑋 β†’ 𝑅 β‰  𝑃))
3834, 37syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ 𝑋 β†’ 𝑅 β‰  𝑃))
3933, 38impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 β‰  𝑃 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  Atomscatm 37771  AtLatcal 37772  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  atbtwnexOLDN  37956  atbtwnex  37957
  Copyright terms: Public domain W3C validator