Theorem ablsimpgfindlem1 20237

Description: Lemma for ablsimpgfind 20240. An element of an abelian finite simple group which doesn't square to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfindlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsimpgfindlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablsimpgfindlem1.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		ablsimpgfindlem1.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		ablsimpgfindlem1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablsimpgfindlem1.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
8	6	simpggrpd 20225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Grp)
10		2z 12651	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 2 ∈ ℤ)
12		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	1, 3, 9, 11, 12	mulgcld 19220	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ≠ 0 )
15	14	neneqd 2960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ¬ (2 · 𝑥) = 0 )
16	1, 2, 3, 5, 7, 13, 15, 12	ablsimpg1gend 20235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
17		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
18		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	1, 3	mulg1 19205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
21	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 2 ∈ ℤ)
24	1, 3	mulgassr 19236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
25	21, 22, 23, 18, 24	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
26	17, 20, 25	3eqtr4rd 2806	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
27	23, 22	zmulcld 12732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
28		1zzd 12650	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 1 ∈ ℤ)
29		ablsimpgfindlem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
30	1, 29, 3, 2	odcong 19677	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((2 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
31	21, 18, 27, 28, 30	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
32	26, 31	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
33		0zd 12628	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 0 ∈ ℤ)
34		zneo 12705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ ((2 · 0) + 1))
35		2t0e0 12436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = 0
36	35	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
37		0p1e1 12386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
38	36, 37	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((2 · 0) + 1) = 1)
40	34, 39	neeqtrd 3024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ 1)
41		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (0 + 1))
42	41, 37	eqtr2di 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
44		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
45		zcn 12621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
46	44, 45	mulcld 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47		1cnd 11227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 ∈ ℂ)
48		npcan 11491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
49	46, 47, 48	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
50	43, 49	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (2 · 𝑦) = 1)
51	50	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (2 · 𝑦) = 1))
52	51	necon3ad 2968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) ≠ 1 → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
53	40, 52	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
54	53	anabsi5 682	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
55	22, 33, 54	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
56	27, 28	zsubcld 12731	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ)
57		0dvds 16367	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
58	56, 57	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
59	55, 58	mtbird 328	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
60		nbrne2 5125	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ∧ ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1)) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
61	32, 59, 60	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
62	16, 61	rexlimddv 3169	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
63	62	3expa 1136	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466  2c2 12320  ℤcz 12616   ∥ cdvds 16343  Basecbs 17302  0_gc0g 17525  Grpcgrp 19058  ._gcmg 19191  odcod 19652  Abelcabl 19909  SimpGrpcsimpg 20220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fz 13563  df-fl 13854  df-mod 13932  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-dvds 16344  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-nsg 19248  df-od 19656  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-simpg 20221

This theorem is used by:  ablsimpgfind  20240