Theorem ablsimpgfindlem1 19229

Description: Lemma for ablsimpgfind 19232. An element of an abelian finite simple group which doesn't square to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfindlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsimpgfindlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablsimpgfindlem1.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		ablsimpgfindlem1.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		ablsimpgfindlem1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5	4	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablsimpgfindlem1.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
7	6	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
8	6	simpggrpd 19217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Grp)
10		2z 12015	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 2 ∈ ℤ)
12		simp2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	1, 3, 9, 11, 12	mulgcld 18249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ≠ 0 )
15	14	neneqd 3021	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ¬ (2 · 𝑥) = 0 )
16	1, 2, 3, 5, 7, 13, 15, 12	ablsimpg1gend 19227	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
17		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
18		simpl2 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	1, 3	mulg1 18235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
21	9	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 2 ∈ ℤ)
24	1, 3	mulgassr 18265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
25	21, 22, 23, 18, 24	syl13anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
26	17, 20, 25	3eqtr4rd 2867	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
27	23, 22	zmulcld 12094	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
28		1zzd 12014	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 1 ∈ ℤ)
29		ablsimpgfindlem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
30	1, 29, 3, 2	odcong 18677	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((2 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
31	21, 18, 27, 28, 30	syl112anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
32	26, 31	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
33		0zd 11994	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 0 ∈ ℤ)
34		zneo 12066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ ((2 · 0) + 1))
35		2t0e0 11807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = 0
36	35	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
37		0p1e1 11760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
38	36, 37	eqtri 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((2 · 0) + 1) = 1)
40	34, 39	neeqtrd 3085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ 1)
41		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (0 + 1))
42	41, 37	syl6req 2873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
43	42	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
44		2cnd 11716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
45		zcn 11987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
46	44, 45	mulcld 10661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47		1cnd 10636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 ∈ ℂ)
48		npcan 10895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
49	46, 47, 48	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
50	43, 49	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (2 · 𝑦) = 1)
51	50	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (2 · 𝑦) = 1))
52	51	necon3ad 3029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) ≠ 1 → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
53	40, 52	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
54	53	anabsi5 667	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
55	22, 33, 54	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
56	27, 28	zsubcld 12093	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ)
57		0dvds 15630	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
59	55, 58	mtbird 327	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
60		nbrne2 5086	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ∧ ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1)) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
61	32, 59, 60	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
62	16, 61	rexlimddv 3291	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
63	62	3expa 1114	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   − cmin 10870  2c2 11693  ℤcz 11982   ∥ cdvds 15607  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  Grpcgrp 18103  ._gcmg 18224  odcod 18652  Abelcabl 18907  SimpGrpcsimpg 19212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-nsg 18277  df-od 18656  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-simpg 19213

This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  19232