MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsimpgfindlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablsimpgfindlem1 20142
Description: Lemma for ablsimpgfind 20145. An element of an abelian finite simple group which doesn't square to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsimpgfindlem1.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.2 0 = (0g𝐺)
ablsimpgfindlem1.3 · = (.g𝐺)
ablsimpgfindlem1.4 𝑂 = (od‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfindlem1.6 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
ablsimpgfindlem1 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablsimpgfindlem1.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 ablsimpgfindlem1.2 . . . 4 0 = (0g𝐺)
3 ablsimpgfindlem1.3 . . . 4 · = (.g𝐺)
4 ablsimpgfindlem1.5 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
543ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Abel)
6 ablsimpgfindlem1.6 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
763ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
86simpggrpd 20130 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
983ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Grp)
10 2z 12647 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 2 ∈ ℤ)
12 simp2 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝑥𝐵)
131, 3, 9, 11, 12mulgcld 19127 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14 simp3 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ≠ 0 )
1514neneqd 2943 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ¬ (2 · 𝑥) = 0 )
161, 2, 3, 5, 7, 13, 15, 12ablsimpg1gend 20140 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
17 simprr 773 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
18 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥𝐵)
191, 3mulg1 19112 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
219adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ Grp)
22 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
2310a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 2 ∈ ℤ)
241, 3mulgassr 19143 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵)) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
2521, 22, 23, 18, 24syl13anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
2617, 20, 253eqtr4rd 2786 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
2723, 22zmulcld 12726 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
28 1zzd 12646 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 1 ∈ ℤ)
29 ablsimpgfindlem1.4 . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
301, 29, 3, 2odcong 19582 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵 ∧ ((2 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
3121, 18, 27, 28, 30syl112anc 1373 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
3226, 31mpbird 257 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
33 0zd 12623 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 0 ∈ ℤ)
34 zneo 12699 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ ((2 · 0) + 1))
35 2t0e0 12433 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
3635oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
37 0p1e1 12386 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3836, 37eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 ((2 · 0) + 1) = 1
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((2 · 0) + 1) = 1)
4034, 39neeqtrd 3008 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ 1)
41 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (0 + 1))
4241, 37eqtr2di 2792 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
4342adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
44 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
45 zcn 12616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
4644, 45mulcld 11279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 ∈ ℂ)
48 npcan 11515 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
4946, 47, 48syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
5043, 49eqtr2d 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (2 · 𝑦) = 1)
5150ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (2 · 𝑦) = 1))
5251necon3ad 2951 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) ≠ 1 → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5340, 52syl5 34 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5453anabsi5 669 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
5522, 33, 54syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
5627, 28zsubcld 12725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ)
57 0dvds 16311 . . . . . 6 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5856, 57syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5955, 58mtbird 325 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
60 nbrne2 5168 . . . 4 (((𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ∧ ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1)) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
6132, 59, 60syl2anc 584 . . 3 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
6216, 61rexlimddv 3159 . 2 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
63623expa 1117 1 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  2c2 12319  cz 12611  cdvds 16287  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  odcod 19557  Abelcabl 19814  SimpGrpcsimpg 20125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-simpg 20126
This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  20145
  Copyright terms: Public domain W3C validator