MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsimpgfindlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablsimpgfindlem1 20127
Description: Lemma for ablsimpgfind 20130. An element of an abelian finite simple group which doesn't square to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsimpgfindlem1.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.2 0 = (0g𝐺)
ablsimpgfindlem1.3 · = (.g𝐺)
ablsimpgfindlem1.4 𝑂 = (od‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfindlem1.6 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
ablsimpgfindlem1 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablsimpgfindlem1.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 ablsimpgfindlem1.2 . . . 4 0 = (0g𝐺)
3 ablsimpgfindlem1.3 . . . 4 · = (.g𝐺)
4 ablsimpgfindlem1.5 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
543ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Abel)
6 ablsimpgfindlem1.6 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
763ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
86simpggrpd 20115 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
983ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Grp)
10 2z 12649 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 2 ∈ ℤ)
12 simp2 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝑥𝐵)
131, 3, 9, 11, 12mulgcld 19114 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14 simp3 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ≠ 0 )
1514neneqd 2945 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ¬ (2 · 𝑥) = 0 )
161, 2, 3, 5, 7, 13, 15, 12ablsimpg1gend 20125 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
17 simprr 773 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
18 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥𝐵)
191, 3mulg1 19099 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
219adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ Grp)
22 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
2310a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 2 ∈ ℤ)
241, 3mulgassr 19130 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵)) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
2521, 22, 23, 18, 24syl13anc 1374 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
2617, 20, 253eqtr4rd 2788 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
2723, 22zmulcld 12728 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
28 1zzd 12648 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 1 ∈ ℤ)
29 ablsimpgfindlem1.4 . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
301, 29, 3, 2odcong 19567 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵 ∧ ((2 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
3121, 18, 27, 28, 30syl112anc 1376 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
3226, 31mpbird 257 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
33 0zd 12625 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 0 ∈ ℤ)
34 zneo 12701 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ ((2 · 0) + 1))
35 2t0e0 12435 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
3635oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
37 0p1e1 12388 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3836, 37eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((2 · 0) + 1) = 1
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((2 · 0) + 1) = 1)
4034, 39neeqtrd 3010 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ 1)
41 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (0 + 1))
4241, 37eqtr2di 2794 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
4342adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
44 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
45 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
4644, 45mulcld 11281 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 ∈ ℂ)
48 npcan 11517 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
4946, 47, 48syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
5043, 49eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (2 · 𝑦) = 1)
5150ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (2 · 𝑦) = 1))
5251necon3ad 2953 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) ≠ 1 → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5340, 52syl5 34 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5453anabsi5 669 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
5522, 33, 54syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
5627, 28zsubcld 12727 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ)
57 0dvds 16314 . . . . . 6 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5856, 57syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5955, 58mtbird 325 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
60 nbrne2 5163 . . . 4 (((𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ∧ ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1)) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
6132, 59, 60syl2anc 584 . . 3 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
6216, 61rexlimddv 3161 . 2 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
63623expa 1119 1 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  2c2 12321  cz 12613  cdvds 16290  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  .gcmg 19085  odcod 19542  Abelcabl 19799  SimpGrpcsimpg 20110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-od 19546  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-simpg 20111
This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  20130
  Copyright terms: Public domain W3C validator