Theorem ablsimpgfindlem1 20223

Description: Lemma for ablsimpgfind 20226. An element of an abelian finite simple group which doesn't square to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfindlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsimpgfindlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablsimpgfindlem1.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		ablsimpgfindlem1.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		ablsimpgfindlem1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablsimpgfindlem1.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
8	6	simpggrpd 20211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Grp)
10		2z 12641	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 2 ∈ ℤ)
12		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	1, 3, 9, 11, 12	mulgcld 19206	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ≠ 0 )
15	14	neneqd 2965	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ¬ (2 · 𝑥) = 0 )
16	1, 2, 3, 5, 7, 13, 15, 12	ablsimpg1gend 20221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
17		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
18		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	1, 3	mulg1 19191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
21	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 2 ∈ ℤ)
24	1, 3	mulgassr 19222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
25	21, 22, 23, 18, 24	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
26	17, 20, 25	3eqtr4rd 2811	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
27	23, 22	zmulcld 12722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
28		1zzd 12640	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 1 ∈ ℤ)
29		ablsimpgfindlem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
30	1, 29, 3, 2	odcong 19663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((2 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
31	21, 18, 27, 28, 30	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
32	26, 31	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
33		0zd 12618	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 0 ∈ ℤ)
34		zneo 12695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ ((2 · 0) + 1))
35		2t0e0 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = 0
36	35	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
37		0p1e1 12376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
38	36, 37	eqtri 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((2 · 0) + 1) = 1)
40	34, 39	neeqtrd 3029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ 1)
41		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (0 + 1))
42	41, 37	eqtr2di 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
44		2cnd 12334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
45		zcn 12611	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
46	44, 45	mulcld 11244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47		1cnd 11217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 ∈ ℂ)
48		npcan 11481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
49	46, 47, 48	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
50	43, 49	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (2 · 𝑦) = 1)
51	50	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (2 · 𝑦) = 1))
52	51	necon3ad 2973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) ≠ 1 → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
53	40, 52	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
54	53	anabsi5 682	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
55	22, 33, 54	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
56	27, 28	zsubcld 12721	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ)
57		0dvds 16356	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
58	56, 57	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
59	55, 58	mtbird 328	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
60		nbrne2 5133	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ∧ ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1)) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
61	32, 59, 60	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
62	16, 61	rexlimddv 3174	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
63	62	3expa 1136	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456  2c2 12310  ℤcz 12606   ∥ cdvds 16332  Basecbs 17291  0_gc0g 17514  Grpcgrp 19044  ._gcmg 19177  odcod 19638  Abelcabl 19895  SimpGrpcsimpg 20206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-nsg 19234  df-od 19642  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-simpg 20207

This theorem is used by:  ablsimpgfind  20226