Theorem ablsimpgfindlem1 20039

Description: Lemma for ablsimpgfind 20042. An element of an abelian finite simple group which doesn't square to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfindlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsimpgfindlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablsimpgfindlem1.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		ablsimpgfindlem1.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		ablsimpgfindlem1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablsimpgfindlem1.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
8	6	simpggrpd 20027	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Grp)
10		2z 12565	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 2 ∈ ℤ)
12		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	1, 3, 9, 11, 12	mulgcld 19028	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ≠ 0 )
15	14	neneqd 2930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ¬ (2 · 𝑥) = 0 )
16	1, 2, 3, 5, 7, 13, 15, 12	ablsimpg1gend 20037	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
17		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
18		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	1, 3	mulg1 19013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
21	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 2 ∈ ℤ)
24	1, 3	mulgassr 19044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
25	21, 22, 23, 18, 24	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
26	17, 20, 25	3eqtr4rd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
27	23, 22	zmulcld 12644	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
28		1zzd 12564	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 1 ∈ ℤ)
29		ablsimpgfindlem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
30	1, 29, 3, 2	odcong 19479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((2 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
31	21, 18, 27, 28, 30	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
32	26, 31	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
33		0zd 12541	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 0 ∈ ℤ)
34		zneo 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ ((2 · 0) + 1))
35		2t0e0 12350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = 0
36	35	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
37		0p1e1 12303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
38	36, 37	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((2 · 0) + 1) = 1)
40	34, 39	neeqtrd 2994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ 1)
41		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (0 + 1))
42	41, 37	eqtr2di 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
44		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
45		zcn 12534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
46	44, 45	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 ∈ ℂ)
48		npcan 11430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
49	46, 47, 48	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
50	43, 49	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (2 · 𝑦) = 1)
51	50	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (2 · 𝑦) = 1))
52	51	necon3ad 2938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) ≠ 1 → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
53	40, 52	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
54	53	anabsi5 669	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
55	22, 33, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
56	27, 28	zsubcld 12643	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ)
57		0dvds 16246	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
59	55, 58	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
60		nbrne2 5127	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ∧ ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1)) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
61	32, 59, 60	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
62	16, 61	rexlimddv 3140	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
63	62	3expa 1118	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  2c2 12241  ℤcz 12529   ∥ cdvds 16222  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18865  ._gcmg 18999  odcod 19454  Abelcabl 19711  SimpGrpcsimpg 20022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-od 19458  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-simpg 20023

This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  20042