MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsimpgfindlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablsimpgfindlem1 19886
Description: Lemma for ablsimpgfind 19889. An element of an abelian finite simple group which doesn't square to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsimpgfindlem1.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.2 0 = (0g𝐺)
ablsimpgfindlem1.3 · = (.g𝐺)
ablsimpgfindlem1.4 𝑂 = (od‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfindlem1.6 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
ablsimpgfindlem1 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablsimpgfindlem1.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 ablsimpgfindlem1.2 . . . 4 0 = (0g𝐺)
3 ablsimpgfindlem1.3 . . . 4 · = (.g𝐺)
4 ablsimpgfindlem1.5 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
543ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Abel)
6 ablsimpgfindlem1.6 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
763ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
86simpggrpd 19874 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
983ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Grp)
10 2z 12535 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 2 ∈ ℤ)
12 simp2 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝑥𝐵)
131, 3, 9, 11, 12mulgcld 18898 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14 simp3 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ≠ 0 )
1514neneqd 2948 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ¬ (2 · 𝑥) = 0 )
161, 2, 3, 5, 7, 13, 15, 12ablsimpg1gend 19884 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
17 simprr 771 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
18 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥𝐵)
191, 3mulg1 18883 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
219adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ Grp)
22 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
2310a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 2 ∈ ℤ)
241, 3mulgassr 18914 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵)) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
2521, 22, 23, 18, 24syl13anc 1372 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
2617, 20, 253eqtr4rd 2787 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
2723, 22zmulcld 12613 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
28 1zzd 12534 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 1 ∈ ℤ)
29 ablsimpgfindlem1.4 . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
301, 29, 3, 2odcong 19331 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵 ∧ ((2 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
3121, 18, 27, 28, 30syl112anc 1374 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
3226, 31mpbird 256 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
33 0zd 12511 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 0 ∈ ℤ)
34 zneo 12586 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ ((2 · 0) + 1))
35 2t0e0 12322 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
3635oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
37 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3836, 37eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 ((2 · 0) + 1) = 1
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((2 · 0) + 1) = 1)
4034, 39neeqtrd 3013 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ 1)
41 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (0 + 1))
4241, 37eqtr2di 2793 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
4342adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
44 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
45 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
4644, 45mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 ∈ ℂ)
48 npcan 11410 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
4946, 47, 48syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
5043, 49eqtr2d 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (2 · 𝑦) = 1)
5150ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (2 · 𝑦) = 1))
5251necon3ad 2956 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) ≠ 1 → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5340, 52syl5 34 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5453anabsi5 667 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
5522, 33, 54syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
5627, 28zsubcld 12612 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ)
57 0dvds 16159 . . . . . 6 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5856, 57syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
5955, 58mtbird 324 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
60 nbrne2 5125 . . . 4 (((𝑂𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ∧ ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1)) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
6132, 59, 60syl2anc 584 . . 3 (((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
6216, 61rexlimddv 3158 . 2 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
63623expa 1118 1 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  2c2 12208  cz 12499  cdvds 16136  Basecbs 17083  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  .gcmg 18872  odcod 19306  Abelcabl 19563  SimpGrpcsimpg 19869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-od 19310  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-simpg 19870
This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  19889
  Copyright terms: Public domain W3C validator