Theorem ablsimpgfindlem1 20050

Description: Lemma for ablsimpgfind 20053. An element of an abelian finite simple group which doesn't square to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfindlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsimpgfindlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ablsimpgfindlem1.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		ablsimpgfindlem1.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		ablsimpgfindlem1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
5	4	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablsimpgfindlem1.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
7	6	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
8	6	simpggrpd 20038	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ Grp)
10		2z 12535	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 2 ∈ ℤ)
12		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	1, 3, 9, 11, 12	mulgcld 19038	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (2 · 𝑥) ≠ 0 )
15	14	neneqd 2938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ¬ (2 · 𝑥) = 0 )
16	1, 2, 3, 5, 7, 13, 15, 12	ablsimpg1gend 20048	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
17		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
18		simpl2 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	1, 3	mulg1 19023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
21	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 2 ∈ ℤ)
24	1, 3	mulgassr 19054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
25	21, 22, 23, 18, 24	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑦 · (2 · 𝑥)))
26	17, 20, 25	3eqtr4rd 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
27	23, 22	zmulcld 12614	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
28		1zzd 12534	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 1 ∈ ℤ)
29		ablsimpgfindlem1.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
30	1, 29, 3, 2	odcong 19490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((2 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
31	21, 18, 27, 28, 30	syl112anc 1377	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) · 𝑥) = (1 · 𝑥)))
32	26, 31	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
33		0zd 12512	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → 0 ∈ ℤ)
34		zneo 12587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ ((2 · 0) + 1))
35		2t0e0 12321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = 0
36	35	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
37		0p1e1 12274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
38	36, 37	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((2 · 0) + 1) = 1)
40	34, 39	neeqtrd 3002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ≠ 1)
41		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (0 + 1))
42	41, 37	eqtr2di 2789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → 1 = (((2 · 𝑦) − 1) + 1))
44		2cnd 12235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
45		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
46	44, 45	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → 1 ∈ ℂ)
48		npcan 11401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
49	46, 47, 48	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (((2 · 𝑦) − 1) + 1) = (2 · 𝑦))
50	43, 49	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) = 0) → (2 · 𝑦) = 1)
51	50	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (((2 · 𝑦) − 1) = 0 → (2 · 𝑦) = 1))
52	51	necon3ad 2946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) ≠ 1 → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
53	40, 52	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
54	53	anabsi5 670	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
55	22, 33, 54	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ ((2 · 𝑦) − 1) = 0)
56	27, 28	zsubcld 12613	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ)
57		0dvds 16215	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℤ → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ↔ ((2 · 𝑦) − 1) = 0))
59	55, 58	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1))
60		nbrne2 5120	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∥ ((2 · 𝑦) − 1) ∧ ¬ 0 ∥ ((2 · 𝑦) − 1)) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
61	32, 59, 60	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑦 · (2 · 𝑥)))) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
62	16, 61	rexlimddv 3145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
63	62	3expa 1119	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) ≠ 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  2c2 12212  ℤcz 12500   ∥ cdvds 16191  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18875  ._gcmg 19009  odcod 19465  Abelcabl 19722  SimpGrpcsimpg 20033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-nsg 19066  df-od 19469  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-simpg 20034

This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  20053