MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsimpgfindlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablsimpgfindlem1 19977
Description: Lemma for ablsimpgfind 19980. An element of an abelian finite simple group which doesn't square to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 31-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsimpgfindlem1.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablsimpgfindlem1.2 0 = (0gโ€˜๐บ)
ablsimpgfindlem1.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
ablsimpgfindlem1.4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablsimpgfindlem1.5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablsimpgfindlem1.6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
ablsimpgfindlem1 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ, 0   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ)   ๐บ(๐‘ฅ)   ๐‘‚(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem1
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablsimpgfindlem1.1 . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 ablsimpgfindlem1.2 . . . 4 0 = (0gโ€˜๐บ)
3 ablsimpgfindlem1.3 . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐บ)
4 ablsimpgfindlem1.5 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
543ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
6 ablsimpgfindlem1.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ SimpGrp)
763ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ ๐บ โˆˆ SimpGrp)
86simpggrpd 19965 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
983ad2ant1 1134 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
10 2z 12594 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
1110a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
12 simp2 1138 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
131, 3, 9, 11, 12mulgcld 18976 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
14 simp3 1139 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 )
1514neneqd 2946 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ ยฌ (2 ยท ๐‘ฅ) = 0 )
161, 2, 3, 5, 7, 13, 15, 12ablsimpg1gend 19975 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))
17 simprr 772 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))
18 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
191, 3mulg1 18961 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ (1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
219adantr 482 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
22 simprl 770 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2310a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
241, 3mulgassr 18992 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))
2521, 22, 23, 18, 24syl13anc 1373 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))
2617, 20, 253eqtr4rd 2784 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) = (1 ยท ๐‘ฅ))
2723, 22zmulcld 12672 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
28 1zzd 12593 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
29 ablsimpgfindlem1.4 . . . . . . 7 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
301, 29, 3, 2odcong 19417 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) = (1 ยท ๐‘ฅ)))
3121, 18, 27, 28, 30syl112anc 1375 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ) = (1 ยท ๐‘ฅ)))
3226, 31mpbird 257 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1))
33 0zd 12570 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
34 zneo 12645 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โ‰  ((2 ยท 0) + 1))
35 2t0e0 12381 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 0) = 0
3635oveq1i 7419 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท 0) + 1) = (0 + 1)
37 0p1e1 12334 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3836, 37eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท 0) + 1) = 1
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท 0) + 1) = 1)
4034, 39neeqtrd 3011 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โ‰  1)
41 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0 โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) + 1) = (0 + 1))
4241, 37eqtr2di 2790 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0 โ†’ 1 = (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) + 1))
4342adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0) โ†’ 1 = (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) + 1))
44 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
45 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4644, 45mulcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
47 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
48 npcan 11469 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) + 1) = (2 ยท ๐‘ฆ))
4946, 47, 48syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) + 1) = (2 ยท ๐‘ฆ))
5043, 49eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0) โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) = 1)
5150ex 414 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) = 1))
5251necon3ad 2954 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โ‰  1 โ†’ ยฌ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0))
5340, 52syl5 34 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ยฌ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0))
5453anabsi5 668 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ยฌ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0)
5522, 33, 54syl2anc 585 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ยฌ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0)
5627, 28zsubcld 12671 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
57 0dvds 16220 . . . . . 6 (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0))
5856, 57syl 17 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ (0 โˆฅ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = 0))
5955, 58mtbird 325 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ยฌ 0 โˆฅ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1))
60 nbrne2 5169 . . . 4 (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆง ยฌ 0 โˆฅ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
6132, 59, 60syl2anc 585 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
6216, 61rexlimddv 3162 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
63623expa 1119 1 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰  0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  2c2 12267  โ„คcz 12558   โˆฅ cdvds 16197  Basecbs 17144  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  .gcmg 18950  odcod 19392  Abelcabl 19649  SimpGrpcsimpg 19960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-simpg 19961
This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  19980
  Copyright terms: Public domain W3C validator