Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme11.c |
. . 3
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ π) |
2 | | simp1l 1198 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
3 | 2 | hllatd 37872 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
4 | | simp21l 1291 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
5 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
6 | | cdleme11.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | 5, 6 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
8 | 4, 7 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
9 | | simp23l 1295 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
10 | 5, 6 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
12 | | cdleme11.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
13 | 5, 12 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
14 | 3, 8, 11, 13 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
15 | | simp1r 1199 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
16 | | cdleme11.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
17 | 5, 16 | lhpbase 38507 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
18 | 15, 17 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
19 | | cdleme11.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
20 | | cdleme11.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
21 | 5, 19, 20 | latmle2 18359 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
22 | 3, 14, 18, 21 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
23 | 1, 22 | eqbrtrid 5141 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΆ β€ π) |
24 | | cdleme11.u |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
25 | | cdleme11.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
26 | 19, 12, 20, 6, 16, 24, 25 | cdleme3 38746 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΉ β€ π) |
27 | | nbrne2 5126 |
. . 3
β’ ((πΆ β€ π β§ Β¬ πΉ β€ π) β πΆ β πΉ) |
28 | 27 | necomd 2996 |
. 2
β’ ((πΆ β€ π β§ Β¬ πΉ β€ π) β πΉ β πΆ) |
29 | 23, 26, 28 | syl2anc 585 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β πΆ) |