Theorem ablsimpgfindlem2 20076

Description: Lemma for ablsimpgfind 20078. An element of an abelian finite simple group which squares to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfindlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfindlem2	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (2 · 𝑥) = 0 )
2		ablsimpgfindlem1.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
3	2	simpggrpd 20063	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		2z 12550	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 2 ∈ ℤ)
8	4, 5, 7	3jca 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 2 ∈ ℤ))
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 2 ∈ ℤ))
10		ablsimpgfindlem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		ablsimpgfindlem1.4	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12		ablsimpgfindlem1.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
13		ablsimpgfindlem1.2	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
14	10, 11, 12, 13	oddvds 19513	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 2 ↔ (2 · 𝑥) = 0 ))
15	9, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 2 ↔ (2 · 𝑥) = 0 ))
16	1, 15	mpbird 258	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝑂‘𝑥) ∥ 2)
17		2ne0 12276	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → 2 ≠ 0)
19	18	neneqd 2939	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → ¬ 2 = 0)
20		0dvds 16236	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0 ∥ 2 ↔ 2 = 0))
21	6, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 ∥ 2 ↔ 2 = 0)
22	19, 21	sylnibr 330	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → ¬ 0 ∥ 2)
23		nbrne2 5092	. 2 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∥ 2 ∧ ¬ 0 ∥ 2) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
24	16, 22, 23	syl2anc 590	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  2c2 12227  ℤcz 12515   ∥ cdvds 16212  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  ._gcmg 19034  odcod 19490  Abelcabl 19747  SimpGrpcsimpg 20058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-od 19494  df-simpg 20059

This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  20078