Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsimpgfindlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablsimpgfindlem2 19244
 Description: Lemma for ablsimpgfind 19246. An element of an abelian finite simple group which squares to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsimpgfindlem1.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.2 0 = (0g𝐺)
ablsimpgfindlem1.3 · = (.g𝐺)
ablsimpgfindlem1.4 𝑂 = (od‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfindlem1.6 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
ablsimpgfindlem2 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem2
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . 3 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (2 · 𝑥) = 0 )
2 ablsimpgfindlem1.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
32simpggrpd 19231 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
6 2z 12022 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 2 ∈ ℤ)
84, 5, 73jca 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵 ∧ 2 ∈ ℤ))
98adantr 484 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵 ∧ 2 ∈ ℤ))
10 ablsimpgfindlem1.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 ablsimpgfindlem1.4 . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablsimpgfindlem1.3 . . . . 5 · = (.g𝐺)
13 ablsimpgfindlem1.2 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
1410, 11, 12, 13oddvds 18688 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑂𝑥) ∥ 2 ↔ (2 · 𝑥) = 0 ))
159, 14syl 17 . . 3 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → ((𝑂𝑥) ∥ 2 ↔ (2 · 𝑥) = 0 ))
161, 15mpbird 260 . 2 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝑂𝑥) ∥ 2)
17 2ne0 11747 . . . . 5 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → 2 ≠ 0)
1918neneqd 2992 . . 3 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → ¬ 2 = 0)
20 0dvds 15642 . . . 4 (2 ∈ ℤ → (0 ∥ 2 ↔ 2 = 0))
216, 20ax-mp 5 . . 3 (0 ∥ 2 ↔ 2 = 0)
2219, 21sylnibr 332 . 2 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → ¬ 0 ∥ 2)
23 nbrne2 5054 . 2 (((𝑂𝑥) ∥ 2 ∧ ¬ 0 ∥ 2) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
2416, 22, 23syl2anc 587 1 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝑂𝑥) ≠ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  0cc0 10544  2c2 11698  ℤcz 11989   ∥ cdvds 15619  Basecbs 16495  0gc0g 16725  Grpcgrp 18115  .gcmg 18237  odcod 18665  Abelcabl 18920  SimpGrpcsimpg 19226 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fl 13177  df-mod 13253  df-seq 13385  df-exp 13446  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-dvds 15620  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-mulg 18238  df-od 18669  df-simpg 19227 This theorem is referenced by:  ablsimpgfind  19246
 Copyright terms: Public domain W3C validator