Theorem ablsimpgfindlem2 20324

Description: Lemma for ablsimpgfind 20326. An element of an abelian finite simple group which squares to the identity has finite order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgfindlem1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablsimpgfindlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgfindlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgfindlem2	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ablsimpgfindlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (2 · 𝑥) = 0 )
2		ablsimpgfindlem1.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
3	2	simpggrpd 20311	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		2z 12728	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 2 ∈ ℤ)
8	4, 5, 7	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 2 ∈ ℤ))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 2 ∈ ℤ))
10		ablsimpgfindlem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		ablsimpgfindlem1.4	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12		ablsimpgfindlem1.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
13		ablsimpgfindlem1.2	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
14	10, 11, 12, 13	oddvds 19761	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 2 ↔ (2 · 𝑥) = 0 ))
15	9, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 2 ↔ (2 · 𝑥) = 0 ))
16	1, 15	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝑂‘𝑥) ∥ 2)
17		2ne0 12449	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → 2 ≠ 0)
19	18	neneqd 2961	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → ¬ 2 = 0)
20		0dvds 16446	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0 ∥ 2 ↔ 2 = 0))
21	6, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 ∥ 2 ↔ 2 = 0)
22	19, 21	sylnibr 332	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → ¬ 0 ∥ 2)
23		nbrne2 5125	. 2 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∥ 2 ∧ ¬ 0 ∥ 2) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)
24	16, 22, 23	syl2anc 596	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (2 · 𝑥) = 0 ) → (𝑂‘𝑥) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  2c2 12397  ℤcz 12693   ∥ cdvds 16422  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  ._gcmg 19277  odcod 19738  Abelcabl 19995  SimpGrpcsimpg 20306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-od 19742  df-simpg 20307

This theorem is used by:  ablsimpgfind  20326