Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk1.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemk1.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemk1.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemk1.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemk1.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemk1.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemk1.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemk1.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk1.s |
. . . . 5
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
10 | | cdlemk1.o |
. . . . 5
β’ π = (πβπ·) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemk13 39361 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ·)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))))) |
12 | | simp11l 1285 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΎ β HL) |
13 | 12 | hllatd 37872 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΎ β Lat) |
14 | | simp22l 1293 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π β π΄) |
15 | | simp11 1204 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
16 | | simp13 1206 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π· β π) |
17 | | simp32 1211 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π· β ( I βΎ π΅)) |
18 | 1, 5, 6, 7, 8 | trlnidat 38682 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π· β π β§ π· β ( I βΎ π΅)) β (π
βπ·) β π΄) |
19 | 15, 16, 17, 18 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
βπ·) β π΄) |
20 | 1, 3, 5 | hlatjcl 37875 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (π
βπ·) β π΄) β (π β¨ (π
βπ·)) β π΅) |
21 | 12, 14, 19, 20 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (π
βπ·)) β π΅) |
22 | | simp21 1207 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π β π) |
23 | 2, 5, 6, 7 | ltrnat 38649 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ π β π΄) β (πβπ) β π΄) |
24 | 15, 22, 14, 23 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β π΄) |
25 | | simp12 1205 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΉ β π) |
26 | | simp33 1212 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
βπ·) β (π
βπΉ)) |
27 | 5, 6, 7, 8 | trlcocnvat 39233 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π· β π β§ πΉ β π) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β (π
β(π· β β‘πΉ)) β π΄) |
28 | 15, 16, 25, 26, 27 | syl121anc 1376 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
β(π· β β‘πΉ)) β π΄) |
29 | 1, 3, 5 | hlatjcl 37875 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (πβπ) β π΄ β§ (π
β(π· β β‘πΉ)) β π΄) β ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))) β π΅) |
30 | 12, 24, 28, 29 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))) β π΅) |
31 | 1, 2, 4 | latmle2 18359 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ (π
βπ·)) β π΅ β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))) β π΅) β ((π β¨ (π
βπ·)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ)))) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ)))) |
32 | 13, 21, 30, 31 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((π β¨ (π
βπ·)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ)))) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ)))) |
33 | 11, 32 | eqbrtrd 5128 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ)))) |
34 | 10 | fveq1i 6844 |
. . . . 5
β’ (πβπ) = ((πβπ·)βπ) |
35 | 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 4, 9 | cdlemksat 39355 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((πβπ·)βπ) β π΄) |
36 | 34, 35 | eqeltrid 2838 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β π΄) |
37 | 6, 7 | ltrncnv 38655 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β β‘πΉ β π) |
38 | 15, 25, 37 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β β‘πΉ β π) |
39 | 6, 7 | ltrnco 39228 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π· β π β§ β‘πΉ β π) β (π· β β‘πΉ) β π) |
40 | 15, 16, 38, 39 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π· β β‘πΉ) β π) |
41 | 2, 6, 7, 8 | trlle 38693 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π· β β‘πΉ) β π) β (π
β(π· β β‘πΉ)) β€ π) |
42 | 15, 40, 41 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
β(π· β β‘πΉ)) β€ π) |
43 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemkoatnle 39360 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π)) |
44 | 43 | simprd 497 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β Β¬ (πβπ) β€ π) |
45 | | nbrne2 5126 |
. . . . . 6
β’ (((π
β(π· β β‘πΉ)) β€ π β§ Β¬ (πβπ) β€ π) β (π
β(π· β β‘πΉ)) β (πβπ)) |
46 | 42, 44, 45 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
β(π· β β‘πΉ)) β (πβπ)) |
47 | 46 | necomd 2996 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β (π
β(π· β β‘πΉ))) |
48 | 2, 3, 5 | hlatexch2 37905 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ ((πβπ) β π΄ β§ (πβπ) β π΄ β§ (π
β(π· β β‘πΉ)) β π΄) β§ (πβπ) β (π
β(π· β β‘πΉ))) β ((πβπ) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))) β (πβπ) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))))) |
49 | 12, 36, 24, 28, 47, 48 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((πβπ) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))) β (πβπ) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))))) |
50 | 33, 49 | mpd 15 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ)))) |
51 | 6, 7, 8 | trlcocnv 39229 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π· β π β§ πΉ β π) β (π
β(π· β β‘πΉ)) = (π
β(πΉ β β‘π·))) |
52 | 15, 16, 25, 51 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
β(π· β β‘πΉ)) = (π
β(πΉ β β‘π·))) |
53 | 52 | oveq2d 7374 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))) = ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·)))) |
54 | 50, 53 | breqtrd 5132 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·)))) |