Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk14 38122
 Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 19 on p. 119. 𝑂, 𝐷 are k1, f1. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk1.l = (le‘𝐾)
cdlemk1.j = (join‘𝐾)
cdlemk1.m = (meet‘𝐾)
cdlemk1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk1.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk1.o 𝑂 = (𝑆𝐷)
Assertion
Ref Expression
cdlemk14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝑃) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐷))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐷,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   (𝑓)   𝑂(𝑓,𝑖)

Proof of Theorem cdlemk14
StepHypRef Expression
1 cdlemk1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemk1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 cdlemk1.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
4 cdlemk1.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
5 cdlemk1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemk1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemk1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemk1.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemk1.s . . . . 5 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
10 cdlemk1.o . . . . 5 𝑂 = (𝑆𝐷)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemk13 38120 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑂𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐷)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹)))))
12 simp11l 1281 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐾 ∈ HL)
1312hllatd 36632 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐾 ∈ Lat)
14 simp22l 1289 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑃𝐴)
15 simp11 1200 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simp13 1202 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐷𝑇)
17 simp32 1207 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵))
181, 5, 6, 7, 8trlnidat 37441 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴)
1915, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐷) ∈ 𝐴)
201, 3, 5hlatjcl 36635 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝐷) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝑅𝐷)) ∈ 𝐵)
2112, 14, 19, 20syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃 (𝑅𝐷)) ∈ 𝐵)
22 simp21 1203 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑁𝑇)
232, 5, 6, 7ltrnat 37408 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇𝑃𝐴) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐴)
2415, 22, 14, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐴)
25 simp12 1201 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
26 simp33 1208 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))
275, 6, 7, 8trlcocnvat 37992 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐷𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐴)
2815, 16, 25, 26, 27syl121anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐴)
291, 3, 5hlatjcl 36635 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑁𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐴) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹))) ∈ 𝐵)
3012, 24, 28, 29syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹))) ∈ 𝐵)
311, 2, 4latmle2 17689 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑅𝐷)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹))) ∈ 𝐵) → ((𝑃 (𝑅𝐷)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹)))) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹))))
3213, 21, 30, 31syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑃 (𝑅𝐷)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹)))) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹))))
3311, 32eqbrtrd 5075 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑂𝑃) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹))))
3410fveq1i 6664 . . . . 5 (𝑂𝑃) = ((𝑆𝐷)‘𝑃)
351, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 4, 9cdlemksat 38114 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐷)‘𝑃) ∈ 𝐴)
3634, 35eqeltrid 2920 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑂𝑃) ∈ 𝐴)
376, 7ltrncnv 37414 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
3815, 25, 37syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
396, 7ltrnco 37987 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇𝐹𝑇) → (𝐷𝐹) ∈ 𝑇)
4015, 16, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐷𝐹) ∈ 𝑇)
412, 6, 7, 8trlle 37452 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐷𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐷𝐹)) 𝑊)
4215, 40, 41syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐷𝐹)) 𝑊)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemkoatnle 38119 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑂𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑂𝑃) 𝑊))
4443simprd 499 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → ¬ (𝑂𝑃) 𝑊)
45 nbrne2 5073 . . . . . 6 (((𝑅‘(𝐷𝐹)) 𝑊 ∧ ¬ (𝑂𝑃) 𝑊) → (𝑅‘(𝐷𝐹)) ≠ (𝑂𝑃))
4642, 44, 45syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐷𝐹)) ≠ (𝑂𝑃))
4746necomd 3069 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑂𝑃) ≠ (𝑅‘(𝐷𝐹)))
482, 3, 5hlatexch2 36664 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑂𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑁𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑂𝑃) ≠ (𝑅‘(𝐷𝐹))) → ((𝑂𝑃) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹))) → (𝑁𝑃) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹)))))
4912, 36, 24, 28, 47, 48syl131anc 1380 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑂𝑃) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹))) → (𝑁𝑃) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹)))))
5033, 49mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝑃) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹))))
516, 7, 8trlcocnv 37988 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝐷𝐹)) = (𝑅‘(𝐹𝐷)))
5215, 16, 25, 51syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝐷𝐹)) = (𝑅‘(𝐹𝐷)))
5352oveq2d 7167 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐷𝐹))) = ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐷))))
5450, 53breqtrd 5079 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝑃) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐷))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5133   I cid 5447  ◡ccnv 5542   ↾ cres 5545   ∘ ccom 5547  ‘cfv 6345  ℩crio 7108  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  lecple 16574  joincjn 17556  meetcmee 17557  Latclat 17657  Atomscatm 36531  HLchlt 36618  LHypclh 37252  LTrncltrn 37369  trLctrl 37426 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-riotaBAD 36221 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-undef 7937  df-map 8406  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36444  df-ol 36446  df-oml 36447  df-covers 36534  df-ats 36535  df-atl 36566  df-cvlat 36590  df-hlat 36619  df-llines 36766  df-lplanes 36767  df-lvols 36768  df-lines 36769  df-psubsp 36771  df-pmap 36772  df-padd 37064  df-lhyp 37256  df-laut 37257  df-ldil 37372  df-ltrn 37373  df-trl 37427 This theorem is referenced by:  cdlemk15  38123  cdlemk14-2N  38146
 Copyright terms: Public domain W3C validator