Theorem numth 10360

Description: Numeration theorem: every set can be put into one-to-one correspondence with some ordinal (using AC). Theorem 10.3 of [TakeutiZaring] p. 84. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
numth.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
numth	⊢ ∃𝑥 ∈ On ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem numth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numth.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	numth2 10359	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴
3		bren 8879	. . 3 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴)
4	3	rexbii 3079	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ On ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴)
5	2, 4	mpbi 230	1 ⊢ ∃𝑥 ∈ On ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴

Syntax hints:  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   class class class wbr 5091  Oncon0 6306  –1-1-onto→wf1o 6480   ≈ cen 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-ac2 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-en 8870  df-card 9829  df-ac 10004

This theorem is referenced by: (None)