Theorem numth 10496

Description: Numeration theorem: every set can be put into one-to-one correspondence with some ordinal (using AC). Theorem 10.3 of [TakeutiZaring] p. 84. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
numth.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
numth	⊢ ∃𝑥 ∈ On ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem numth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numth.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	numth2 10495	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴
3		bren 8974	. . 3 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴)
4	3	rexbii 3091	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ On ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴)
5	2, 4	mpbi 229	1 ⊢ ∃𝑥 ∈ On ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴

Syntax hints:  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  Oncon0 6369  –1-1-onto→wf1o 6547   ≈ cen 8961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-ac2 10487

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-en 8965  df-card 9963  df-ac 10140

This theorem is referenced by: (None)