Theorem numth 10474

Description: Numeration theorem: every set can be put into one-to-one correspondence with some ordinal (using AC). Theorem 10.3 of [TakeutiZaring] p. 84. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
numth.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
numth	⊢ ∃𝑥 ∈ On ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem numth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numth.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	numth2 10473	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴
3		bren 8962	. . 3 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴)
4	3	rexbii 3115	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ On ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴)
5	2, 4	mpbi 233	1 ⊢ ∃𝑥 ∈ On ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝐴

This proof depends on syntax axioms:  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   class class class wbr 5114  Oncon0 6367  –1-1-onto→wf1o 6542   ≈ cen 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-ac2 10465

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-en 8953  df-card 9944  df-ac 10119

This theorem is used by: (None)