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Theorem nvabs 28226
Description: Norm difference property of a normed complex vector space. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvabs.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvabs.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvabs.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvabs.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvabs ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Proof of Theorem nvabs
StepHypRef Expression
1 nvabs.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvabs.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 nvabs.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 nvabs.6 . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
51, 2, 3, 4nvdif 28220 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
65negeqd 10680 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
71, 4nvcl 28215 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
873adant2 1111 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
91, 4nvcl 28215 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1093adant3 1112 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
11 simp1 1116 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
12 neg1cn 11561 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
131, 3nvscl 28180 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1412, 13mp3an2 1428 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
15143adant2 1111 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
161, 2nvgcl 28174 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
1715, 16syld3an3 1389 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
18173com23 1106 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
191, 4nvcl 28215 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
2011, 18, 19syl2anc 576 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
2120renegcld 10868 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
221, 2nvcom 28175 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
2318, 22syld3an3 1389 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
24 simprr 760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
2514adantrr 704 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
26 simprl 758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
2724, 25, 263jca 1108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋))
281, 2nvass 28176 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
2927, 28syldan 582 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
30293impb 1095 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
31 eqid 2779 . . . . . . . . . . . 12 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
321, 2, 3, 31nvlinv 28206 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vec𝑈))
33323adant3 1112 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vec𝑈))
3433oveq2d 6992 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)) = (𝐵𝐺(0vec𝑈)))
351, 2, 31nv0rid 28189 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐺(0vec𝑈)) = 𝐵)
36353adant2 1111 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺(0vec𝑈)) = 𝐵)
3730, 34, 363eqtrd 2819 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = 𝐵)
3823, 37eqtrd 2815 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = 𝐵)
3938fveq2d 6503 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (𝑁𝐵))
401, 2, 4nvtri 28224 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4118, 40syld3an3 1389 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4239, 41eqbrtrrd 4953 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4310recnd 10468 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
4420recnd 10468 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℂ)
4543, 44subnegd 10805 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4642, 45breqtrrd 4957 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ≤ ((𝑁𝐴) − -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
478, 10, 21, 46lesubd 11045 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ≤ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)))
486, 47eqbrtrd 4951 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ≤ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)))
49 simp2 1117 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
501, 3nvscl 28180 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
5112, 50mp3an2 1428 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
52513adant2 1111 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
53 simp3 1118 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
541, 2nvass 28176 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)))
5511, 49, 52, 53, 54syl13anc 1352 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)))
561, 2, 3, 31nvlinv 28206 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵) = (0vec𝑈))
57563adant2 1111 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵) = (0vec𝑈))
5857oveq2d 6992 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺(0vec𝑈)))
591, 2, 31nv0rid 28189 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(0vec𝑈)) = 𝐴)
60593adant3 1112 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(0vec𝑈)) = 𝐴)
6155, 58, 603eqtrd 2819 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = 𝐴)
6261fveq2d 6503 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) = (𝑁𝐴))
631, 2nvgcl 28174 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
6452, 63syld3an3 1389 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
651, 2, 4nvtri 28224 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵)))
6664, 65syld3an2 1391 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵)))
6762, 66eqbrtrrd 4953 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵)))
681, 4nvcl 28215 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
6911, 64, 68syl2anc 576 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
7010, 8, 69lesubaddd 11038 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ↔ (𝑁𝐴) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵))))
7167, 70mpbird 249 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
7210, 8resubcld 10869 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ∈ ℝ)
7372, 69absled 14651 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ↔ (-(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ≤ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ∧ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))))
7448, 71, 73mpbir2and 700 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  cr 10334  1c1 10336   + caddc 10338  cle 10475  cmin 10670  -cneg 10671  abscabs 14454  NrmCVeccnv 28138   +𝑣 cpv 28139  BaseSetcba 28140   ·𝑠OLD cns 28141  0veccn0v 28142  normCVcnmcv 28144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-grpo 28047  df-gid 28048  df-ginv 28049  df-ablo 28099  df-vc 28113  df-nv 28146  df-va 28149  df-ba 28150  df-sm 28151  df-0v 28152  df-nmcv 28154
This theorem is referenced by:  nmcvcn  28249
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