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Theorem nvabs 28458
Description: Norm difference property of a normed complex vector space. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvabs.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvabs.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvabs.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvabs.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvabs ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Proof of Theorem nvabs
StepHypRef Expression
1 nvabs.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvabs.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 nvabs.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 nvabs.6 . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
51, 2, 3, 4nvdif 28452 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
65negeqd 10873 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
71, 4nvcl 28447 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
873adant2 1128 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
91, 4nvcl 28447 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1093adant3 1129 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
11 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
12 neg1cn 11743 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
131, 3nvscl 28412 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1412, 13mp3an2 1446 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
15143adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
161, 2nvgcl 28406 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
1715, 16syld3an3 1406 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
18173com23 1123 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
191, 4nvcl 28447 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
2011, 18, 19syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
2120renegcld 11060 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
221, 2nvcom 28407 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
2318, 22syld3an3 1406 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
24 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
2514adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
26 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
2724, 25, 263jca 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋))
281, 2nvass 28408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
2927, 28syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
30293impb 1112 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
31 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
321, 2, 3, 31nvlinv 28438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vec𝑈))
33323adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vec𝑈))
3433oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)) = (𝐵𝐺(0vec𝑈)))
351, 2, 31nv0rid 28421 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐺(0vec𝑈)) = 𝐵)
36353adant2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺(0vec𝑈)) = 𝐵)
3730, 34, 363eqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = 𝐵)
3823, 37eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = 𝐵)
3938fveq2d 6653 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (𝑁𝐵))
401, 2, 4nvtri 28456 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4118, 40syld3an3 1406 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4239, 41eqbrtrrd 5057 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4310recnd 10662 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
4420recnd 10662 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℂ)
4543, 44subnegd 10997 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4642, 45breqtrrd 5061 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ≤ ((𝑁𝐴) − -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
478, 10, 21, 46lesubd 11237 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ≤ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)))
486, 47eqbrtrd 5055 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ≤ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)))
49 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
501, 3nvscl 28412 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
5112, 50mp3an2 1446 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
52513adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
53 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
541, 2nvass 28408 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)))
5511, 49, 52, 53, 54syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)))
561, 2, 3, 31nvlinv 28438 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵) = (0vec𝑈))
57563adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵) = (0vec𝑈))
5857oveq2d 7155 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺(0vec𝑈)))
591, 2, 31nv0rid 28421 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(0vec𝑈)) = 𝐴)
60593adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(0vec𝑈)) = 𝐴)
6155, 58, 603eqtrd 2840 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = 𝐴)
6261fveq2d 6653 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) = (𝑁𝐴))
631, 2nvgcl 28406 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
6452, 63syld3an3 1406 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
651, 2, 4nvtri 28456 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵)))
6664, 65syld3an2 1408 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵)))
6762, 66eqbrtrrd 5057 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵)))
681, 4nvcl 28447 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
6911, 64, 68syl2anc 587 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
7010, 8, 69lesubaddd 11230 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ↔ (𝑁𝐴) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵))))
7167, 70mpbird 260 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
7210, 8resubcld 11061 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ∈ ℝ)
7372, 69absled 14785 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ↔ (-(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ≤ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ∧ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))))
7448, 71, 73mpbir2and 712 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  1c1 10531   + caddc 10533  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864  abscabs 14588  NrmCVeccnv 28370   +𝑣 cpv 28371  BaseSetcba 28372   ·𝑠OLD cns 28373  0veccn0v 28374  normCVcnmcv 28376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-nmcv 28386
This theorem is referenced by:  nmcvcn  28481
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