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Theorem nvabs 30605
Description: Norm difference property of a normed complex vector space. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvabs.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvabs.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvabs.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvabs.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvabs ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Proof of Theorem nvabs
StepHypRef Expression
1 nvabs.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvabs.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 nvabs.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 nvabs.6 . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
51, 2, 3, 4nvdif 30599 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
65negeqd 11504 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
71, 4nvcl 30594 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
873adant2 1128 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
91, 4nvcl 30594 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1093adant3 1129 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
11 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
12 neg1cn 12378 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
131, 3nvscl 30559 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1412, 13mp3an2 1446 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
15143adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
161, 2nvgcl 30553 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
1715, 16syld3an3 1406 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
18173com23 1123 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
191, 4nvcl 30594 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
2011, 18, 19syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
2120renegcld 11691 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
221, 2nvcom 30554 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
2318, 22syld3an3 1406 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
24 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
2514adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
26 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
2724, 25, 263jca 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋))
281, 2nvass 30555 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
2927, 28syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
30293impb 1112 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
31 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
321, 2, 3, 31nvlinv 30585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vec𝑈))
33323adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vec𝑈))
3433oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)) = (𝐵𝐺(0vec𝑈)))
351, 2, 31nv0rid 30568 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐺(0vec𝑈)) = 𝐵)
36353adant2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐺(0vec𝑈)) = 𝐵)
3730, 34, 363eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = 𝐵)
3823, 37eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = 𝐵)
3938fveq2d 6905 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (𝑁𝐵))
401, 2, 4nvtri 30603 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4118, 40syld3an3 1406 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4239, 41eqbrtrrd 5177 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4310recnd 11292 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
4420recnd 11292 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℂ)
4543, 44subnegd 11628 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4642, 45breqtrrd 5181 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ≤ ((𝑁𝐴) − -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
478, 10, 21, 46lesubd 11868 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ≤ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)))
486, 47eqbrtrd 5175 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ≤ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)))
49 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
501, 3nvscl 30559 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
5112, 50mp3an2 1446 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
52513adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
53 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
541, 2nvass 30555 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)))
5511, 49, 52, 53, 54syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)))
561, 2, 3, 31nvlinv 30585 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵) = (0vec𝑈))
57563adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵) = (0vec𝑈))
5857oveq2d 7440 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺(0vec𝑈)))
591, 2, 31nv0rid 30568 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(0vec𝑈)) = 𝐴)
60593adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(0vec𝑈)) = 𝐴)
6155, 58, 603eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = 𝐴)
6261fveq2d 6905 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) = (𝑁𝐴))
631, 2nvgcl 30553 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
6452, 63syld3an3 1406 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
651, 2, 4nvtri 30603 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵)))
6664, 65syld3an2 1408 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵)))
6762, 66eqbrtrrd 5177 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵)))
681, 4nvcl 30594 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
6911, 64, 68syl2anc 582 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
7010, 8, 69lesubaddd 11861 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ↔ (𝑁𝐴) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁𝐵))))
7167, 70mpbird 256 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
7210, 8resubcld 11692 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ∈ ℝ)
7372, 69absled 15435 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ↔ (-(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ≤ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ∧ ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))))
7448, 71, 73mpbir2and 711 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  1c1 11159   + caddc 11161  cle 11299  cmin 11494  -cneg 11495  abscabs 15239  NrmCVeccnv 30517   +𝑣 cpv 30518  BaseSetcba 30519   ·𝑠OLD cns 30520  0veccn0v 30521  normCVcnmcv 30523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-grpo 30426  df-gid 30427  df-ginv 30428  df-ablo 30478  df-vc 30492  df-nv 30525  df-va 30528  df-ba 30529  df-sm 30530  df-0v 30531  df-nmcv 30533
This theorem is referenced by:  nmcvcn  30628
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