MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvabs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvabs 29903
Description: Norm difference property of a normed complex vector space. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvabs.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvabs.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvabs.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvabs.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvabs ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π΅))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
Proof of Theorem nvabs
StepHypRef Expression
1 nvabs.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nvabs.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 nvabs.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 nvabs.6 . . . . 5 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
51, 2, 3, 4nvdif 29897 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))))
65negeqd 11450 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ -(π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) = -(π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))))
71, 4nvcl 29892 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
873adant2 1132 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
91, 4nvcl 29892 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
1093adant3 1133 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
11 simp1 1137 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
12 neg1cn 12322 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
131, 3nvscl 29857 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1412, 13mp3an2 1450 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
15143adant2 1132 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
161, 2nvgcl 29851 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
1715, 16syld3an3 1410 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
18173com23 1127 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
191, 4nvcl 29892 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
2011, 18, 19syl2anc 585 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
2120renegcld 11637 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ -(π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
221, 2nvcom 29852 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
2318, 22syld3an3 1410 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
24 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
2514adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
26 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2724, 25, 263jca 1129 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
281, 2nvass 29853 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐡𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
2927, 28syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐡𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
30293impb 1116 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐡𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
321, 2, 3, 31nvlinv 29883 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
33323adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
3433oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)) = (𝐡𝐺(0vecβ€˜π‘ˆ)))
351, 2, 31nv0rid 29866 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 𝐡)
36353adant2 1132 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 𝐡)
3730, 34, 363eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = 𝐡)
3823, 37eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) = 𝐡)
3938fveq2d 6892 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (π‘β€˜π΅))
401, 2, 4nvtri 29901 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4118, 40syld3an3 1410 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4239, 41eqbrtrrd 5171 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΅) ≀ ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4310recnd 11238 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
4420recnd 11238 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ β„‚)
4543, 44subnegd 11574 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ -(π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))) = ((π‘β€˜π΄) + (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))))
4642, 45breqtrrd 5175 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΅) ≀ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ -(π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))))
478, 10, 21, 46lesubd 11814 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ -(π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) ≀ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π΅)))
486, 47eqbrtrd 5169 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ -(π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) ≀ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π΅)))
49 simp2 1138 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
501, 3nvscl 29857 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
5112, 50mp3an2 1450 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
52513adant2 1132 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
53 simp3 1139 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
541, 2nvass 29853 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐡) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐡)𝐺𝐡)))
5511, 49, 52, 53, 54syl13anc 1373 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐡) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐡)𝐺𝐡)))
561, 2, 3, 31nvlinv 29883 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐡)𝐺𝐡) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
57563adant2 1132 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐡)𝐺𝐡) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
5857oveq2d 7420 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺((-1𝑆𝐡)𝐺𝐡)) = (𝐴𝐺(0vecβ€˜π‘ˆ)))
591, 2, 31nv0rid 29866 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 𝐴)
60593adant3 1133 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 𝐴)
6155, 58, 603eqtrd 2777 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐡) = 𝐴)
6261fveq2d 6892 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐡)) = (π‘β€˜π΄))
631, 2nvgcl 29851 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
6452, 63syld3an3 1410 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
651, 2, 4nvtri 29901 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐡)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) + (π‘β€˜π΅)))
6664, 65syld3an2 1412 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐡)) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) + (π‘β€˜π΅)))
6762, 66eqbrtrrd 5171 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) + (π‘β€˜π΅)))
681, 4nvcl 29892 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
6911, 64, 68syl2anc 585 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) ∈ ℝ)
7010, 8, 69lesubaddd 11807 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) ↔ (π‘β€˜π΄) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) + (π‘β€˜π΅))))
7167, 70mpbird 257 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
7210, 8resubcld 11638 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ∈ ℝ)
7372, 69absled 15373 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π΅))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) ↔ (-(π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))) ≀ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ∧ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π΅)) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))))
7448, 71, 73mpbir2and 712 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π΅))) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„‚cc 11104  β„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  abscabs 15177  NrmCVeccnv 29815   +𝑣 cpv 29816  BaseSetcba 29817   ·𝑠OLD cns 29818  0veccn0v 29819  normCVcnmcv 29821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-nmcv 29831
This theorem is referenced by:  nmcvcn  29926
  Copyright terms: Public domain W3C validator