Theorem nvabs 31256

Description: Norm difference property of a normed complex vector space. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvabs.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvabs.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvabs.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvabs.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvabs	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Proof of Theorem nvabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvabs.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvabs.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		nvabs.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		nvabs.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	nvdif 31250	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
6	5	negeqd 11532	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) = -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))))
7	1, 4	nvcl 31245	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
8	7	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ∈ ℝ)
9	1, 4	nvcl 31245	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
11		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
12		neg1cn 12286	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
13	1, 3	nvscl 31210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
14	12, 13	mp3an2 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
15	14	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
16	1, 2	nvgcl 31204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
17	15, 16	syld3an3 1436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
18	17	3com23 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
19	1, 4	nvcl 31245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
20	11, 18, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
21	20	renegcld 11724	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ)
22	1, 2	nvcom 31205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
23	18, 22	syld3an3 1436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴))
24		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
25	14	adantrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
26		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
27	24, 25, 26	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
28	1, 2	nvass 31206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
29	27, 28	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
30	29	3impb 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)))
31		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
32	1, 2, 3, 31	nvlinv 31236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vec‘𝑈))
33	32	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (0vec‘𝑈))
34	33	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴)) = (𝐵𝐺(0vec‘𝑈)))
35	1, 2, 31	nv0rid 31219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(0vec‘𝑈)) = 𝐵)
36	35	3adant2 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(0vec‘𝑈)) = 𝐵)
37	30, 34, 36	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))𝐺𝐴) = 𝐵)
38	23, 37	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) = 𝐵)
39	38	fveq2d 6881	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = (𝑁‘𝐵))
40	1, 2, 4	nvtri 31254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
41	18, 40	syld3an3 1436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
42	39, 41	eqbrtrrd 5129	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
43	10	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
44	20	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℂ)
45	43, 44	subnegd 11657	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) − -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
46	42, 45	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) ≤ ((𝑁‘𝐴) − -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))))
47	8, 10, 21, 46	lesubd 11901	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -(𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)))
48	6, 47	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)))
49		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
50	1, 3	nvscl 31210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
51	12, 50	mp3an2 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
52	51	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
53		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
54	1, 2	nvass 31206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)))
55	11, 49, 52, 53, 54	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)))
56	1, 2, 3, 31	nvlinv 31236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵) = (0vec‘𝑈))
57	56	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵) = (0vec‘𝑈))
58	57	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺((-1𝑆𝐵)𝐺𝐵)) = (𝐴𝐺(0vec‘𝑈)))
59	1, 2, 31	nv0rid 31219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(0vec‘𝑈)) = 𝐴)
60	59	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(0vec‘𝑈)) = 𝐴)
61	55, 58, 60	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵) = 𝐴)
62	61	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) = (𝑁‘𝐴))
63	1, 2	nvgcl 31204	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
64	52, 63	syld3an3 1436	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
65	1, 2, 4	nvtri 31254	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁‘𝐵)))
66	64, 65	syld3an2 1438	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐵)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁‘𝐵)))
67	62, 66	eqbrtrrd 5129	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁‘𝐵)))
68	1, 4	nvcl 31245	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
69	11, 64, 68	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
70	10, 8, 69	lesubaddd 11894	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ↔ (𝑁‘𝐴) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) + (𝑁‘𝐵))))
71	67, 70	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
72	10, 8	resubcld 11725	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) ∈ ℝ)
73	72, 69	absled 15580	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ↔ (-(𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) ∧ ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))))
74	48, 71, 73	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  1c1 11182   + caddc 11184   ≤ cle 11325   − cmin 11522  -cneg 11523  abscabs 15381  NrmCVeccnv 31168   +_𝑣 cpv 31169  BaseSetcba 31170   ·_𝑠OLD cns 31171  0_veccn0v 31172  norm_CVcnmcv 31174

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-grpo 31077  df-gid 31078  df-ginv 31079  df-ablo 31129  df-vc 31143  df-nv 31176  df-va 31179  df-ba 31180  df-sm 31181  df-0v 31182  df-nmcv 31184

This theorem is used by:  nmcvcn  31279