MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvnd 30613
Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvnd.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnd.5 𝑍 = (0vec𝑈)
nvnd.6 𝑁 = (normCV𝑈)
nvnd.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvnd ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))

Proof of Theorem nvnd
StepHypRef Expression
1 nvnd.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvnd.5 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 30559 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
43adantr 479 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
5 eqid 2725 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
6 nvnd.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
7 nvnd.8 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
81, 5, 6, 7imsdval 30611 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)))
94, 8mpd3an3 1458 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)))
10 eqid 2725 . . . . . 6 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
11 eqid 2725 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
121, 10, 11, 5nvmval 30567 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))
134, 12mpd3an3 1458 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))
14 neg1cn 12373 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
1511, 2nvsz 30563 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1614, 15mpan2 689 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1716oveq2d 7439 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))
1817adantr 479 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))
191, 10, 2nv0rid 30560 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍) = 𝐴)
2013, 18, 193eqtrd 2769 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = 𝐴)
2120fveq2d 6904 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)) = (𝑁𝐴))
229, 21eqtr2d 2766 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7423  cc 11152  1c1 11155  -cneg 11491  NrmCVeccnv 30509   +𝑣 cpv 30510  BaseSetcba 30511   ·𝑠OLD cns 30512  0veccn0v 30513  𝑣 cnsb 30514  normCVcnmcv 30515  IndMetcims 30516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-ltxr 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30418  df-gid 30419  df-ginv 30420  df-gdiv 30421  df-ablo 30470  df-vc 30484  df-nv 30517  df-va 30520  df-ba 30521  df-sm 30522  df-0v 30523  df-vs 30524  df-nmcv 30525  df-ims 30526
This theorem is referenced by:  ubthlem1  30795
  Copyright terms: Public domain W3C validator