Theorem nvnd 29050

Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvnd.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnd.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nvnd.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nvnd.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvnd	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))

Proof of Theorem nvnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvnd.5	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 28996	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑋)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
6		nvnd.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
7		nvnd.8	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
8	1, 5, 6, 7	imsdval 29048	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍)))
9	4, 8	mpd3an3 1461	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍)))
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
12	1, 10, 11, 5	nvmval 29004	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))
13	4, 12	mpd3an3 1461	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))
14		neg1cn 12087	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
15	11, 2	nvsz 29000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
16	14, 15	mpan2 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
17	16	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))
18	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))
19	1, 10, 2	nv0rid 28997	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍) = 𝐴)
20	13, 18, 19	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍) = 𝐴)
21	20	fveq2d 6778	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍)) = (𝑁‘𝐴))
22	9, 21	eqtr2d 2779	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872  -cneg 11206  NrmCVeccnv 28946   +_𝑣 cpv 28947  BaseSetcba 28948   ·_𝑠OLD cns 28949  0_veccn0v 28950   −_𝑣 cnsb 28951  norm_CVcnmcv 28952  IndMetcims 28953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963

This theorem is referenced by:  ubthlem1  29232