MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvnd 28449
Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvnd.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnd.5 𝑍 = (0vec𝑈)
nvnd.6 𝑁 = (normCV𝑈)
nvnd.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvnd ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))

Proof of Theorem nvnd
StepHypRef Expression
1 nvnd.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvnd.5 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 28395 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
43adantr 484 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
5 eqid 2821 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
6 nvnd.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
7 nvnd.8 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
81, 5, 6, 7imsdval 28447 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)))
94, 8mpd3an3 1459 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)))
10 eqid 2821 . . . . . 6 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
11 eqid 2821 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
121, 10, 11, 5nvmval 28403 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))
134, 12mpd3an3 1459 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))
14 neg1cn 11729 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
1511, 2nvsz 28399 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1614, 15mpan2 690 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1716oveq2d 7146 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))
1817adantr 484 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))
191, 10, 2nv0rid 28396 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍) = 𝐴)
2013, 18, 193eqtrd 2860 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = 𝐴)
2120fveq2d 6647 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)) = (𝑁𝐴))
229, 21eqtr2d 2857 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  1c1 10515  -cneg 10848  NrmCVeccnv 28345   +𝑣 cpv 28346  BaseSetcba 28347   ·𝑠OLD cns 28348  0veccn0v 28349  𝑣 cnsb 28350  normCVcnmcv 28351  IndMetcims 28352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-ltxr 10657  df-sub 10849  df-neg 10850  df-grpo 28254  df-gid 28255  df-ginv 28256  df-gdiv 28257  df-ablo 28306  df-vc 28320  df-nv 28353  df-va 28356  df-ba 28357  df-sm 28358  df-0v 28359  df-vs 28360  df-nmcv 28361  df-ims 28362
This theorem is referenced by:  ubthlem1  28631
  Copyright terms: Public domain W3C validator