MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvnd 29672
Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvnd.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvnd.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
nvnd.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nvnd.8 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvnd ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) = (𝐴𝐷𝑍))

Proof of Theorem nvnd
StepHypRef Expression
1 nvnd.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nvnd.5 . . . . 5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
31, 2nvzcl 29618 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
43adantr 482 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
5 eqid 2733 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
6 nvnd.6 . . . 4 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
7 nvnd.8 . . . 4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
81, 5, 6, 7imsdval 29670 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑍) = (π‘β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍)))
94, 8mpd3an3 1463 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑍) = (π‘β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍)))
10 eqid 2733 . . . . . 6 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
11 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
121, 10, 11, 5nvmval 29626 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))
134, 12mpd3an3 1463 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))
14 neg1cn 12272 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
1511, 2nvsz 29622 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
1614, 15mpan2 690 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
1716oveq2d 7374 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))
1817adantr 482 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))
191, 10, 2nv0rid 29619 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝐴)
2013, 18, 193eqtrd 2777 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝐴)
2120fveq2d 6847 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (π‘β€˜π΄))
229, 21eqtr2d 2774 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) = (𝐴𝐷𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  1c1 11057  -cneg 11391  NrmCVeccnv 29568   +𝑣 cpv 29569  BaseSetcba 29570   ·𝑠OLD cns 29571  0veccn0v 29572   βˆ’π‘£ cnsb 29573  normCVcnmcv 29574  IndMetcims 29575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-neg 11393  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585
This theorem is referenced by:  ubthlem1  29854
  Copyright terms: Public domain W3C validator