MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvnd 30717
Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvnd.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnd.5 𝑍 = (0vec𝑈)
nvnd.6 𝑁 = (normCV𝑈)
nvnd.8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvnd ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))

Proof of Theorem nvnd
StepHypRef Expression
1 nvnd.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvnd.5 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 30663 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍𝑋)
43adantr 480 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍𝑋)
5 eqid 2735 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
6 nvnd.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
7 nvnd.8 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
81, 5, 6, 7imsdval 30715 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)))
94, 8mpd3an3 1461 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)))
10 eqid 2735 . . . . . 6 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
11 eqid 2735 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
121, 10, 11, 5nvmval 30671 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑍𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))
134, 12mpd3an3 1461 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)))
14 neg1cn 12378 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
1511, 2nvsz 30667 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1614, 15mpan2 691 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1716oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))
1817adantr 480 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍))
191, 10, 2nv0rid 30664 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝑍) = 𝐴)
2013, 18, 193eqtrd 2779 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝑍) = 𝐴)
2120fveq2d 6911 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝑍)) = (𝑁𝐴))
229, 21eqtr2d 2776 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154  -cneg 11491  NrmCVeccnv 30613   +𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·𝑠OLD cns 30616  0veccn0v 30617  𝑣 cnsb 30618  normCVcnmcv 30619  IndMetcims 30620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630
This theorem is referenced by:  ubthlem1  30899
  Copyright terms: Public domain W3C validator