MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvnd 29941
Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvnd.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvnd.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
nvnd.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nvnd.8 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvnd ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) = (𝐴𝐷𝑍))
Proof of Theorem nvnd
StepHypRef Expression
1 nvnd.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nvnd.5 . . . . 5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
31, 2nvzcl 29887 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
43adantr 482 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
5 eqid 2733 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
6 nvnd.6 . . . 4 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
7 nvnd.8 . . . 4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
81, 5, 6, 7imsdval 29939 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑍) = (π‘β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍)))
94, 8mpd3an3 1463 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑍) = (π‘β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍)))
10 eqid 2733 . . . . . 6 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
11 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
121, 10, 11, 5nvmval 29895 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))
134, 12mpd3an3 1463 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))
14 neg1cn 12326 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
1511, 2nvsz 29891 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
1614, 15mpan2 690 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
1716oveq2d 7425 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))
1817adantr 482 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))
191, 10, 2nv0rid 29888 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝐴)
2013, 18, 193eqtrd 2777 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝐴)
2120fveq2d 6896 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (π‘β€˜π΄))
229, 21eqtr2d 2774 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) = (𝐴𝐷𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  1c1 11111  -cneg 11445  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  0veccn0v 29841   βˆ’π‘£ cnsb 29842  normCVcnmcv 29843  IndMetcims 29844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854
This theorem is referenced by:  ubthlem1  30123
  Copyright terms: Public domain W3C validator