Theorem nvnd 30720

Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvnd.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvnd.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nvnd.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
nvnd.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvnd	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))

Proof of Theorem nvnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvnd.5	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
3	1, 2	nvzcl 30666	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑋)
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
6		nvnd.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
7		nvnd.8	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
8	1, 5, 6, 7	imsdval 30718	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍)))
9	4, 8	mpd3an3 1462	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑍) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍)))
10		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
12	1, 10, 11, 5	nvmval 30674	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))
13	4, 12	mpd3an3 1462	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)))
14		neg1cn 12407	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
15	11, 2	nvsz 30670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
16	14, 15	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍) = 𝑍)
17	16	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍))
19	1, 10, 2	nv0rid 30667	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)𝑍) = 𝐴)
20	13, 18, 19	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍) = 𝐴)
21	20	fveq2d 6924	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝑍)) = (𝑁‘𝐴))
22	9, 21	eqtr2d 2781	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴𝐷𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185  -cneg 11521  NrmCVeccnv 30616   +_𝑣 cpv 30617  BaseSetcba 30618   ·_𝑠OLD cns 30619  0_veccn0v 30620   −_𝑣 cnsb 30621  norm_CVcnmcv 30622  IndMetcims 30623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ims 30633

This theorem is referenced by:  ubthlem1  30902