MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvnd 29928
Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvnd.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvnd.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
nvnd.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nvnd.8 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvnd ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) = (𝐴𝐷𝑍))
Proof of Theorem nvnd
StepHypRef Expression
1 nvnd.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nvnd.5 . . . . 5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
31, 2nvzcl 29874 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
43adantr 481 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
5 eqid 2732 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
6 nvnd.6 . . . 4 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
7 nvnd.8 . . . 4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
81, 5, 6, 7imsdval 29926 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑍) = (π‘β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍)))
94, 8mpd3an3 1462 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑍) = (π‘β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍)))
10 eqid 2732 . . . . . 6 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
11 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
121, 10, 11, 5nvmval 29882 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))
134, 12mpd3an3 1462 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)))
14 neg1cn 12322 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
1511, 2nvsz 29878 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
1614, 15mpan2 689 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝑍)
1716oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))
1817adantr 481 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍))
191, 10, 2nv0rid 29875 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝐴)
2013, 18, 193eqtrd 2776 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍) = 𝐴)
2120fveq2d 6892 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑍)) = (π‘β€˜π΄))
229, 21eqtr2d 2773 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) = (𝐴𝐷𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  1c1 11107  -cneg 11441  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·𝑠OLD cns 29827  0veccn0v 29828   βˆ’π‘£ cnsb 29829  normCVcnmcv 29830  IndMetcims 29831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841
This theorem is referenced by:  ubthlem1  30110
  Copyright terms: Public domain W3C validator