MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oawordexr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oawordexr 8284
Description: Existence theorem for weak ordering of ordinal sum. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oawordexr ((𝐴 ∈ On ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem oawordexr
StepHypRef Expression
1 oaword1 8280 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝑥))
2 sseq2 3927 . . . 4 ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → (𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝑥) ↔ 𝐴𝐵))
31, 2syl5ibcom 248 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝑥) = 𝐵𝐴𝐵))
43rexlimdva 3203 . 2 (𝐴 ∈ On → (∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵𝐴𝐵))
54imp 410 1 ((𝐴 ∈ On ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  wss 3866  Oncon0 6213  (class class class)co 7213   +o coa 8199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-oadd 8206
This theorem is referenced by:  oawordex  8285
  Copyright terms: Public domain W3C validator