Theorem oaword1 8536

Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. Lemma 3.2 of [Schloeder] p. 7. (For the other part see oaord1 8535.) (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaword1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem oaword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa0 8500	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3		0ss 4356	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
4		0elon 6416	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
5		oaword 8533	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
6	5	3com13 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
7	4, 6	mp3an3 1477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
8	3, 7	mpbii 236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
9	2, 8	eqsstrrd 3971	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  Oncon0 6360  (class class class)co 7410   +_o coa 8449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-oadd 8456

This theorem is referenced by:  oawordexr  8540  oa00  8543  oaf1o  8547  omordi  8550  omeulem2  8567  oeeui  8587  nnarcl  8601  omxpenlem  9065  cantnfle  9639  cantnflem1d  9656  cantnflem3  9659  cantnflem4  9660  tfsconcatfn  44013  tfsconcatfv2  44015  tfsconcatrn  44017  tfsconcat0b  44021  tfsconcatrev  44023  oadif1  44055  oaun2  44056  oaun3  44057  naddwordnexlem0  44071  naddwordnexlem4  44076