Theorem oaword1 8164

Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. (For the other part see oaord1 8163.) (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaword1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem oaword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa0 8127	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
2	1	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3		0ss 4336	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
4		0elon 6230	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
5		oaword 8161	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
6	5	3com13 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
7	4, 6	mp3an3 1446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
8	3, 7	mpbii 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
9	2, 8	eqsstrrd 3994	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3924  ∅c0 4279  Oncon0 6177  (class class class)co 7142   +_o coa 8085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-oadd 8092

This theorem is referenced by:  oawordexr  8168  oa00  8171  oaf1o  8175  omordi  8178  omeulem2  8195  oeeui  8214  nnarcl  8228  omxpenlem  8604  cantnfle  9120  cantnflem1d  9137  cantnflem3  9140  cantnflem4  9141