Theorem oaword1 8550

Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. Lemma 3.2 of [Schloeder] p. 7. (For the other part see oaord1 8549.) (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaword1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem oaword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa0 8514	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3		0ss 4391	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
4		0elon 6411	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
5		oaword 8547	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
6	5	3com13 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
7	4, 6	mp3an3 1446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
8	3, 7	mpbii 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
9	2, 8	eqsstrrd 4016	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  Oncon0 6357  (class class class)co 7404   +_o coa 8461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-oadd 8468

This theorem is referenced by:  oawordexr  8554  oa00  8557  oaf1o  8561  omordi  8564  omeulem2  8581  oeeui  8600  nnarcl  8614  omxpenlem  9072  cantnfle  9665  cantnflem1d  9682  cantnflem3  9685  cantnflem4  9686  tfsconcatfn  42645  tfsconcatfv2  42647  tfsconcatrn  42649  tfsconcat0b  42653  tfsconcatrev  42655  oadif1  42687  oaun2  42688  oaun3  42689  naddwordnexlem0  42704  naddwordnexlem4  42709