Theorem oaword1 8569

Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. Lemma 3.2 of [Schloeder] p. 7. (For the other part see oaord1 8568.) (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaword1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem oaword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oa0 8533	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3		0ss 4380	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
4		0elon 6412	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
5		oaword 8566	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
6	5	3com13 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
7	4, 6	mp3an3 1452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
8	3, 7	mpbii 233	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
9	2, 8	eqsstrrd 3999	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  Oncon0 6357  (class class class)co 7410   +_o coa 8482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-oadd 8489

This theorem is referenced by:  oawordexr  8573  oa00  8576  oaf1o  8580  omordi  8583  omeulem2  8600  oeeui  8619  nnarcl  8633  omxpenlem  9092  cantnfle  9690  cantnflem1d  9707  cantnflem3  9710  cantnflem4  9711  tfsconcatfn  43329  tfsconcatfv2  43331  tfsconcatrn  43333  tfsconcat0b  43337  tfsconcatrev  43339  oadif1  43371  oaun2  43372  oaun3  43373  naddwordnexlem0  43387  naddwordnexlem4  43392