MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaword1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaword1 8503
Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. Lemma 3.2 of [Schloeder] p. 7. (For the other part see oaord1 8502.) (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaword1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem oaword1
StepHypRef Expression
1 oa0 8466 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
21adantr 482 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
3 0ss 4360 . . 3 ∅ ⊆ 𝐵
4 0elon 6375 . . . 4 ∅ ∈ On
5 oaword 8500 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
653com13 1125 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
74, 6mp3an3 1451 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵)))
83, 7mpbii 232 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o ∅) ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
92, 8eqsstrrd 3987 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3914  c0 4286  Oncon0 6321  (class class class)co 7361   +o coa 8413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-oadd 8420
This theorem is referenced by:  oawordexr  8507  oa00  8510  oaf1o  8514  omordi  8517  omeulem2  8534  oeeui  8553  nnarcl  8567  omxpenlem  9023  cantnfle  9615  cantnflem1d  9632  cantnflem3  9635  cantnflem4  9636  oadif1  41743  oaun2  41744  oaun3  41745  naddwordnexlem0  41760  naddwordnexlem4  41765
  Copyright terms: Public domain W3C validator