Theorem oawordex 8472

Description: Existence theorem for weak ordering of ordinal sum. Proposition 8.8 of [TakeutiZaring] p. 59 and its converse. See oawordeu 8470 for uniqueness. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oawordex	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem oawordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oawordeu 8470	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∃!𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
2	1	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃!𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
3		reurex 3350	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
4	2, 3	syl6 35	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
5		oawordexr 8471	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
8	4, 7	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344   ⊆ wss 3897  Oncon0 6306  (class class class)co 7346   +_o coa 8382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-oadd 8389

This theorem is referenced by:  oaordex  8473  oaass  8476  odi  8494  omeulem1  8497  fineqvnttrclselem1  35141  oasubex  43389  oaabsb  43397  oawordex2  43429  oawordex3  43503