Theorem oawordex 8558

Description: Existence theorem for weak ordering of ordinal sum. Proposition 8.8 of [TakeutiZaring] p. 59 and its converse. See oawordeu 8556 for uniqueness. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oawordex	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem oawordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oawordeu 8556	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∃!𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
2	1	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃!𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
3		reurex 3374	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
4	2, 3	syl6 35	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
5		oawordexr 8557	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
8	4, 7	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3368   ⊆ wss 3943  Oncon0 6358  (class class class)co 7405   +_o coa 8464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-oadd 8471

This theorem is referenced by:  oaordex  8559  oaass  8562  odi  8580  omeulem1  8583  oasubex  42609  oaabsb  42617  oawordex2  42649  oawordex3  42724