Theorem oawordex 8482

Description: Existence theorem for weak ordering of ordinal sum. Proposition 8.8 of [TakeutiZaring] p. 59 and its converse. See oawordeu 8480 for uniqueness. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oawordex	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem oawordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oawordeu 8480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∃!𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
2	1	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃!𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
3		reurex 3348	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)
4	2, 3	syl6 35	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
5		oawordexr 8481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
7	6	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
8	4, 7	impbid 213	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  ∃!wreu 3342   ⊆ wss 3883  Oncon0 6310  (class class class)co 7356   +_o coa 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-oadd 8399

This theorem is referenced by:  oaordex  8483  oaass  8486  odi  8504  omeulem1  8507  fineqvnttrclselem1  35302  oasubex  43731  oaabsb  43739  oawordex2  43771  oawordex3  43845