Theorem omord2i 43276

Description: Ordinal multiplication of the same non-zero number on the left preserves the ordering of the numbers on the right. Lemma 3.15 of [Schloeder] p. 9. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
omord2i	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))

Proof of Theorem omord2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
2	1	anim1ci 616	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
3		on0eln0 6420	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4	3	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐶 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐴)
6		omordi 8586	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))
7	2, 5, 6	syl2anc 584	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∅c0 4313  Oncon0 6363  (class class class)co 7413   ·_o comu 8486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-oadd 8492  df-omul 8493

This theorem is referenced by: (None)