MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omordi 8572
Description: Ordering property of ordinal multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63. Lemma 3.15 of [Schloeder] p. 9. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omordi (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))

Proof of Theorem omordi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 6389 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
21ex 412 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ด โˆˆ On))
3 eleq2 2821 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†” ๐ด โˆˆ โˆ…))
4 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทo โˆ…))
54eleq2d 2818 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo โˆ…)))
63, 5imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ)) โ†” (๐ด โˆˆ โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo โˆ…))))
7 eleq2 2821 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†” ๐ด โˆˆ ๐‘ฆ))
8 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทo ๐‘ฆ))
98eleq2d 2818 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)))
107, 9imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ)) โ†” (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ))))
11 eleq2 2821 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†” ๐ด โˆˆ suc ๐‘ฆ))
12 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทo suc ๐‘ฆ))
1312eleq2d 2818 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐‘ฆ)))
1411, 13imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ)) โ†” (๐ด โˆˆ suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐‘ฆ))))
15 eleq2 2821 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†” ๐ด โˆˆ ๐ต))
16 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทo ๐ต))
1716eleq2d 2818 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
1815, 17imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ)) โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))
19 noel 4330 . . . . . . . . . . 11 ยฌ ๐ด โˆˆ โˆ…
2019pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo โˆ…))
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ โˆ… โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo โˆ…)))
22 elsuci 6431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โˆจ ๐ด = ๐‘ฆ))
23 omcl 8542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On)
24 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
2523, 24jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On))
26 oaword1 8558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โІ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ))
2726sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
2827imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ))))
2928imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
3029adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ถ โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)))) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
31 oaord1 8557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” (๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
3231biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ))
33 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ด = ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) = (๐ถ ยทo ๐‘ฆ))
3433eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ) โ†” (๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
3532, 34syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด = ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
3635adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ถ โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)))) โ†’ (๐ด = ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
3730, 36jaod 856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ถ โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โˆจ ๐ด = ๐‘ฆ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
3825, 37sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ถ โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โˆจ ๐ด = ๐‘ฆ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
3922, 38syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ถ โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)))) โ†’ (๐ด โˆˆ suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
40 omsuc 8532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ))
4140eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐‘ฆ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ถ โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐‘ฆ) โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ถ)))
4339, 42sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ถ โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)))) โ†’ (๐ด โˆˆ suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐‘ฆ)))
4443exp43 436 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โˆˆ suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐‘ฆ))))))
4544com12 32 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ถ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โˆˆ suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐‘ฆ))))))
4645adantld 490 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โˆˆ suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐‘ฆ))))))
4746impd 410 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โˆˆ suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐‘ฆ)))))
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ถ โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ))
4948ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง (Lim ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐ถ โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ))
50 limsuc 7842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†” suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ))
5150biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ)
52 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ = suc ๐ด โ†’ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ) = (๐ถ ยทo suc ๐ด))
5352ssiun2s 5051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐ถ ยทo suc ๐ด) โІ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ))
5451, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ ยทo suc ๐ด) โІ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ))
5554adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ถ โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ ยทo suc ๐ด) โІ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ))
56 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘ฅ โˆˆ V
57 omlim 8539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ถ โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ))
5856, 57mpanr1 700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ถ โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ถ โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ))
6055, 59sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ถ โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ ยทo suc ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ))
6149, 60sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง (Lim ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ ยทo suc ๐ด) โІ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ))
62 omcl 8542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On)
63 oaord1 8557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐ด) +o ๐ถ)))
6462, 63sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐ด) +o ๐ถ)))
6564anabss1 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐ด) +o ๐ถ)))
6665biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ถ ยทo ๐ด) +o ๐ถ))
67 omsuc 8532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ถ ยทo suc ๐ด) = ((๐ถ ยทo ๐ด) +o ๐ถ))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยทo suc ๐ด) = ((๐ถ ยทo ๐ด) +o ๐ถ))
6966, 68eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐ด))
7069adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง (Lim ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐ด))
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง (Lim ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo suc ๐ด))
7261, 71sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง (Lim ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ))
7372exp53 447 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ))))))
7473com13 88 . . . . . . . . . . 11 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ถ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ))))))
7574imp4c 423 . . . . . . . . . 10 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ))))
7675a1dd 50 . . . . . . . . 9 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐‘ฅ)))))
776, 10, 14, 18, 21, 47, 76tfinds3 7858 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ On โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))
7877com23 86 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))
7978exp4a 431 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))))
8079exp4a 431 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ถ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต))))))
812, 80mpdd 43 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))))
8281com34 91 . . 3 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))))
8382com24 95 . 2 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ถ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))))
8483imp31 417 1 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ถ ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ถ ยทo ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  Vcvv 3473   โІ wss 3948  โˆ…c0 4322  โˆช ciun 4997  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  (class class class)co 7412   +o coa 8469   ยทo comu 8470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-oadd 8476  df-omul 8477
This theorem is referenced by:  omord2  8573  omcan  8575  odi  8585  omass  8586  oen0  8592  oeordi  8593  oeordsuc  8600  onexoegt  42456  omord2i  42514  oaomoencom  42530  cantnftermord  42533  omcl2  42546  omltoe  42621
  Copyright terms: Public domain W3C validator