Theorem omordlim 8548

Description: Ordering involving the product of a limit ordinal. Proposition 8.23 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
omordlim	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem omordlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlim 8504	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴 ·o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥))
2	1	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥)))
3		eliun 4955	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
4	2, 3	bitrdi 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
5	4	biimpa 480	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3088  ∪ ciun 4951  Oncon0 6348  Lim wlim 6349  (class class class)co 7398   ·_o comu 8437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-omul 8444

This theorem is referenced by:  odi  8550  omass  8551  oaabs2  8621