Theorem omordlim 8454

Description: Ordering involving the product of a limit ordinal. Proposition 8.23 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
omordlim	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem omordlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlim 8409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴 ·o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥))
2	1	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥)))
3		eliun 4939	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
4	2, 3	bitrdi 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
5	4	biimpa 477	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3071  ∪ ciun 4935  Oncon0 6286  Lim wlim 6287  (class class class)co 7313   ·_o comu 8340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pr 5365  ax-un 7626

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-omul 8347

This theorem is referenced by:  odi  8456  omass  8457  oaabs2  8525