Theorem omordlim 8597

Description: Ordering involving the product of a limit ordinal. Proposition 8.23 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
omordlim	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem omordlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlim 8553	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴 ·o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥))
2	1	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥)))
3		eliun 5000	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
4	2, 3	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
5	4	biimpa 476	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067  ∪ ciun 4996  Oncon0 6369  Lim wlim 6370  (class class class)co 7420   ·_o comu 8484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-omul 8491

This theorem is referenced by:  odi  8599  omass  8600  oaabs2  8669