Theorem omordlim 8633

Description: Ordering involving the product of a limit ordinal. Proposition 8.23 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
omordlim	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem omordlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlim 8589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴 ·o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥))
2	1	eleq2d 2830	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥)))
3		eliun 5019	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
4	2, 3	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
5	4	biimpa 476	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐷 ∧ Lim 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  ∪ ciun 5015  Oncon0 6395  Lim wlim 6396  (class class class)co 7448   ·_o comu 8520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-omul 8527

This theorem is referenced by:  odi  8635  omass  8636  oaabs2  8705