Theorem om00el 8540

Description: The product of two nonzero ordinal numbers is nonzero. (Contributed by NM, 28-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
om00el	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem om00el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om00 8539	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅)))
2	1	necon3abid 2961	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅)))
3		omcl 8500	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ On)
4		on0eln0 6389	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ On → (∅ ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅))
6		on0eln0 6389	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7		on0eln0 6389	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
8	6, 7	bi2anan9 638	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
9		neanior 3018	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
10	8, 9	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅)))
11	2, 5, 10	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296  Oncon0 6332  (class class class)co 7387   ·_o comu 8432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-omul 8439

This theorem is referenced by:  odi  8543  oeoe  8563  omxpenlem  9042