Theorem om00el 8517

Description: The product of two nonzero ordinal numbers is nonzero. (Contributed by NM, 28-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
om00el	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem om00el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om00 8516	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅)))
2	1	necon3abid 2961	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅)))
3		omcl 8477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ On)
4		on0eln0 6377	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ On → (∅ ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅))
6		on0eln0 6377	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7		on0eln0 6377	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
8	6, 7	bi2anan9 638	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
9		neanior 3018	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
10	8, 9	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅)))
11	2, 5, 10	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ (𝐴 ·o 𝐵) ↔ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4292  Oncon0 6320  (class class class)co 7369   ·_o comu 8409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-omul 8416

This theorem is referenced by:  odi  8520  oeoe  8540  omxpenlem  9019