![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > om00el | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The product of two nonzero ordinal numbers is nonzero. (Contributed by NM, 28-Dec-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
om00el | โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ (๐ด ยทo ๐ต) โ (โ โ ๐ด โง โ โ ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | om00 8526 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ ((๐ด ยทo ๐ต) = โ โ (๐ด = โ โจ ๐ต = โ ))) | |
2 | 1 | necon3abid 2977 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ ((๐ด ยทo ๐ต) โ โ โ ยฌ (๐ด = โ โจ ๐ต = โ ))) |
3 | omcl 8486 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ On) | |
4 | on0eln0 6377 | . . 3 โข ((๐ด ยทo ๐ต) โ On โ (โ โ (๐ด ยทo ๐ต) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ โ )) | |
5 | 3, 4 | syl 17 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ (๐ด ยทo ๐ต) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ โ )) |
6 | on0eln0 6377 | . . . 4 โข (๐ด โ On โ (โ โ ๐ด โ ๐ด โ โ )) | |
7 | on0eln0 6377 | . . . 4 โข (๐ต โ On โ (โ โ ๐ต โ ๐ต โ โ )) | |
8 | 6, 7 | bi2anan9 638 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ ((โ โ ๐ด โง โ โ ๐ต) โ (๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ))) |
9 | neanior 3034 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ยฌ (๐ด = โ โจ ๐ต = โ )) | |
10 | 8, 9 | bitrdi 287 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ ((โ โ ๐ด โง โ โ ๐ต) โ ยฌ (๐ด = โ โจ ๐ต = โ ))) |
11 | 2, 5, 10 | 3bitr4d 311 | 1 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ (๐ด ยทo ๐ต) โ (โ โ ๐ด โง โ โ ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โจ wo 846 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 โ c0 4286 Oncon0 6321 (class class class)co 7361 ยทo comu 8414 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pr 5388 ax-un 7676 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-2nd 7926 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-oadd 8420 df-omul 8421 |
This theorem is referenced by: odi 8530 oeoe 8550 omxpenlem 9023 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |