Theorem onsucsuccmp 36560

Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsucsuccmp	⊢ (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)

Proof of Theorem onsucsuccmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6382	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
2		suceq 6382	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
4	3	eleq1d 2818	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc suc 𝐴 ∈ Comp ↔ suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp))
5		0elon 6369	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
6	5	elimel 4546	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
7	6	onsucsuccmpi 36559	. 2 ⊢ suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp
8	4, 7	dedth 4535	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4282  ifcif 4476  Oncon0 6314  suc csuc 6316  Compccmp 23321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-om 7806  df-1o 8394  df-en 8880  df-fin 8883  df-topgen 17354  df-top 22829  df-bases 22881  df-cmp 23322

This theorem is referenced by:  ordcmp  36563