Theorem onsucsuccmp 36672

Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsucsuccmp	⊢ (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)

Proof of Theorem onsucsuccmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6378	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
2		suceq 6378	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
4	3	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc suc 𝐴 ∈ Comp ↔ suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp))
5		0elon 6365	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
6	5	elimel 4524	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
7	6	onsucsuccmpi 36671	. 2 ⊢ suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp
8	4, 7	dedth 4513	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4261  ifcif 4454  Oncon0 6310  suc csuc 6312  Compccmp 23369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8884  df-fin 8887  df-topgen 17397  df-top 22877  df-bases 22929  df-cmp 23370

This theorem is referenced by:  ordcmp  36675