Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsucsuccmp 34263
Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmp (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)

Proof of Theorem onsucsuccmp
StepHypRef Expression
1 suceq 6231 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
2 suceq 6231 . . . 4 (suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
43eleq1d 2817 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc suc 𝐴 ∈ Comp ↔ suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp))
5 0elon 6219 . . . 4 ∅ ∈ On
65elimel 4480 . . 3 if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
76onsucsuccmpi 34262 . 2 suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp
84, 7dedth 4469 1 (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  c0 4209  ifcif 4411  Oncon0 6166  suc csuc 6168  Compccmp 22130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-om 7594  df-1o 8124  df-en 8549  df-fin 8552  df-topgen 16813  df-top 21638  df-bases 21690  df-cmp 22131
This theorem is referenced by:  ordcmp  34266
  Copyright terms: Public domain W3C validator