Theorem onsucsuccmp 36638

Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsucsuccmp	⊢ (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)

Proof of Theorem onsucsuccmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6385	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
2		suceq 6385	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
4	3	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc suc 𝐴 ∈ Comp ↔ suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp))
5		0elon 6372	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
6	5	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
7	6	onsucsuccmpi 36637	. 2 ⊢ suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp
8	4, 7	dedth 4538	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4285  ifcif 4479  Oncon0 6317  suc csuc 6319  Compccmp 23330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1o 8397  df-en 8884  df-fin 8887  df-topgen 17363  df-top 22838  df-bases 22890  df-cmp 23331

This theorem is referenced by:  ordcmp  36641