Theorem onsucsuccmp 36410

Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsucsuccmp	⊢ (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)

Proof of Theorem onsucsuccmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6461	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
2		suceq 6461	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
4	3	eleq1d 2829	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc suc 𝐴 ∈ Comp ↔ suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp))
5		0elon 6449	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
6	5	elimel 4617	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
7	6	onsucsuccmpi 36409	. 2 ⊢ suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp
8	4, 7	dedth 4606	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  ifcif 4548  Oncon0 6395  suc csuc 6397  Compccmp 23415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-en 9004  df-fin 9007  df-topgen 17503  df-top 22921  df-bases 22974  df-cmp 23416

This theorem is referenced by:  ordcmp  36413