Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsucsuccmp 32813
Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmp (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)

Proof of Theorem onsucsuccmp
StepHypRef Expression
1 suceq 5972 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
2 suceq 5972 . . . 4 (suc 𝐴 = suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → suc suc 𝐴 = suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅))
43eleq1d 2828 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) → (suc suc 𝐴 ∈ Comp ↔ suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp))
5 0elon 5960 . . . 4 ∅ ∈ On
65elimel 4309 . . 3 if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ On
76onsucsuccmpi 32812 . 2 suc suc if(𝐴 ∈ On, 𝐴, ∅) ∈ Comp
84, 7dedth 4298 1 (𝐴 ∈ On → suc suc 𝐴 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  c0 4078  ifcif 4242  Oncon0 5907  suc csuc 5909  Compccmp 21468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-om 7263  df-1o 7763  df-en 8160  df-fin 8163  df-topgen 16371  df-top 20977  df-bases 21029  df-cmp 21469
This theorem is referenced by:  ordcmp  32816
  Copyright terms: Public domain W3C validator