Theorem opeq1d 4822

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq1d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq1 4816	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ⟨cop 4573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574

This theorem is referenced by:  oteq1  4825  oteq2  4826  opth  5429  elsnxp  6255  cbvoprab2  7455  cbvoprab12v  7457  fvproj  8084  unxpdomlem1  9166  djulf1o  9836  djurf1o  9837  mulcanenq  10883  ax1rid  11084  axrnegex  11085  fseq1m1p1  13553  uzrdglem  13919  pfxswrd  14668  swrdccat  14697  swrdccat3blem  14701  cshw0  14756  cshwmodn  14757  s2prop  14869  s4prop  14872  fsum2dlem  15732  fprod2dlem  15945  ruclem1  16198  imasaddvallem  17493  iscatd2  17647  moni  17703  homadmcd  18009  curf1  18191  curf1cl  18194  curf2  18195  hofcl  18225  gsum2dlem2  19946  pzriprnglem10  21470  imasdsf1olem  24338  ovoliunlem1  25469  cxpcn3  26712  nosupbnd2  27680  noinfbnd2  27695  noseqrdglem  28297  axlowdimlem15  29025  axlowdim  29030  nvi  30685  nvop  30747  phop  30889  br8d  32681  fgreu  32744  1stpreimas  32779  rlocval  33320  rloccring  33331  smatfval  33939  smatrcl  33940  smatlem  33941  fmla0xp  35565  mvhfval  35715  mpst123  35722  br8  35938  fvtransport  36214  cbvoprab1vw  36419  cbvoprab2vw  36420  cbvoprab1davw  36453  cbvoprab2davw  36454  cbvoprab12davw  36457  bj-inftyexpitaudisj  37519  rfovcnvf1od  44431  oppcup3lem  49681  tposcurf2val  49776  oppcthinendcALT  49916  concom  50138