Theorem opeq1d 4823

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opeq1d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq1 4817	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ⟨cop 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575

This theorem is referenced by:  oteq1  4826  oteq2  4827  opth  5424  elsnxp  6249  cbvoprab2  7448  cbvoprab12v  7450  fvproj  8077  unxpdomlem1  9159  djulf1o  9827  djurf1o  9828  mulcanenq  10874  ax1rid  11075  axrnegex  11076  fseq1m1p1  13544  uzrdglem  13910  pfxswrd  14659  swrdccat  14688  swrdccat3blem  14692  cshw0  14747  cshwmodn  14748  s2prop  14860  s4prop  14863  fsum2dlem  15723  fprod2dlem  15936  ruclem1  16189  imasaddvallem  17484  iscatd2  17638  moni  17694  homadmcd  18000  curf1  18182  curf1cl  18185  curf2  18186  hofcl  18216  gsum2dlem2  19937  pzriprnglem10  21480  imasdsf1olem  24348  ovoliunlem1  25479  cxpcn3  26725  nosupbnd2  27694  noinfbnd2  27709  noseqrdglem  28311  axlowdimlem15  29039  axlowdim  29044  nvi  30700  nvop  30762  phop  30904  br8d  32696  fgreu  32759  1stpreimas  32794  rlocval  33335  rloccring  33346  smatfval  33955  smatrcl  33956  smatlem  33957  fmla0xp  35581  mvhfval  35731  mpst123  35738  br8  35954  fvtransport  36230  cbvoprab1vw  36435  cbvoprab2vw  36436  cbvoprab1davw  36469  cbvoprab2davw  36470  cbvoprab12davw  36473  bj-inftyexpitaudisj  37535  rfovcnvf1od  44449  oppcup3lem  49693  tposcurf2val  49788  oppcthinendcALT  49928  concom  50150