MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2prop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s2prop 13950
Description: A length 2 word is an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s2prop ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})

Proof of Theorem s2prop
StepHypRef Expression
1 df-s2 13891 . 2 ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2 s1cl 13579 . . . 4 (𝐴𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
3 cats1un 13733 . . . 4 ((⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆𝐵𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
42, 3sylan 575 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
5 s1val 13575 . . . . 5 (𝐴𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
65adantr 472 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
76uneq1d 3930 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
8 df-pr 4339 . . . 4 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩})
9 s1len 13583 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
1110opeq1d 4567 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩ = ⟨1, 𝐵⟩)
1211preq2d 4432 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
138, 12syl5eqr 2813 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
144, 7, 133eqtrd 2803 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
151, 14syl5eq 2811 1 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  cun 3732  {csn 4336  {cpr 4338  cop 4342  cfv 6070  (class class class)co 6846  0cc0 10193  1c1 10194  chash 13326  Word cword 13491   ++ cconcat 13547  ⟨“cs1 13572  ⟨“cs2 13884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-hash 13327  df-word 13492  df-concat 13548  df-s1 13573  df-s2 13891
This theorem is referenced by:  s2dmALT  13951  s3tpop  13952  s4prop  13953  funcnvs2  13956  s2f1o  13959  wrdlen2s2  13988  uhgrwkspthlem2  26960  ntrl2v2e  27454
  Copyright terms: Public domain W3C validator