Theorem s2prop 14894

Description: A length 2 word is an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s2prop	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})

Proof of Theorem s2prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14835	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		s1cl 14588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
3		cats1un 14707	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
4	2, 3	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
5		s1val 14584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
6	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
7	6	uneq1d 4159	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
8		df-pr 4633	. . . 4 ⊢ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩})
9		s1len 14592	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
11	10	opeq1d 4881	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩ = ⟨1, 𝐵⟩)
12	11	preq2d 4746	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
13	8, 12	eqtr3id 2779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
14	4, 7, 13	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
15	1, 14	eqtrid 2777	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3942  {csn 4630  {cpr 4632  ⟨cop 4636  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141  ♯chash 14325  Word cword 14500   ++ cconcat 14556  ⟨“cs1 14581  ⟨“cs2 14828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-s2 14835

This theorem is referenced by:  s2dmALT  14895  s3tpop  14896  s4prop  14897  funcnvs2  14900  s2f1o  14903  wrdlen2s2  14932  uhgrwkspthlem2  29640  ntrl2v2e  30040  s2f1  32755  cycpm2tr  32932