Theorem s2prop 14913

Description: A length 2 word is an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s2prop	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})

Proof of Theorem s2prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14854	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		s1cl 14609	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
3		cats1un 14727	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
4	2, 3	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
5		s1val 14605	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
6	5	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
7	6	uneq1d 4118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
8		df-pr 4582	. . . 4 ⊢ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩})
9		s1len 14613	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
11	10	opeq1d 4834	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩ = ⟨1, 𝐵⟩)
12	11	preq2d 4696	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
13	8, 12	eqtr3id 2810	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
14	4, 7, 13	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
15	1, 14	eqtrid 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3900  {csn 4579  {cpr 4581  ⟨cop 4585  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11066  1c1 11067  ♯chash 14336  Word cword 14519   ++ cconcat 14576  ⟨“cs1 14602  ⟨“cs2 14847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-hash 14337  df-word 14520  df-concat 14577  df-s1 14603  df-s2 14854

This theorem is referenced by:  s2dmALT  14914  s3tpop  14915  s4prop  14916  funcnvs2  14919  s2f1o  14922  wrdlen2s2  14951  uhgrwkspthlem2  29910  ntrl2v2e  30316  s2f1  33083  cycpm2tr  33259