Theorem s2prop 14942

Description: A length 2 word is an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s2prop	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})

Proof of Theorem s2prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14883	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		s1cl 14636	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
3		cats1un 14755	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
4	2, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
5		s1val 14632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
7	6	uneq1d 4176	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
8		df-pr 4633	. . . 4 ⊢ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩})
9		s1len 14640	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
11	10	opeq1d 4883	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩ = ⟨1, 𝐵⟩)
12	11	preq2d 4744	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
13	8, 12	eqtr3id 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
14	4, 7, 13	3eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
15	1, 14	eqtrid 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3960  {csn 4630  {cpr 4632  ⟨cop 4636  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  ♯chash 14365  Word cword 14548   ++ cconcat 14604  ⟨“cs1 14629  ⟨“cs2 14876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883

This theorem is referenced by:  s2dmALT  14943  s3tpop  14944  s4prop  14945  funcnvs2  14948  s2f1o  14951  wrdlen2s2  14980  uhgrwkspthlem2  29786  ntrl2v2e  30186  s2f1  32913  cycpm2tr  33121