Theorem uzrdglem 13882

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
uzrdg.1	⊢ 𝐴 ∈ V
uzrdg.2	⊢ 𝑅 = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
uzrdglem	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦,𝐶   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem uzrdglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
2		om2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	1, 2	om2uzf1oi 13878	. . . . 5 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶)
4		f1ocnvdm 7231	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → (◡𝐺‘𝐵) ∈ ω)
5	3, 4	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (◡𝐺‘𝐵) ∈ ω)
6		uzrdg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
7		uzrdg.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)
8	1, 2, 6, 7	om2uzrdg 13881	. . . 4 ⊢ ((◡𝐺‘𝐵) ∈ ω → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) = ⟨(𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩)
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) = ⟨(𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩)
10		f1ocnvfv2 7223	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → (𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)) = 𝐵)
11	3, 10	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)) = 𝐵)
12	11	opeq1d 4834	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → ⟨(𝐺‘(◡𝐺‘𝐵)), (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩ = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩)
13	9, 12	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩)
14		frfnom 8366	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω) Fn ω
15	7	fneq1i 6588	. . . 4 ⊢ (𝑅 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω) Fn ω)
16	14, 15	mpbir 231	. . 3 ⊢ 𝑅 Fn ω
17		fnfvelrn 7025	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fn ω ∧ (◡𝐺‘𝐵) ∈ ω) → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) ∈ ran 𝑅)
18	16, 5, 17	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)) ∈ ran 𝑅)
19	13, 18	eqeltrrd 2836	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶) → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(◡𝐺‘𝐵)))⟩ ∈ ran 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439  ⟨cop 4585   ↦ cmpt 5178  ^◡ccnv 5622  ran crn 5624   ↾ cres 5625   Fn wfn 6486  –1-1-onto→wf1o 6490  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ωcom 7808  2^nd c2nd 7932  reccrdg 8340  1c1 11029   + caddc 11031  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754

This theorem is referenced by:  uzrdgfni  13883  uzrdgsuci  13885